線性算子與線性泛函

第二章線性算子與線性泛函第一節(jié)有界線性算子一、線性算子本段中只需假設X,Y,Z等是K上的向量空間。定義：若一個映射T:XTY滿足T(ax+py)=aTx+pTy (a,peK,x,yeX)，則稱T為從X到Y的線性算子。容易看出，上述等式可推廣到更一般的情形：T(工ax)=SaTx。iiiiii命題2.1?1設T:XtY是一線性算子，則以下結論成立：(1)任給子空間AuX與子空間BuY，TA與T-iB分別為Y與X的子空間。特別,T(0)=0與R(T)=TX(值域)是Y的子空間；N(T)T-i(0)是X的子空間(稱為T的核或零空間)。(2)若向量組｛x｝uX線性相關，則｛Tx｝亦線性相關；若A是X的子空間且iidimA，貝dimTA<dimA。(3)T是單射oN(T)=｛0｝。說明：若Tx三0eY(xeX)，則稱T為零算子，就記為0；若Tx=ax(xeX),aeK為常數，則稱T為純量算子(或相似變換，若a工0)，記作aI,當a=0與1時，aI分別是零算子和單位算子。對線性算子可定義兩種自然的運算：線性運算與乘法。若T,S:XTY是線性算子，a,peK，則aT+pS:XTY是一個線性算子，它定義為(aT+pS)x=aTx+pSx(xeX). (2.1.2)若R:YTZ是另一個算子，則由(RT)x=R(Tx) (xeX). (2.1.3)定義出一個線性算子RT:XTZ，稱它為R與T的乘積。實際上，線性算子的乘積就是它們的復合。容易原子能正驗證，如上定義的運算有以下性質：「R(T+S)=RT+RS, —( (分配律)1(R+R)T=RT+RT;11

Q(Q(RT)=(QR)T;(結合律)a(RT)二(aR)T二R(aT),(agK)只要以上等式的一端有意義。若線性算子T:XTY為雙射，則稱它為線性同構，此時其逆映射T-1：YTX亦為線性算子。T是線性同構的充要條件是，存在線性算子S:YTX，使得ST=ST=I,TS=IXY(2.1.4)二、有界線性算子令(2.1.5)定義2.1?2設T:XTY令(2.1.5)HI=SUP||Tx||/|Ix||x工0若||T||<a，貝席T為從X到Y的有界線性算子，且稱|TH為T的算子范數，簡稱為范數。若IITI=g，則稱T為無界算子。約定以L(X,Y)記從X到Y的有界線性算子之全體，L(X,X)簡寫為L(X)。注1：T:XTY的有界的等價刻畫：(1)3k>0,VxgX，有||Tx|<k||X|；或(2)T映X中的有界集為Y中的有界集。注2：若TgL(X,Y)，則對任給的xgX有(2.1.6)注3：范數定義的幾種等價形式||T||=sup||及|| (2.1.7)注3：范數定義的幾種等價形式||T||=sup||及|| (2.1.7)丄|們|=sup||Tx||xki1)2)(2.1.8)3)ITU=inf{k>0:||Tx||<k||x||(VxgX).(2.1.9)例2.1.3設J=[a,b](a<b)，給定例2.1.3設J=[a,b](a<b)，給定9gC(J)。定義Tu(x)=9(x)u(x) (xgJ,ugC(J)),T是從C(J)到自身的線性算子。求T。命題2?1?4設T:XTY是一個線性算子，則T有界oT連續(xù)。推論：(1)T是拓撲同構oT與T-1皆連續(xù)(即T為同胚);⑵若TgL(X,Y),{x}uX，工x收斂，則有nnT(工x)T(工x)nn=T(lim工ns,.k=1x)=limT(工x)kk

