數(shù)字電子技術ch

2023/9/151第三章組合邏輯電路3.1邏輯代數(shù)3.2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法3.3組合邏輯電路的分析3.5組合邏輯電路中的競爭冒險3.4組合邏輯電路的設計2023/9/152

邏輯代數(shù)與初等代數(shù)的比較初等代數(shù)邏輯代數(shù)變量A、X取值∞…0、1、…+∞0、1數(shù)值符號0、1、…………、90、1數(shù)值表示數(shù)值，有大小，例如：1＞0兩個對立的邏輯狀態(tài)，例如：

1表示有，

0表示無基本運算加、減、乘、除與、或、非2023/9/1533.1.1邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式加運算:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1乘運算:0?0=00?1=01?0=01?1=1非運算:3.1邏輯代數(shù)分析數(shù)字電路或數(shù)字系統(tǒng)的數(shù)學工具，用二值函數(shù)進行邏輯描述和運算-----簡單1、基本定律2023/9/1542、交換律3、結合律4、分配律A+B=B+AA?B=B?AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA?(B?C)=(A?B)?CA(B+C)=A?B+A?CA+B?C=(A+B)(A+C)求證:

右邊=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;分配律,A=AA=A(1+B+C)+BC;分配律=A?1+BC;1+B+C=1=A+BC;A?1=1普通代數(shù)不適用!2023/9/1555、吸收律(1)A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A利用吸收律可以對邏輯式進行化簡。例如：被吸收吸收是指吸收多余（冗余）項，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。A(A+B)=A證明：A(A+B)=AA+AB=A+AB;AA=A=A;A+AB=A(2)2023/9/156(3)證明：例如：DEBCADEBCAA++=++(A+B)(A+C)=A+BC(4)證明：(A+B)(A+C)=AA+AC+BA+BC=A+AC+BA+BC;AA=A=A+BA+BC;A+AB=A=A+BC;A+AB=A2023/9/157(5)證明：證明：1吸收(6)2023/9/1586、反演律可以用列真值表的方法證明：德?摩根(De

?Morgan)定理：反演定律具有特殊重要的意義，它經常用于求一個函數(shù)的非函數(shù)或者對邏輯函數(shù)進行變換。2023/9/159

將Y式中“.”換成“+”,“+”換成“.”

“0”換成“1”,“1”換成“0”

原變量換成反變量，反變量換成原變量3.1.2邏輯代數(shù)的基本規(guī)則1.代入規(guī)則：等式中某一變量都代之以一個邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。例如，已知(用函數(shù)

A+C代替

A)則2.反演規(guī)則：不屬于單個變量上的反號應保留不變運算順序：括號乘加注意:2023/9/1510例如：已知反演規(guī)則的應用：求邏輯函數(shù)的反函數(shù)則

將Y式中“.”換成“+”,“+”換成“.”

“0”換成“1”,“1”換成“0”

原變量換成反變量，反變量換成原變量已知則變換時，原函數(shù)運算的先后順序不變不屬于單個變量上的反號應保留不變2023/9/15113.對偶規(guī)則：如果兩個表達式相等，則它們的對偶式也一定相等。將Y中“.”換成“+”,“+”換成“.”

“0”換成“1”,“1”換成“0”

例如對偶規(guī)則的應用：證明等式成立0·0=01+1=1注意：對偶規(guī)則同反演規(guī)則的區(qū)別：變量不變換2023/9/15123.1.3邏輯函數(shù)的代數(shù)變換與化簡法1．邏輯函數(shù)的變換

一個特定邏輯問題，對應的真值表是唯一的，代數(shù)表達式和電路卻是多樣的。例：同或門電路。ABL＆＆≥1＆ABABBABAABL

1

1＆＆＆2023/9/1513最簡或與式最簡與或非式2、邏輯函數(shù)的化簡最簡與或式

最簡與非-與非式最簡或與非式最簡或非-或非式核心①乘積項（與項）的個數(shù)最少；②變量的個數(shù)最少。2023/9/1514①并項法:[例]（與或式最簡與或式）公式定理（3）關于邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法2023/9/1515②吸收法：[例]③消去法：[例]④配項法：A＝A（B+B）=AB+AB

