章復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門(mén)和鑰匙，忽視數(shù)學(xué)必將傷害所有的知識(shí)，因?yàn)楹鲆晹?shù)學(xué)的人是無(wú)法了解任何其他科學(xué)乃至世界上任何其他事物的。

——（英）R.培根10/10/1第1頁(yè)教材及指導(dǎo)書(shū)一、教材：胡嗣柱等編著，《數(shù)學(xué)物理方法》，第二版，北京大學(xué)出版社，7月二、主要參考書(shū)：于濤等編《數(shù)學(xué)物理方法知識(shí)關(guān)鍵點(diǎn)與習(xí)題解析》，哈爾濱工程大學(xué)出版社，6月成績(jī)測(cè)定：作業(yè)20%＋上課出席參加10%＋考試70%聯(lián)絡(luò)方式：zyx@10/10/2第2頁(yè)課程講授計(jì)劃第一章復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)（5）第二章復(fù)變函數(shù)積分柯西定理和柯西公式（5）第六章點(diǎn)源和瞬時(shí)源函數(shù)（2）第七章傅里葉變換和色散關(guān)系（6）第八章線性常微分方程級(jí)數(shù)解法和一些特殊函數(shù)（8）第九章數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題（6）第十章行波法和分離變量法本征值問(wèn)題（6）第十一章積分變換法（4）第十二章球坐標(biāo)下分離變量法（8）第十三章柱坐標(biāo)下分離變量法Bessel函數(shù)（8）10/10/3第3頁(yè)上篇復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論（theoryofcomplexfunctions）目標(biāo)：

把微積分延伸到復(fù)域。使微分和積分取得新深度和意義。10/10/4第4頁(yè)主要內(nèi)容:

1

復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)2復(fù)變函數(shù)積分柯西定理和柯西公式

3復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)等（自學(xué)）4解析函數(shù)（自學(xué)）

5定積分計(jì)算（自學(xué)）

6δ函數(shù)

其余拉普拉斯變換內(nèi)容（自學(xué)）7傅立葉變換和色散8線性常微分方程級(jí)數(shù)解法和一些特殊函數(shù)10/10/5第5頁(yè)第一章復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)虛數(shù)是奇妙的人類(lèi)精神寄托，它好像是存在與不存在之間的一種兩棲動(dòng)物。10/10/6第6頁(yè)目標(biāo)與要求：掌握復(fù)變函數(shù)基本概念和復(fù)函數(shù)可導(dǎo)必要條件、掌握解析函數(shù)概念、函數(shù)解析充要條件、復(fù)勢(shì)概念。教學(xué)重點(diǎn)：柯西-黎曼條件、復(fù)變函數(shù)解析充要條件；教學(xué)難點(diǎn)：柯西-黎曼條件與復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)充要條件、復(fù)變函數(shù)解析充要條件學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要10/10/7第7頁(yè)萊昂哈德·保羅·歐拉（LeonhardPaulEuler，174月15日－1783年9月18日）是一位瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一，他一生大部分時(shí)間在俄羅斯帝國(guó)和普魯士度過(guò)。歐拉在數(shù)學(xué)多個(gè)領(lǐng)域，包含微積分和圖論都做出過(guò)重大發(fā)覺(jué)。他引進(jìn)許多數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和書(shū)寫(xiě)格式，比如函數(shù)記法"f(x)"，一直沿用至今。另外，他還在力學(xué)、光學(xué)和天文學(xué)等學(xué)科有突出貢獻(xiàn)。歐拉是18世紀(jì)出色數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是有史以來(lái)最偉大數(shù)學(xué)家之一。他也是一位多產(chǎn)作者，其文學(xué)著作約有60-80冊(cè)。法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯曾這么評(píng)價(jià)歐拉對(duì)于數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)：“讀歐拉著作吧，在任何意義上，他都是我們大師”10/10/8第8頁(yè)1.0問(wèn)題提出負(fù)數(shù)有對(duì)數(shù)嗎？Bernoulli：負(fù)數(shù)對(duì)數(shù)是實(shí)數(shù)Leibniz：不可能有負(fù)數(shù)對(duì)數(shù)只對(duì)正數(shù)成立Euler：在1747年指出差一常數(shù)1740年，Euler給Bernoulli信中說(shuō)：和是同一個(gè)微分方程解，所以應(yīng)該相等1743年，發(fā)表了Euler公式Euler把作為特殊數(shù)10/10/9第9頁(yè)(1).復(fù)數(shù)代數(shù)形式對(duì)虛數(shù)單位要求:1.1復(fù)數(shù)基本概念顯然，此方程在實(shí)數(shù)集中是無(wú)解。1。

