微分方程模型5(人口預(yù)測(cè))省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽暑期強(qiáng)化培訓(xùn)微分方程模型主講人：徐世英第1頁--中央民族大學(xué)理學(xué)院--人口增加與人口問題背景知識(shí)第2頁世界人口增加是由規(guī)律可循古代----增加遲緩

近代----人口快速增加當(dāng)代----人口“爆炸性”增加影響人口增加原因----自然--人文--國際大環(huán)境---生產(chǎn)力發(fā)展水平、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)療衛(wèi)生條件、生活等縱向觀察：第3頁空間差異

發(fā)展中國家：人口增加很快，當(dāng)前發(fā)展中國家每年增加人口，在世界人口增加總數(shù)中約占90%，原因是：政治獨(dú)立民族經(jīng)濟(jì)發(fā)展醫(yī)療衛(wèi)生事業(yè)進(jìn)步致使人口死亡率下降而自然增加率高

發(fā)達(dá)國家：人口增加遲緩，已出現(xiàn)遲緩增加、零增加或負(fù)增加

原因是：因?yàn)樯鐣?huì)經(jīng)濟(jì)和文化教育發(fā)展，人們自愿節(jié)育，出生率逐步下降，當(dāng)前多已靠近零增加，甚至負(fù)增加。第4頁我國人口出生率、死亡率與自然增加率第5頁按年紀(jì)分組種群增加

不一樣年紀(jì)組繁殖率和死亡率不一樣

建立差分方程模型，討論穩(wěn)定情況下種群增加規(guī)律假設(shè)與建模

種群按年紀(jì)大小等分為n個(gè)年紀(jì)組，記i=1,2,…,n

時(shí)間離散為時(shí)段，長度與年紀(jì)組區(qū)間相等，記k=1,2,…

以雌性個(gè)體數(shù)量為對(duì)象

第i年紀(jì)組1雌性個(gè)體在1時(shí)段內(nèi)繁殖率為bi

第i年紀(jì)組在1時(shí)段內(nèi)死亡率為di,存活率為si=1-di第6頁假設(shè)與建模xi(k)~時(shí)段k第i年紀(jì)組種群數(shù)量~按年紀(jì)組分布向量預(yù)測(cè)任意時(shí)段種群按年紀(jì)組分布~Leslie矩陣(L矩陣)(設(shè)最少1個(gè)bi>0)第7頁題目：中國人口增加預(yù)測(cè)

中國是一個(gè)人口大國，人口問題一直是制約我國發(fā)展關(guān)鍵原因之一。依據(jù)已經(jīng)有數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)建模方法，對(duì)中國人口做出分析和預(yù)測(cè)是一個(gè)主要問題。近年來中國人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新特點(diǎn)，比如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比連續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等原因，這些都影響著中國人口增加。年初公布《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究匯報(bào)》(附錄1)還做出了深入分析。關(guān)于中國人口問題已經(jīng)有多方面研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2就是從《中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒》上搜集到部分?jǐn)?shù)據(jù)。試從中國實(shí)際情況和人口增加上述特點(diǎn)出發(fā)，參考附錄2中相關(guān)數(shù)據(jù)（也能夠搜索相關(guān)文件和補(bǔ)充新數(shù)據(jù)），建立中國人口增加數(shù)學(xué)模型，并由此對(duì)中國人口增加中短期和長久趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)；尤其要指出你們模型中優(yōu)點(diǎn)與不足之處。附錄1《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究匯報(bào)》

附錄2人口數(shù)據(jù)（《中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒》中部分?jǐn)?shù)據(jù)）及其說明第8頁1、問題分析

人口問題一直是人們所關(guān)注一個(gè)課題。關(guān)于人口增加問題已經(jīng)有多方面研究，如馬爾薩斯指數(shù)增加模型、Logistic人口阻滯增加模型、偏微分方程模型、Lislie模型等。

我國是一個(gè)人口大國，人口增加數(shù)學(xué)模型研究有著主要意義。年國家公布了《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究》匯報(bào)，對(duì)于中國人口發(fā)展現(xiàn)實(shí)狀況、未來人口增加模型、人口素質(zhì)、人口教育、就業(yè)問題以及中國人口現(xiàn)階段增加特點(diǎn)進(jìn)行了總結(jié)。本研究基于該文章、《中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒》等資料所提供數(shù)據(jù)信息建立一個(gè)含有中國人口增加特點(diǎn)常微分方程初值問題數(shù)學(xué)模型，并利用該模型對(duì)中國未來人口增加情況進(jìn)行預(yù)測(cè)。第9頁2、基本假設(shè)

