內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市陶思浩中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市陶思浩中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.“數(shù)列{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“數(shù)列{an}是常數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若數(shù)列{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}為常數(shù)列，且an≠0，則反之當(dāng)an=0時(shí)，滿(mǎn)足數(shù)列{an}為常數(shù)列，但數(shù)列{an}不是等比數(shù)列，即“數(shù)列{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“數(shù)列{an}是常數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A2.已知函數(shù)在[－1,5]上的最大值為M，最小值為m，則M+m=

（

）A．0

B．2

C．4

D．6參考答案：D令而則關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，則在上關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，故答案選

3.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，，若關(guān)于的方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略4.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

（

）A．，在上是增函數(shù)

B．，在上是減函數(shù)C．，是偶函數(shù)

D．，是奇函數(shù)參考答案：C5.下列命題中，真命題是A．

B．C．

D．參考答案：D因?yàn)椋訟錯(cuò)誤。當(dāng)時(shí)有，所以B錯(cuò)誤。，所以C錯(cuò)誤。當(dāng)時(shí)，有，所以D正確，選D.6.函數(shù),若，則A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.設(shè)全集,集合,,則

(

)

A．{1}

B.{2}

C.{4}

D.{1,2,4}參考答案：D,{1,2,4}.選D.8.已知cos2（α+）=，則sin2α=（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：B【考點(diǎn)】二倍角的正弦．【分析】由已知利用降冪公式，誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)求值得解．【解答】解：∵cos2（α+）===，∴sin2α=．故選：B．9.已知雙曲線(xiàn)+=1，焦點(diǎn)在y軸上，若焦距為4，則a等于（）A． B．5 C．7 D．參考答案：D【考點(diǎn)】KC：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)的位置可得，解可得a的范圍，又由其焦距為4，即c=2，由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可得c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a的值．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線(xiàn)+=1，焦點(diǎn)在y軸上，則有，解可得a＜2，又由其焦距為4，即c=2，則有c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a=；故選：D．10.橢圓的離心率為（A）

(B)

（C）

(D)參考答案：D本題主要考查了橢圓的方程和性質(zhì)，難度較小.在橢圓方程中，，，又，得所以橢圓的離心率為.故選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各側(cè)面均為正方形，側(cè)面AA1C1C的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)A，則BM與平面AA1C1C所成角的大小是．參考答案：略12.（文）機(jī)器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走”．如圖所示，“海寶”從圓心出發(fā)，先沿北偏西方向行走13米至點(diǎn)處，再沿正南方向行走14米至點(diǎn)處，最后沿正東方向行走至點(diǎn)處，點(diǎn)、都在圓上．則在以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向的直角坐標(biāo)系中圓的方程為

.參考答案：，連結(jié),由題意知，,.所以，，由余弦定理可得，即，所以圓的半徑為，所以所求圓的方程為。13.已知，，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，∠AOC=45°，設(shè)，則=． 參考答案：【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用． 【專(zhuān)題】計(jì)算題． 【分析】將向量沿與方向利用平行四邊形原則進(jìn)行分解，構(gòu)造出三角形，由題目已知，可得三角形中三邊長(zhǎng)及三個(gè)角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此題如果沒(méi)有已知給定圖形的限制，應(yīng)該有兩種情況，即也可能為OC在OA順時(shí)針?lè)较?5°角的位置，請(qǐng)大家注意分類(lèi)討論，避免出錯(cuò)． 【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系． 則=（1，0），=（0，）， ∴=m+n =（m，n）， ∴tan45°==1， ∴=． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)一個(gè)向量根據(jù)平面向量基本定理進(jìn)行分解，關(guān)鍵是要根據(jù)平行四邊形法則，找出向量在基底兩個(gè)向量方向上的分量，再根據(jù)已知條件構(gòu)造三角形，解三角形即可得到分解結(jié)果． 14.若曲線(xiàn)在點(diǎn)(1，a)處的切線(xiàn)平行于x軸，則a=________．參考答案：略15.已知?jiǎng)t________________，_____________.參考答案：

【分析】根據(jù)已知條件利用二倍角的余弦公式、兩角和的正弦公式對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)成形式，即可求出、的值.【詳解】所以故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角余弦公式、兩角和正弦公式，屬于較易題.16.設(shè)，若恒成立，則k的最大值為

參考答案：17.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),則的最大值為_(kāi)_______．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿(mǎn)分14分）

已知函數(shù)（且）．

（I）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（II）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求t的值；

（III）若存在x1，x2∈[﹣1,1]，使得，試求a的取值范圍．注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。參考答案：解：（Ⅰ），

由于，故當(dāng)x∈時(shí)，lna＞0，ax﹣1＞0，所以，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增。

………………4分（Ⅱ）當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，因?yàn)?，?/p>

在R上單調(diào)遞增，

故有唯一解x=0。

要使函數(shù)

有三個(gè)零點(diǎn)，所以只需方程

有三個(gè)根，

即，只要，解得t=2；

……………9分（Ⅲ）因?yàn)榇嬖趚1，x2∈[﹣1,1]，使得，

所以當(dāng)x∈[﹣1,1]時(shí)，。

由（Ⅱ）知，，

。

事實(shí)上，。

記（）

因?yàn)?/p>

所以

在上單調(diào)遞增，又。

所以

當(dāng)x＞1時(shí)，；

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，

也就是當(dāng)a＞1時(shí)，；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，。

①當(dāng)時(shí)，由，得，

解得。

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由，得，解得。

綜上知，所求a的取值范圍為。略19.設(shè)遞增等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=1，a4是a3和a7的等比中項(xiàng)，（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d（d＞0），由a3=1，a4是a3和a7的等比中項(xiàng)列方程組，然后求解等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，則通項(xiàng)公式可求；（Ⅱ）直接代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d（d＞0），由a3=1得，a1+2d=1①，由a4是a3和a7的等比中項(xiàng)得，②，整理②得，，因?yàn)閐＞0，所以2a1+3d=0③，聯(lián)立①③得：a1=﹣3，d=2．所以an=a1+（n﹣1）d=﹣3+2（n﹣1）=2n﹣5．（Ⅱ）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn===n2﹣4n．20.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P，且傾斜角為，圓C以M為圓心，3為半徑．（Ⅰ）求直線(xiàn)l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|?|PB|．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（I）根據(jù)題意直接求直線(xiàn)l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．（II）把代入x2+（y﹣3）2=9，利用參數(shù)的幾何意義，即可得出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），（答案不唯一，可酌情給分）圓的極坐標(biāo)方程為ρ=6sinθ．（Ⅱ）把代入x2+（y﹣3）2=9，得，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，∴t1t2=﹣7，則|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，∴|PA|?|PB|=7．21.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)，（Ⅰ）求函數(shù)的最大值和最小正周期；（Ⅱ）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別且,，若求的值．參考答案：（1）……………．3分

則的最大值為0，最小正周期是…6分

（2）則

由正弦定理得①………………9分

由余弦定理得

即②

由①②解得

………12分22.在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=．（Ⅰ）求AC的長(zhǎng)；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專(zhuān)題】解三角形．【分析】（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得：，解出即可；（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD?CDcos120°，解得AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則DE為梯形ABCD的高．在直角△ADE中，DE=AD?sin60°，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD=．由正弦定理得：，即==2．（Ⅱ）在△