2考慮解方程：-=x為了求出方程解,引入一個(gè)新數(shù)i,稱(chēng)為虛數(shù)單位.1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算i2=–110/10/10第10頁(yè)定義i-虛數(shù)單位滿足：i2=-1虛部記做：Imz=y實(shí)部記做：Rez=x{}

稱(chēng)為為復(fù)數(shù)集,,|RyxiyxzzC?+==.

,,

為復(fù)數(shù)稱(chēng)對(duì)于iyxzRyx+=?"

;

,

0

,0

稱(chēng)為純虛數(shù)時(shí)當(dāng)iyzyx=1=

.

,0

,

0

xixzy我們把它看作實(shí)數(shù)時(shí)當(dāng)+==10/10/11第11頁(yè)

兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們實(shí)部和虛部分別相等.

復(fù)數(shù)

z

等于0當(dāng)且僅當(dāng)它實(shí)部和虛部同時(shí)等于0.說(shuō)明兩個(gè)數(shù)假如都是實(shí)數(shù),能夠比較它們大小,假如不全是實(shí)數(shù),就不能比較大小,也就是說(shuō):設(shè)：z1=x1+i·y1

z2=x2+i·y2復(fù)數(shù)不能比較大小!!!10/10/12第12頁(yè)（2）復(fù)平面表示與復(fù)數(shù)三角式復(fù)數(shù)矢量表示法

復(fù)數(shù)z=x+iy能夠用平面上一個(gè)點(diǎn)（x,y）或一個(gè)矢量表示，通常把橫軸叫實(shí)軸，縱軸叫虛軸，而把這種用來(lái)表示復(fù)數(shù)平面叫復(fù)平面。oxyP(x,y)xy

10/10/13第13頁(yè)顯然由復(fù)數(shù)復(fù)平面表示，有以下各式成立

復(fù)矢量長(zhǎng)度稱(chēng)為復(fù)數(shù)?；蚪^對(duì)值如圖：那么復(fù)數(shù)（復(fù)矢量）能夠表示為復(fù)數(shù)三角表示式oxyP(x,y)xy

10/10/14第14頁(yè)說(shuō)明幅角不確定.

.arg

,

,

,

0

=1zzoPzz記作幅角稱(chēng)為為終邊角弧度數(shù)向量以表示以正實(shí)軸為始邊情況下在,0有沒(méi)有窮多個(gè)幅角任何一個(gè)復(fù)數(shù)1z

,是其中一個(gè)幅角假如全部幅角為那么

z

).(

π2arg為任意整數(shù)kkz+=

,0

,

0

,==zz時(shí)當(dāng)特殊地oxyP(x,y)xy

10/10/15第15頁(yè)幅角主值定義:復(fù)數(shù)三角函數(shù)表示式利用歐拉公式復(fù)數(shù)能夠表示成復(fù)數(shù)指數(shù)表示式(3)復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)表示

).(

π2arg為任意整數(shù)kkz+=在z(≠0)幅角中，把位于０<<2π

稱(chēng)為argz主值。而復(fù)數(shù)輻角與幅角主值間相關(guān)系10/10/16第16頁(yè)設(shè)z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù)加減z1±

z2=(x1+iy1)

±

(x2+i

y2)