nT8,.k=1=lim工TxknT8,.k=1=工Tx。nn例2丄5：設J=[0,兀]，在Ci(J)與C(J)中均采用sup范數。顯然T=—:C1(J)TC(J),uTuu (2.1.10)dx可見T是無界算子。是一線性算子。令u(x)=sinnx,則||u||=1,可見T是無界算子。n n0三、有界線性算子的運算與擴張命題2?1?6：L(X,Y)依算子范數是一個賦范空間；當空間Y完備時，L(X,Y)是Banach空間。定理2.1.7(擴張定理)：設D是X的稠密子空間，TgL(D,Y)，Y完備，則T可保持范數惟一地擴張到X上。若線性算子T:XTY是單射(即N(T)={0})，則T-1：R(T)TX是一確定的線性算子，當它有界時稱為T的有界逆，并說T有有界逆。命題2?1?8線性算子T:XTY有有界逆的充要條件是存在k>0，使得||T^||>k制 (xgX). (2.1.14)。第二節(jié)常用有界線性算子一、矩陣設X,Y是有限維賦范空間，dimX=n,dimY=m,TgL(X,Y)。分別取X的基{e.}j與Y的基{￡}。設iTe=丫ae(1<j<n),j ijii則T完全由矩陣A=[a]gKm"所確定。若T,SgL(X,Y)分別對應矩陣ijA,BGKmxn,a,PgK,則算子aT+卩S恰好對應矩陣aA+卩B。這樣，線性算子空間L(X,Y)線性同構于矩陣空間Kmxn，因而對L(X,Y)的研究可代之以對K的研究。任給A=[a]GKmxn，依矩陣乘法自然地定義一個線性算子：ijKnTKm,xTAx, (2.2.1)其中x當作nx1階矩陣。不妨用同一字母A表示算子(221)，它也可表成:

y=Ax,x=(x)gKn,y=(y)gKm,<y=2ax,i=1,2，…，m. (221)i ijjj若在Kn中使用范數(2xp)fp,1<p<8,IM=<jj (2.2.2)pmaxx,p=8,則Kn可看作lp的子空間，只需將x=（x）gKn等同于Ip中的元j也記作lp。相應地，算子A:lpTlp（定(x1，…,也記作lp。相應地，算子A:lpTlp（定通常稱范數（2.2.2）為p范數，采用p范數的Knnmnm義見(2.2.1))的范數記作||義見(2.2.1))的范數記作||A||，即pIIAII=sup||Ax||.p…lx(2.2.3)IAl也稱為A的p范數。p命題2.2.1設A=[a]gKm"，則ijA=max21a;(/(2.2.4)A=max21a;(/(2.2.4)。jA=max28i.j遼,{\}是AtA的特征值的全體。ia(/=At(2.2.5)||A||=max2j以A=[a]（i,j=1,2,…）記一個無窮矩陣，其中agK。仿照（2.2.1）'，形式地定義一ij個算子xTAx：(2.2.6)ijy=y=Ax,x=(x),y=(y),jiy=2ax,i=i ijjj仍將式(227)所定義的算子記作A。(2.2.7)命題2.2.2設算子A命題2.2.2設算子A定義如式（2.2.7）,||A||依式（2.2.3）（但假定其中xglp）。若0□sup2a<8，(/ji若0□sup2a<8，ijij若0□(2a2)f<8,ijp則AgL(l1)且||A||=0。1則AgL(l8)且||A||=0。8則AgL(l2)且||A||<0。2二、積分算子設J=[a,b](a<b)，函數K(x，y)為定義在JxJ上的Lebesgue可測函數。定義積分算子Tu(x)=JbK(x,y)u(y)dy (xeJ). (2.2.8)a要求上述積分對幾乎所有xeJ存在，函數K(x,y)稱為積分算子T的核或核函數。命題2.2.3設K(x,y)是JxJ上的Lebesgue可測函數，算子T依式(2.2.8)定義，約通常將式(2211)右端的積分記作9*u，并稱它為函數9與u的卷積。算子T顯然是在9定esssupQ(x)|=|^||1、2、| (L^范數又稱為本性上確界)。定esssupQ(x)|=|^||1、2、| (L^范數又稱為本性上確界)。gb|K(x,y)dx<g,則TeL(L(J))且||T||=0。a若0□esssupfb|K(x,y)|dy<g,則TeL(Lg(J))且|^||=0。ax若0□esssup.yeJ3、xeJ若0□小fb|K(x,y)|2dxdy)1；<g,則TeL(L^(J))且|T||<0。aa例子考慮積分算子：Tu(x)=Jxu(y)dy. (xeJ)a(2.2.9)11,y<x,gy)=k y>x,可將(2.2.9)寫成(2.2.8)的標準形式。