泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

三、冪級(jí)數(shù)性質(zhì)1加減法設(shè)f(x)=和g(x)=收斂半徑分別各為R1>0和R2>0

,則=f(x)

g(x).收斂半徑R

min{R1,R2}.2設(shè)冪級(jí)數(shù)收斂半徑R>0,則在收斂區(qū)間(

R,R)內(nèi),其和函數(shù)S(x)是連續(xù)函數(shù).若級(jí)數(shù)在端點(diǎn)收斂,則S(x)在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).第1頁(yè)3冪級(jí)數(shù)和函數(shù)S(x)在收斂區(qū)間(

R,R)內(nèi)可導(dǎo),并能夠逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,且求導(dǎo)后級(jí)數(shù)收斂半徑不變.即

f

(x)=x

(R,R)

4冪級(jí)數(shù)和函數(shù)S(x)在收斂區(qū)間(

R,R)內(nèi)可積,并可逐項(xiàng)求積分,且積分后級(jí)數(shù)收斂半徑不變.x

(R,R)

即n=1

(anxn)

第2頁(yè)注

:慣用已知和函數(shù)冪級(jí)數(shù)(1)(

1<x<1)(2)(3)(4)(5)第3頁(yè)二、麥克勞林(Maclaurin)公式三、泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒公式建立§7.6泰勒(Taylor)公式與泰勒級(jí)數(shù)第4頁(yè)4一次多項(xiàng)式在微分應(yīng)用中有近似計(jì)算公式:若f

(x0)存在,則在x0點(diǎn)附近有f(x)=f(x0)+f(x0)(x

x0)f(x)

f(x0)+f(x0)(x

x0)+o(x

x0)需要處理問題怎樣提升精度?怎樣預(yù)計(jì)誤差?不足:1.準(zhǔn)確度不高;2.誤差不能定量預(yù)計(jì).希望:在x0點(diǎn)附近,用適當(dāng)高次多項(xiàng)式Pn(x)=a0+a1(x

x0)+a2(x

x0)2+···+an(x

x0)n

f(x)

一、泰勒公式第5頁(yè)猜測(cè)2若有相同切線3若彎曲方向相同近似程度越來越好

n次多項(xiàng)式系數(shù)確實(shí)定

1若在x0點(diǎn)相交Pn(x0)=f(x0)Pn

(x0)=f

(x0)Pn

(x0)=f

(x0)

y=f(x)假設(shè)Pn(k)(x0)=f(k)(x0)y=Pn(x)xoyx0第6頁(yè)即有Pn(x)=a0+a1(x

x0)+a2(x

x0)2+···+an(x

x0)n假設(shè)Pn(k)(x0)=f(k)(x0)Pn(n)(x)=n!anPn

(x)=a1+2a2(x

x0)+3a3(x

x0)2+···+nan(x

x0)n

1Pn

(x)=2a2+32a2(x

x0)+···+n(n1)an(x

x0)n2

a0=

f(x0),2a2=f

(x0),n!an=f(n)(x0),

k=0,1,2,3,···,n令x

=x0得a1=f

(x0),

a0=

f(x0),a1=f

(x0),第7頁(yè)k=0,1,2,3,···,n代入Pn(x)中得Pn(x)=f(x0)+f(x0)(x

x0)+(x

x0)2+···+(x

x0)nPn(x)=a0+a1(x

x0)+a2(x

x0)2+···+an(x

x0)n稱為函數(shù)f(x)在x0處泰勒多項(xiàng)式.k=0,1,2,3,···,n稱為泰勒系數(shù)f(x)=Pn(x)+o(x

x0)n.第8頁(yè)其中定理1(泰勒中值定理)若函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)某鄰域UR(x0)內(nèi)含有直到n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則當(dāng)x取UR(x0)內(nèi)任何值時(shí),f(x)可按(x

x0)方冪展開為f(x)=f(x0)+f(x0)(x

x0)+(

在x0與x之間)+Rn(x)公式(1)稱為函數(shù)f(x)在x0處泰勒公式.(1)