=(x1±

x2)+i(y1±

y2)（4）復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則(注:利用到實(shí)數(shù)特例時(shí),能夠與實(shí)數(shù)運(yùn)算規(guī)則相符)乘法兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘等于它們模相乘，幅角相加10/10/17第17頁(yè)除法兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等于它們模相除，幅角相減n次冪n次根冪迫近10/10/18第18頁(yè)共軛共軛復(fù)數(shù):實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反兩個(gè)復(fù)數(shù)稱(chēng)為共軛復(fù)數(shù).例1.1解結(jié)論：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)積是實(shí)數(shù).積與計(jì)算共軛復(fù)數(shù)yixzyixz-=+=

,

zz共軛復(fù)數(shù)記為.

,

iyxziyxz-=+=則若注意:10/10/19第19頁(yè)共軛復(fù)數(shù)性質(zhì):以上各式證實(shí)略.10/10/20第20頁(yè)例1.2

某化工廠計(jì)劃修建兩個(gè)深度相同方池，甲池面積為3平方米，乙池為立方池，其容積比甲池大1立方米。問(wèn)方池深度應(yīng)為多少？解：設(shè)方池深度為x。按設(shè)計(jì)要求有令代入上述方程有：其根為從而10/10/21第21頁(yè)(1)初等解析函數(shù)指數(shù)函數(shù)這里ex是實(shí)指數(shù)函數(shù)實(shí)正、余弦函數(shù).)sin(cos.指數(shù)函數(shù)為稱(chēng)設(shè)zyiyeeiyxzxz+=+=定義1復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)1.2復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)柯西—黎曼條件.,2cos.,2sin余弦函數(shù)正弦函數(shù)定義稱(chēng)為稱(chēng)為izizizizeezieez--+=-=三角函數(shù)10/10/22第22頁(yè).cossintan正切函數(shù)稱(chēng)為zzz=

例1.3

解方程解10/10/23第23頁(yè)雙曲函數(shù).,2ch.,2sh雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)定義稱(chēng)為稱(chēng)為zzzzeezeez--+=-=有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)有理分式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)分母不為零點(diǎn)是連續(xù).

,

)(

)(

都是多項(xiàng)式和其中zQzP

;

都是連續(xù)對(duì)復(fù)平面內(nèi)全部點(diǎn)z10/10/24第24頁(yè)對(duì)數(shù)函數(shù)稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù)lnz主值。而.

,

,

一個(gè)分支稱(chēng)為可確定一個(gè)單值函數(shù)對(duì)于每一個(gè)固定zkln對(duì)數(shù)函數(shù)定義為：;ln

是一個(gè)無(wú)窮多值復(fù)變函數(shù)z10/10/25第25頁(yè)冪函數(shù)定義

設(shè)α是任意復(fù)數(shù)，z冪函數(shù)定義為.0,0,==aazz時(shí)補(bǔ)充要求是正實(shí)數(shù)時(shí)當(dāng);,lnln.,

ln主值稱(chēng)為冪函數(shù)時(shí)取主值當(dāng)是一個(gè)無(wú)窮多值函數(shù)普通說(shuō)來(lái)aaaazezzzzz=注意10/10/26第26頁(yè)例1.4解10/10/27第27頁(yè)例1.5解10/10/28第28頁(yè)

定義：當(dāng)z=x+iy在復(fù)平面上改變時(shí)，假如對(duì)應(yīng)于z每一個(gè)值，都有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)值w與之對(duì)應(yīng)。則稱(chēng)w為z復(fù)變函數(shù),記作

w=f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)（2）復(fù)變量函數(shù)一個(gè)復(fù)變函數(shù)能夠用兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)表示.10/10/29第29頁(yè)(3)復(fù)數(shù)導(dǎo)數(shù)定義記為：10/10/30第30頁(yè){})(

).()()]([)6(zgwzgwfzgf=￠￠=￠其中求導(dǎo)公式與法則:

.