依據(jù)《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究》匯報(bào)，當(dāng)前中國人口增加有以下特點(diǎn)：

1）中國正進(jìn)入老齡化社會(huì)，老年人比重在不停加大；

2）農(nóng)村與城鎮(zhèn)育齡婦女生育率及出生人口性別比有著較大區(qū)分；

3）農(nóng)村人口不停城鎮(zhèn)化，依據(jù)《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究》匯報(bào)，預(yù)計(jì)轉(zhuǎn)化率為百分之一。

人口增加率取決于出生率、死亡率和不一樣人群之間遷移率。而出生率又取決于育齡婦女生育率及育齡婦女在總?cè)丝谥兴嫉冒俜直?。所以，需要?duì)這些相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。第10頁1）育齡婦女生育率：

圖中是1994~年十年間城鎮(zhèn)育齡婦女生育率，從中能夠看出即使成下降趨勢(shì)，但下降趨勢(shì)趨于緩解。農(nóng)村育齡婦女生育率情況類似，總體數(shù)據(jù)偏高，需要分開考慮。1994~年育齡婦女生育率(千分比)第11頁2）出生人口性別比

普通情況下人口性別比為105：100左右。而中國這10年間人口性比比遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出這個(gè)百分比，這將造成未來育齡婦女在總?cè)丝谥邪俜直冉档?，從而造成總出生率下降，所以在本研究中有必要將出生人口男女性別比原因考慮進(jìn)去。1994~年男女出生百分比(以女性為100)第12頁1）死亡率

不一樣年紀(jì)段死亡率是不一樣，需要將死亡率分年紀(jì)段考慮。城鎮(zhèn)女性年死亡率(千分比)第13頁4）人口年紀(jì)分布

能夠看出過去50年來人口出生改變情況。15年前（1990）和35（1970）年前均出現(xiàn)人口生育高峰。深入數(shù)據(jù)分析表明，這兩次人口生育高峰主要出現(xiàn)在農(nóng)村。也看出近15年來人口出生下降趨勢(shì)。而50歲以下人口因?yàn)樗劳雎屎艿?，這些人成批進(jìn)入老年階段將使老齡人口比重加大。年分年紀(jì)段人口數(shù)量第14頁5）農(nóng)村人口城鎮(zhèn)化

因?yàn)檗r(nóng)村和城鎮(zhèn)人口出生率較大差異，大量農(nóng)村人口轉(zhuǎn)化為城鎮(zhèn)人口對(duì)中國人口增加將造成很大影響，所以必須把這個(gè)原因考慮進(jìn)去?！秶胰丝诎l(fā)展戰(zhàn)略研究匯報(bào)》預(yù)測(cè)農(nóng)村人口城鎮(zhèn)化水平式年增加1%。但考慮到在城鎮(zhèn)中女性在服務(wù)業(yè)和婚姻方面較男性優(yōu)勢(shì)，能夠假設(shè)農(nóng)村男性以0.9%百分比轉(zhuǎn)化，而女性以1.1%轉(zhuǎn)化。所以，我們能夠把中國人口分成城鎮(zhèn)男、城鎮(zhèn)女、農(nóng)村男、農(nóng)村女四類分別處理，并引進(jìn)農(nóng)村人口向城鎮(zhèn)遷移原因。第15頁3、模型建立1）人口分年紀(jì)百分比未來走向

因?yàn)樵谟懻摮錾屎退劳雎蕰r(shí)包括到不一樣年紀(jì)段問題，需要對(duì)上述每一類人口在各年紀(jì)段所占得百分比做出預(yù)計(jì)。

對(duì)每一類人口按其是否參加生育分為：幼年（0-14歲）、青壯年（15~49）和老年（50歲以上）三個(gè)年紀(jì)段人口百分比來處理。經(jīng)過數(shù)據(jù)分析能夠看出，老齡化結(jié)果造成老年人口增加，而幼年和青壯年人口在總?cè)丝谥兴嫉冒俜直葎t逐年降低，育齡婦女生育年紀(jì)主要集中在20~35歲，且其生育率趨于常數(shù)。第16頁

以城鎮(zhèn)女性人口為例，將城鎮(zhèn)女性人口按年紀(jì)分作81維向量，按已知各年紀(jì)人口百分比、死亡率和育齡婦女生育率，利用Leslie矩陣進(jìn)行迭代。與通常Leslie矩陣方法不一樣，采取是人口百分比而非人口數(shù)量。設(shè)其中a15~a50為常數(shù)（城鎮(zhèn)育齡婦女女嬰生育率），其它為0。bi=1-ci,ci為i歲城鎮(zhèn)女性人口死亡率。每步得到結(jié)果后進(jìn)行規(guī)一化處理后，進(jìn)行下一步計(jì)算。第17頁

