數(shù)學(xué)物理方法課件第八章-分離變量法

本章基本要求掌握有界弦的自由振動解及其物理意義

著重掌握分離變量法的解題思路、解題步驟及其核心問題---本征值問題掌握非齊次方程的本征函數(shù)展開法掌握非齊次邊界條件齊次化的方法1本章中心內(nèi)容用分離變量法求解各種有界問題第八章分離變量法分離變量法核心：本章考慮問題（1）混合問題（2）邊值問題本章層次：2偏微分方程→常微分方程齊次方程+齊次邊界條件非齊次方程+齊次邊界條件非齊次方程+非齊次邊界條件這個定解問題的特點是：偏微分方程是線性奇次的，邊界條件也是奇次的。定解問題解：泛定方程：邊界條件：初始條件：3研究兩端固定的弦的自由振動定解問題1（第一類齊次邊界條件）由前面思路，設(shè)8.1有界弦的自由振動

x,t

是相互獨立的變量（求非零解）1、分離變量代入方程中，分離過程：得出兩個常微分方程：代入邊界條件：4高數(shù)中結(jié)論：2、求解本征值問題5若有二階常系數(shù)線性齊次方程其中p、q為常數(shù)，則特征方程為本方程特征方程r2+λ=0，由上面結(jié)論知，方程的解與λ的不同取值有關(guān)，分情況討論：6(1)(2)此時X（x）=0，只有零解，不合題意；同樣只有零解，不合題意；C2是積分常數(shù)7非零解(3)則X（x）的一族非零解為上解稱為滿足邊界條件的固有解（特征解），λ稱為固有值（特征值），sin函數(shù)稱為固有函數(shù)（特征函數(shù)）。固得到下面一族解：A、B

是積分常數(shù)3、解出時間函數(shù)，得到一族解時間函數(shù)解8解方程

n=1,2,3……

代入初始條件，有利用疊加原理！??！94、通過初始條件，求出通解此時要滿足初始條件，則10則定解問題的最終解為11（4）確定級數(shù)解中的待定常數(shù)（利用初始條件）6、分離變量法概要：（1）將偏微分方程化簡為常微分方程（U=XT)（2）確定固有值和固有函數(shù)（利用邊界條件）（3）確定形式解（級數(shù)形式解）1213例：求解（第二類齊次邊界條件）解：設(shè)14此時邊界條件為：相應(yīng)的特征值問題為：此時X（x）=0，只有零解，不合題意；(1)15同樣只有零解，不合題意；(2)非零解(3)16則特征解為將特征值代入T（t）的方程，解出則u（x，t）的特解族為同樣很難滿足初始條件，由疊加原理得17此時要滿足初始條件，有18故定解問題的最終解為注意本征函數(shù)問題：泛定方程邊界條件本征值問題本征值本征函數(shù)

k=1,2,3…

k=0,1,2,3…

21k=0,1,2,3…

k=0,1,2,3…

22研究一根弦在兩端固定的情況下，受強迫力作用所產(chǎn)生的振動現(xiàn)象。即考慮下列定解問題：8.2非奇次方程的解法23

設(shè)解為：初始狀態(tài)原因（零輸入）外力原因（零狀態(tài)）24

（零輸入響應(yīng)）

（零狀態(tài)響應(yīng)）