,0)()1(為復(fù)常數(shù)其中cc=￠

.,)()2(1為正整數(shù)其中nnzznn-=￠

因?yàn)閺?fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)定義與一元實(shí)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)定義在形式上完全一致,而且復(fù)變函數(shù)中極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)中一樣,因而實(shí)變函數(shù)中求導(dǎo)法則都能夠不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái),且證實(shí)方法也是相同.10/10/31第31頁(yè)可導(dǎo)：對(duì)任何方向，極限都存在并唯一。復(fù)變函數(shù)f(z)：

z沿任一曲線迫近零。2.柯西—黎曼條件（復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)必要條件）0實(shí)數(shù)實(shí)變數(shù)f(x)：

x沿實(shí)軸迫近零。所以，復(fù)函數(shù)可導(dǎo)性是比實(shí)函數(shù)可導(dǎo)性條件強(qiáng)得多。是否存在復(fù)函數(shù)可導(dǎo)必須滿足基本條件？復(fù)數(shù)10/10/32第32頁(yè)

z沿實(shí)軸→0,

y0設(shè)f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo).下面分析

z分別沿平行于實(shí)軸（

y0）和平行于虛軸（

x0）趨于零特殊情況：柯西—黎曼條件10/10/33第33頁(yè)柯西—黎曼條件或C-R條件因?yàn)閒(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)，要求沿不一樣方向極限相等可導(dǎo)必要條件

z沿虛軸→,

x010/10/34第34頁(yè)定理若存在且連續(xù)，則f(z)可導(dǎo)充要條件是f(z)滿足柯西—黎曼條件。證：因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)連續(xù)，依據(jù)偏導(dǎo)數(shù)定義,二元函數(shù)u

和υ增量可分別寫(xiě)為伴隨則復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)充要條件10/10/35第35頁(yè)柯西—黎曼條件這一極限是與方式無(wú)關(guān)有限值，所以f(z)可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)定義式注意:單值初等函數(shù)在復(fù)平面上幾乎處處可導(dǎo).10/10/36第36頁(yè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)共軛函數(shù)不一定可導(dǎo)。例1.6討論復(fù)函數(shù)w=x+iy和其復(fù)共軛w'=x-iy可導(dǎo)性解:不滿足柯西—黎曼條件10/10/37第37頁(yè)1.復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)必要條件：柯西—黎曼條件；2.復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)充要條件：若存在且連續(xù)，則f(z)可導(dǎo)充要條件是f(z)滿足柯西—黎曼條件。本講小結(jié)與思考

3.單值初等函數(shù)在復(fù)平面上幾乎處處可導(dǎo),可導(dǎo)函數(shù)復(fù)共軛函數(shù)不一定可導(dǎo).10/10/38第38頁(yè)1.21.4(1)(5)(6)1.6§1.1和§1.2作業(yè)10/10/39第39頁(yè)1區(qū)域

鄰域定義：如圖，由不等式(δ為任意正數(shù))所確定平面點(diǎn)集(簡(jiǎn)稱(chēng)點(diǎn)集)，稱(chēng)為以z0為中心δ鄰域或鄰域。

所確定點(diǎn)集為z0去心δ鄰域或去心鄰域。類(lèi)似于實(shí)變函數(shù)，下面介紹對(duì)應(yīng)于復(fù)變函數(shù)：鄰域、內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)和開(kāi)集等概念。

由實(shí)變函數(shù)理論我們知道，函數(shù)定義域是一個(gè)滿足一定條件平面點(diǎn)集，我們稱(chēng)之為區(qū)域D。鄰域而稱(chēng)如圖所表示不等式1.3解析函數(shù)10/10/40第40頁(yè)z0設(shè)E為點(diǎn)集（如圖），z0為E中一點(diǎn)。則：內(nèi)點(diǎn)：假如存在z0一個(gè)鄰域，該鄰域內(nèi)全部點(diǎn)都屬于點(diǎn)集E，則稱(chēng)z0為E內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)：若點(diǎn)z0某一個(gè)鄰域內(nèi)點(diǎn)都不屬于點(diǎn)集E，則稱(chēng)點(diǎn)z0為E外點(diǎn)。邊界點(diǎn)：若在點(diǎn)z0任意一個(gè)鄰域內(nèi)，現(xiàn)有屬于點(diǎn)集E