向量各分量依次為第t年城鎮(zhèn)0~80歲女性人口百分比，取年1%抽樣人口抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)位初值，對(duì)上式進(jìn)行迭代，按上述幼年、青壯年、老年三個(gè)年紀(jì)段人口百分比來表示。未來城鎮(zhèn)育齡婦女分年紀(jì)走勢(shì)圖

從上圖能夠看出，城鎮(zhèn)婦女幼年階段與青壯年育齡階段所占得百分比改變呈下降趨勢(shì)。原因：這兩個(gè)年紀(jì)段人口總體死亡率很小，每次迭代都乘以一個(gè)小于1數(shù)。第18頁結(jié)論：城鎮(zhèn)婦女幼年階段與青壯年育齡階段所占得百分比改變呈下降趨勢(shì)。證實(shí)：將人口分成幼年x1、青壯年x2和老年x3三部分，得到滿足

其中α偉每年幼年向青壯年轉(zhuǎn)化率，β是青壯年向老年

轉(zhuǎn)化率，b是育齡婦女女嬰生育率，c是老年死亡率。

幼年和青壯年死亡率很低，給予忽略不計(jì)。第19頁上述矩陣是能夠?qū)腔?，即存在可逆矩陣P，使得這么，就得到第20頁然后再對(duì)xn進(jìn)行規(guī)一化處理得到其中由確定。第21頁考慮短期（n<60）,建立簡單微分方程模型分別為幼年、育齡和老年城鎮(zhèn)女性人口百分比函數(shù)，為非負(fù)參數(shù)，滿足解為r,s為初值。第22頁

同理其它三類（農(nóng)村男、女、城鎮(zhèn)男）有類似結(jié)果。即0～14和15～49歲兩個(gè)年紀(jì)段趨勢(shì)函數(shù)都呈指數(shù)性下降。

需要考慮一個(gè)問題：農(nóng)村分別在1970年和1990年前后經(jīng)歷了兩個(gè)生于高峰，而指數(shù)擬合只能表達(dá)出未來分年紀(jì)段走勢(shì)主趨勢(shì)。

添加一個(gè)不停減弱周期性震蕩來描述這種周期性改變。

在某次生育高峰后還會(huì)周期性地出現(xiàn)新生育高峰，而文化素養(yǎng)提升和晚婚晚育政策會(huì)減弱這種峰值效應(yīng)。

正弦函數(shù)第23頁城鎮(zhèn)男性分別為幼年、育齡和老年城鎮(zhèn)女性人口百分比函數(shù)，為非負(fù)參數(shù)，滿足第24頁農(nóng)村女性分別為幼年、育齡和老年農(nóng)村女性人口百分比函數(shù)，為非負(fù)參數(shù)，滿足為普通參數(shù)。第25頁農(nóng)村男性分別為幼年、育齡和老年農(nóng)村男性人口百分比函數(shù)，為非負(fù)參數(shù)，滿足為普通參數(shù)。第26頁預(yù)測(cè)模型

確定城鎮(zhèn)和農(nóng)村男女各年紀(jì)段百分比函數(shù)，依據(jù)假設(shè)：生育率是由育齡婦女?dāng)?shù)量決定、農(nóng)村和城鎮(zhèn)育齡婦女生育率均不變、出生人口性別比均不變、各年紀(jì)段人口死亡率不變、農(nóng)村人口按照一定常數(shù)百分比向城鎮(zhèn)遷移，來建立模型。第27頁符號(hào)要求城鎮(zhèn)男、女人口城鎮(zhèn)男、女人口農(nóng)村幼年、育齡、老年男性死亡率農(nóng)村幼年、育齡、老年女性死亡率城鎮(zhèn)幼年、育齡、老年男性死亡率城鎮(zhèn)幼年、育齡、老年女性死亡率農(nóng)村男、女轉(zhuǎn)化率城鎮(zhèn)、農(nóng)村男性出生百分比城鎮(zhèn)、農(nóng)村育齡女性生育率第28頁參數(shù)確定

依據(jù)《中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒》－卷中數(shù)據(jù)能夠整合得到：出生率、男性出生百分比、轉(zhuǎn)化率、死亡率、人口發(fā)展走勢(shì)參數(shù)（a,b,c,d,f,g,k,δ）。按照依據(jù)《中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒》卷只能高數(shù)據(jù)，能夠得到年初值：

x(0)=287740000

y(0)=288259000

u(0)=399