Rn(x)稱為拉格朗日(Lagrange)余項(xiàng).泰勒系數(shù)k=0,1,2,

···,n是唯一.第9頁(yè)設(shè)f(x)=f(x0)+f(x0)(x

x0)+k

證因?yàn)閒(x)在UR(x0)內(nèi)含有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),作輔助函數(shù)

(t)=f(x)[f(t)+f(t)(x

t)+

(x)=0=(x0),不妨設(shè)x0<x,則

(t)在[x0,x]連續(xù),在(x0,x)可導(dǎo),羅爾定理知,最少存在一點(diǎn)

(x0,x),使

(

)=0,第10頁(yè)因

(t)=

f

(t)

(t)=f(x)f(t)f(t)(x

t)

[f

(t)(x

t)

f(t)]

所以

(x0,x),故解得k=f(n+1)(

),x0>x時(shí)同理可證,第11頁(yè)其中f(x)=f(0)+f(0)x+1

當(dāng)x0=0時(shí),(

在0與x之間)或令

=

x,0<

<1,則+Rn(x).稱為函數(shù)f(x)麥克勞林(Maclaurin)公式.2

f(x)f(x0)+f(x0)(x

x0)+其誤差為:Rn(x)第12頁(yè)解例1*

求f(x)=ex在x=0n階泰勒公式.因?yàn)閒(n)(x)=ex,n=1,2,3,

所以f(n)(0)=e0=1,n=1,2,3,

于是f(x)=ex在x=0n階泰勒公式為:其中0<

<1.第13頁(yè)定義假如函數(shù)f(x)在x0某鄰域內(nèi)是存在任意階導(dǎo)數(shù),則冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)在x0處泰勒級(jí)數(shù).=f(x0)+f(x0)(x

x0)二、泰勒級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)麥克勞林級(jí)數(shù).問題:泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.第14頁(yè)解例2*

求f(x)=sinx

在x=0泰勒級(jí)數(shù).當(dāng)n=2k時(shí),

f(2k)(0)=sin(k

)=0,k=0,1,2,,當(dāng)n=2k+1時(shí),

f(2k+1)(0)=sin(k

+

)=

(1)k,得因=0,于是R=+,定理2

f(x)在x0點(diǎn)泰勒級(jí)數(shù)在UR

(x0)內(nèi)收斂于f(x)

在UR

(x0)內(nèi),Rn(x)0.第15頁(yè)=0,所以sinx

=

0

其中收斂區(qū)間為:(,+).

x

(,+).即第16頁(yè)麥克勞林多項(xiàng)式迫近sinxy=sinxy=x第17頁(yè)§7.7初等函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式一、直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)二、間接法三、常見函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式第18頁(yè)步驟:(1)求f(n)(x),n=0,1,2,

(4)討論?并求出其收斂區(qū)間.(3)寫出冪級(jí)數(shù)利用泰勒公式或麥克勞林公式將f(x)展開為冪級(jí)數(shù)若為0,則冪級(jí)數(shù)在此收斂區(qū)間內(nèi)等于函數(shù)

f(x);若不為0,則冪級(jí)數(shù)即使收斂,但它和不是f(x).一、直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)(2)計(jì)算an=

f(n)(x0),

n=0,1,2,

第19頁(yè)解例1

將f(x)=ex在展開成x冪級(jí)數(shù).因f(n)(x)=ex,n=1,2,3,,

f(n)(0)=e0=1,于是f(x)=ex在x=0麥克勞林級(jí)數(shù)為:其中0<

<1=0,所以ex=1+x+<x<+.收斂區(qū)間為:(,+)第20頁(yè)二項(xiàng)展開式++nxn1+xn(1+x)n=1+nx+(1+x)

=1+x+?第21頁(yè)解例2

將f(x)=(1+x

)

展開成x冪級(jí)數(shù).n=0,1,2,,

f(n)(0)=

(

1)(

2)(

n+1)=1,得[(1+x)

](n)

=

(

1)(

2)(

n+1)(1+x)(n)

,注意:當(dāng)x=

1時(shí),級(jí)數(shù)收斂性與

取值相關(guān).

1,收斂區(qū)間為:(1,1).

1<

<0,收斂區(qū)間為:(