點(diǎn)，也有不屬于E點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)z0為E邊界點(diǎn)，點(diǎn)集E全部邊界點(diǎn)稱(chēng)為E邊界。注意

區(qū)域邊界可能是由幾條曲線和一些孤立點(diǎn)所組成。開(kāi)集：

若點(diǎn)集E點(diǎn)皆為內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)E為開(kāi)集。內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)PE10/10/41第41頁(yè)區(qū)域定義：點(diǎn)集E稱(chēng)為一個(gè)區(qū)域D，假如它滿足：(1)E是一個(gè)開(kāi)集；(2)E是連通，就是說(shuō)E中任何兩點(diǎn)z1和z2都能夠用完全屬于E一條折線連接起來(lái)。

通常稱(chēng)含有性質(zhì)(2)集為連通，所以一個(gè)區(qū)域就是一個(gè)連通開(kāi)集。區(qū)域D加上它邊界C(p)稱(chēng)為閉區(qū)域或閉域，記為.D-區(qū)域內(nèi)點(diǎn)10/10/42第42頁(yè)單連通域與多連通域設(shè)D為復(fù)平面上一個(gè)區(qū)域，假如在其中作一條簡(jiǎn)單閉曲線（本身不相交閉合曲線），而曲線內(nèi)部總屬于D，則稱(chēng)D為單連通區(qū)域，不然稱(chēng)為多連通區(qū)域。單連通域多連通域10/10/43第43頁(yè)2解析函數(shù)概念

若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處解析；又若f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)解析，則稱(chēng)f(z)在區(qū)域D內(nèi)是解析函數(shù)說(shuō)明：1.解析與可導(dǎo)不等價(jià)

函數(shù)在某點(diǎn)解析，則必在該點(diǎn)可導(dǎo)；反之不然不過(guò)在區(qū)域D內(nèi)解析函數(shù)則其解析性與可導(dǎo)等價(jià).

例：函數(shù)只在z=0點(diǎn)可導(dǎo)，在z=0鄰域內(nèi)不可導(dǎo)，因而不解析10/10/44第44頁(yè)2.稱(chēng)函數(shù)不解析點(diǎn)為奇點(diǎn)f(z)在點(diǎn)z0無(wú)定義或無(wú)確定值；f(z)在點(diǎn)z0不連續(xù)；f(z)在點(diǎn)z0不可導(dǎo)；f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo),但找不到在其內(nèi)處處可導(dǎo)鄰域。3.解析函數(shù)充分必要條件設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)

在區(qū)域D內(nèi)解析當(dāng)且僅當(dāng)：(1)實(shí)部和虛部在D內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)；(2)實(shí)部和虛部在D內(nèi)每一點(diǎn)滿足柯西—黎曼條件10/10/45第45頁(yè)例1.7判斷以下函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解（1）

因?yàn)閡=excosy,υ=exsiny,柯西-黎曼條件成立,因?yàn)樯厦嫠膫€(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù),所以f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo),處處解析,且有

f'(z)=exp(x)(cosy+isiny)=f(z)這個(gè)函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)ez.10/10/46第46頁(yè)(2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,υ=xy,所以輕易看出,這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù),但僅當(dāng)x=y=0時(shí),它們才滿足柯西-黎曼方程,因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo),所以在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析.10/10/47第47頁(yè)由上述討論可知，既然f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則存在且連續(xù)，其實(shí)部和虛部皆可導(dǎo)。由此我們能夠利用柯西－黎曼條件由解析函數(shù)u或υ部分構(gòu)建出一個(gè)解析函數(shù)。3解析函數(shù)應(yīng)用從區(qū)域內(nèi)固定一點(diǎn)（x0,y0）到(x,y)積分上式有同理，C為任意常數(shù)