2023/9/1516利用邏輯代數(shù)的基本公式例1：反變量吸收提出AB=1提出A最簡與或式乘積項的項數(shù)最少。每個乘積項中變量個數(shù)最少。ABAC+=)BC(A+=)BCB(A+=ABCBA+=)CC(ABCBA++=ABCCABCBAF++=2023/9/1517例2：反演配項被吸收被吸收2023/9/1518例3:證明;展開2023/9/1519異或門可以用4個與非門實現(xiàn)：&&&&ABY2023/9/15201.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所 有公式熟練掌握；2.代數(shù)法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經驗 和靈活性；3.用這種化簡方法技巧強，較難掌握。特別是對代數(shù)化簡 后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難。 卡諾圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達式。代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：2023/9/15211、最小項的定義

3-2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法3.2.1最小項的定義及其性質

n個變量X1，X2，…，Xn的最小項是n個變量的乘積，每個變量都以其原變量或非變量的形式在乘積項中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。

1）是n個變量的乘積（“與”形式）

2）最小項中包含所有變量

3）每個變量在最小項中出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次。2023/9/1522包括所有變量的乘積項，每個變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。(

2變量共有

4個最小項)(

4變量共有

16個最小項)(

n變量共有

2n

個最小項)……(

3變量共有

8個最小項)2023/9/1523

3變量全部最小項的真值表

ABC

000

001

010

011

100

101

110

111

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2、最小項的性質

①任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。③對變量的任一組值，全部最小項的和必為1。②對變量的任一組值，任意兩個不同的最小項的乘積必為0。2023/9/15243、最小項的編號把與最小項對應的變量取值當成二進制數(shù)，與之相應的十進制數(shù)，就是該最小項的編號。對應規(guī)律：原變量1

反變量00000010100111001011101110

1234567m0m1m2m3m4m5m6m7最小項的表示：通常用mi表示最小項，m

表示最小項,下標i為最小項編號。

2023/9/1525

任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標準與或表達式，也稱為最小項表達式3.2.2邏輯函數(shù)的最小項表達式2023/9/1526如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達式。m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm2＝ABC2023/9/15273.2.3用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1、卡諾圖的引出卡諾圖：將n變量的全部最小項都用小方塊表示，并使具有邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。邏輯相鄰：如果兩個最小項只有一個變量互為反變量，那么，就稱這兩個最小項在邏輯上相鄰。如最小項m6=ABC、與m7=ABC在邏輯上相鄰m7m62023/9/1528邏輯相鄰邏輯相鄰的項可以合并，消去一個因子2023/9/1529①一變量卡諾圖：（設變量為D

）②二變量卡諾圖：（設變量為C、D

）DDDm0m1D

C

D下面舉例說明卡諾圖的畫法。卡諾圖的每一個方塊（最小項）代表一種輸入組合，并且把對應的輸入組合注明在陣列圖的上方和左方。CDCDCDCDDCDC10m0m1m3m210102023/9/1530③三變量卡諾圖：（設變量為B、C、D

）④四變量卡諾圖：（設變量為A、B、C、D

）BCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDm6m7m5m4m2m3m1m0

C

DBABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDm10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0

C

DBA000111101000011110000111102023/9/15312、卡諾圖的特點

（1）一變量到多變量的卡諾圖之間遵循“折疊展開”的法則。（2）最小項之間具有“幾何相鄰，邏輯相鄰”，即“循環(huán)鄰接”的特點。DDDDCDCDCDCDDDDDCDCDCDCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD“折疊展開”的法則演示a、新增加的方格按照展開方向應標以新變量b、新的方格內最小項編號應為展開前對應方格編號加2023/9/1532卡諾圖的實質：邏輯相鄰幾何相鄰緊挨著行或列的兩頭對折起來位置重合幾何相鄰：是指在卡諾圖上相接和相對的關系。ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD

在卡諾圖上接在一起的最小項之間一定是邏輯相鄰！2023/9/1533卡諾圖的缺點：函數(shù)的變量個數(shù)不宜超過6個。例：五變量的卡諾圖

當變量個數(shù)超過六個以上時，無法使用圖形法進行化簡。ABCDE00011110000001011010110111101100以此軸為對稱軸（對折后位置重合）m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21幾何相鄰（三十二個最小項）2023/9/15343、已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖

例1：已知邏輯函數(shù)的最小項表達式，畫出卡諾圖。1000111010111000LCDAB0001111000011110卡諾圖（1）將函數(shù)化為最小項之和的形式；（2）在卡諾圖中找出和表達式中最小項對應的小方格填上1，其余的小方格填上0（有時也可用空格表示），任何邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖中為1的方格所對應的最小項之和。2023/9/1535例2：

畫出下式的卡諾圖00000解1.先求原函數(shù)的反函數(shù)，并化為最小項表達式2.畫卡諾圖根據反函數(shù)的表達式，在其最小項的方格內填入0

，其余方格內填入1

，即得到原函數(shù)的卡諾圖。2023/9/1536ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格的編號:012301232023/9/15373.2.4用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1、化簡的依據

應用互補律A+A=1可以逐步對2n個（n為整數(shù)）循環(huán)邏輯鄰接的最小項進行合并化簡，吸收了n個不同因子而保留了公因子。2023/9/1538卡諾圖中最小項合并規(guī)律：(1)兩個相鄰最小項合并可以消去一個因子ABC01000111100432ABCD000111100001111019462023/9/1539(2)四個相鄰最小項合并可以消去兩個因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315BD028102023/9/1540(3)八個相鄰最小項合并可以消去三個因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315B02810151394612142n個相鄰最小項合并可以消去n個因子總結：2023/9/15412、化簡的步驟

（1）將邏輯函數(shù)寫成最小項表達式。

（2）按最小項表達式填卡諾圖，凡式中包含的最小項，其對應方格填1，其余方格填0。

（3）合并最小項，即將循環(huán)相鄰的1方格圈成一組（包圍圈），每一組含2n個方格（最小項），對應每個包圍圈寫出一個新的乘積項。（4）將所有包圍圈對應乘積項相加。2023/9/1542用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡步驟:(1)畫函數(shù)的卡諾圖(2)合并最小項：畫包圍圈(3)寫出最簡與或表達式例1：ABCD000111100001111011111111[解]2023/9/1543（1）包圍圈內的方格數(shù)一定是2n個，且包圍圈必須呈矩形。畫包圍圈時應遵循以下原則：ABCD0001111000011110ADABCD0001111000011110相鄰單元的個數(shù)是2n個，并組成矩形時，可以合并。2023/9/1544（2）循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。ABCD00011110000111101391102810461214

先找面積盡量大的組合進行化簡，利用吸收規(guī)則，2n個相鄰單元合并，可吸收掉n個變量。吸收掉1個變量；吸收掉2個變量...2023/9/1545（3）同一方格可以被不同的包圍圈重復包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格，直到所有為1的項都被圈完。ABCD000111100001111011111111多余的圈（4）一個包圍圈的方格數(shù)要盡可能多,包圍圈的數(shù)目要可能少。ABCD000111100001111011111111圈越大越好，個數(shù)越少越好2023/9/1546例2：化簡L(A,B,C,D)=

m(0,2,3,5,6,8~15)。ABCD0001111000011110A2023/9/1547例3：化簡ABCD0001111000011110ABDL=ABDL=ABD2023/9/1548ABC0100011110111111說明一：化簡結果不唯一。ABC0100011110111111例4：2023/9/1549說明二：采用前述方法，化簡結果通常為與或表示式。若要求用其他形式表示則用反演定理來轉換。例5：將“與或”式：用“與非”式來表示。2023/9/1550利用圖形法化簡函數(shù)例6：[解](1)畫函數(shù)的卡諾圖ABCD00011110000111101111111111(2)合并最小項：畫包圍圈(3)寫出最簡與或