10/10/48第48頁(yè)10/10/49第49頁(yè)

依據(jù)C-R條件

積分路徑選為，則得到

依據(jù)條件，故得..10/10/50第50頁(yè)1.4多值函數(shù)問(wèn)題提出前面引入關(guān)于函數(shù)可導(dǎo)和解析概念皆是建立在單值復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)上。對(duì)于多值函數(shù)，復(fù)平面上任一自變量對(duì)應(yīng)多個(gè)函數(shù)值，函數(shù)本身不含有函數(shù)可導(dǎo)所含有“當(dāng)z在z0鄰域內(nèi)沿一切方向、按任意方式趨于z0時(shí)，含有同一極限值”性質(zhì)。

為了討論多值函數(shù)可導(dǎo)和解析性，我們要使多值復(fù)變函數(shù)與自變量間一一對(duì)應(yīng)。實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)方法是擴(kuò)大自變量定義域。

這是本節(jié)討論重點(diǎn)！

10/10/51第51頁(yè)1.4多值函數(shù)1多值函數(shù)及分支點(diǎn)以以下多值函數(shù)為例

為了清楚地看出多值函數(shù)性質(zhì)，現(xiàn)在先仔細(xì)分析n=2情況幅角主值：分析此例子，我們發(fā)覺(jué)z=a是一個(gè)特殊點(diǎn)，當(dāng)z-a圍繞z=a旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，w=f(z)函數(shù)值要改變。這么點(diǎn)稱(chēng)為多值函數(shù)支點(diǎn)。本例圍繞支點(diǎn)一周不復(fù)原定義為一階支點(diǎn).幅角主值區(qū)10/10/52第52頁(yè)現(xiàn)在（n=3）,z-a

圍繞z=a點(diǎn)二周不復(fù)原故稱(chēng)z=a為函數(shù)w二階支點(diǎn).以這類(lèi)推：應(yīng)注意是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞一樣可能是多值函數(shù)支點(diǎn)。仍以n=2為例，令z-a=1/t,則z=∞是w支點(diǎn)。10/10/53第53頁(yè)2黎曼面下面我們?nèi)砸宰訛槔?0/10/54第54頁(yè)10/10/55第55頁(yè)10/10/56第56頁(yè)10/10/57第57頁(yè)3超越支點(diǎn)10/10/58第58頁(yè)我們知道在區(qū)域D內(nèi)，解析函數(shù)f(z)實(shí)部u(x,y)和虛部υ(x,y)滿足柯西－黎曼條件，即§1.6解析函數(shù)物了解釋復(fù)勢(shì)得出1調(diào)和函數(shù)上式左邊分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)數(shù)10/10/59第59頁(yè)定義稱(chēng)方程為拉普拉斯方程.滿足此拉普拉斯方程函數(shù)稱(chēng)為調(diào)和函數(shù).同理得無(wú)源、無(wú)旋標(biāo)量場(chǎng)，比如，靜電場(chǎng)、溫度場(chǎng)和流場(chǎng)等，它們勢(shì)滿足拉普拉斯方程。上面分析表示，解析函數(shù)實(shí)部和虛部都是二維調(diào)和函數(shù)。我們稱(chēng)解析函數(shù)實(shí)部和虛部為共軛調(diào)和函數(shù)10/10/60第60頁(yè)2解析函數(shù)實(shí)部和虛部梯度正交即由柯西—黎曼方程解析函數(shù)實(shí)部和虛部之梯度是相互正交。我們要問(wèn)：解析函數(shù)上述性質(zhì)在物理學(xué)研究中有何應(yīng)用價(jià)值？10/10/61第61頁(yè)

由電磁學(xué)我們知道：（1）靜電場(chǎng)電勢(shì)滿足拉普拉斯方程

3平面靜電場(chǎng)復(fù)勢(shì)（3）由圖可知：靜電場(chǎng)等勢(shì)線族（方向沿等勢(shì)面切線方向）和電力線族（方向沿電場(chǎng)方向）是