由命題2.2.3得：T||=esssupfbdx=b-a;1 yeJ y|T|=esssupJxdy=b-a;g xeJ a命題2.2.4設K(x,y)在JxJ上連續(xù)，積分算子T定義如式(2.2.8),則TeL(C(J))，(2.2.10)ITII=supJb|K(x,y)dy.xeJa下面考慮幾個具有特殊形式核的積分算子。(一)給定函數?，以K(x,y)=q(x-y)為核。此時，積分算子為Tu(x)=J申(x-y)u(y)dy(xeRn)Q Rn(2.2.11)其有定義的集合上的線性算子，其定義域與性質則取決于9的選擇。命題2.2.5設1<p二q/(q-1)5。若9wLj(Rn)，則T9WL(Lp(Rn))，且壽<I9II。若9wLp(Rn)，則TwL(L(Rn),C(Rn))，且IT<||cp||，此處9 b 119pC(Rn)=C(Rn)AB(Rn)，采用sup范數。b若9wL2(Rn)，則TwL(L2(Rn),C(Rn))，且壽||<||9II。定理的證明需要如下引理：引理2.2.6設9wLp(Rn)(1<p<◎，9(y)二9(x+y)，則當xwRn,xT0時有x-9||t0。x p(二)以K(x,y)二e-沆y為核。此時Fu(x)=u(x)=Je-ixayu(y)dy (xwRn,uwL1(R)) (2.2.12)RnFu(x)就是u(x)wL)(R)的Fourier變換。命題FwL(L1(Rn),C0(Rn))，且||F||=1。這里C°(Rn)={uwC(Rn)：limu(x)=0}依sup范數為一Banach空間。三、微分算子定義1.3.7設A,BuX若BuA，則稱A在B中稠密；若AuBuA，則稱A為B的稠子集；X的稠子集就稱為稠集。若B含可數的稠子集，就稱B為可分集；若X本身可分，則稱X為可分空間。若spanA二X，即spanA為稠集，則稱A為X的基本集。若{e}uX是一序列，每個xwX可惟一地表為ix=丫ae,則稱{e}為X的Schauder基。ii ii注：(1)若A是X中的稠集，則每個xwX可表為A中某序列的極限；若A是X的基本集，則每個xwX可用A中元的線性組合逼近；3)稠集與Schauder基都是基本集；(4)X可分OX有可數的基本集，因而有Schauder基的空間必定可分。例1.3.8(1)空間lp的基本集。令e二(0,—,0,1,0,…)T,1在第i項，則｛e:ieN｝ii是空間Ip(1<p<◎的Schauder基，因而是lp的基本集且lp是可分的?？臻gC(J)的基本集，J=[a,b](a<b)。由Weierstrass定理，每個ueC(J)可用J上的多項式一致逼近，故J上的多項式全體P是C(J)中的稠集。其次，以A記幕函數xn(neZ)的全體，則顯然P二spanA，故A是C(J)的基本集，因而C(J)是可分的。+空間Lp(J)(1<p<s)的基本集。注意到(i)每個ueLp(J)可用連續(xù)函數Lp逼近；(ii)一致逼近強于Lp逼近。因此空間C(J)的基本集A=｛xn:neZ｝也是Lp(J)的+基本集，因而Lp(J)是可分的。此外，每個ueC(J)可用階梯函數一致逼近，而階梯函數為形如―(5是J的子區(qū)間)O的函數的線性組合，故｛X:5是J的子區(qū)間｝O亦為Lp(J)的基本集。進而｛x :xeJ｝是Lp(J)的基本集。[a,x]空間Lp(R)(1<p<s)的基本集。對任何ueLp(R)，令u=ux ，貝I」n [-n,n]||u-u||p=J|u(x)pdxT0(nTw)，n px〉n即u—f/Tu。而對每個neN,u視作Lp[-n,n]的元可用[-n,n]上的階梯函數Lp逼近。nn結合(3),LpR有基本集｛X:5uR是有限區(qū)間｝。5空間Lp(0)(1<p<w,QuRn為任意開集)的基本集。任給實或復值函數u，約定suppu=｛x:u(x)豐0｝，稱它為u的支集。令Cm(Q)=｛ueCm(Q)：suppu是Q的有界子集｝(0<m<w)，c可以證明：Cm(Q)在Lp(Q)中稠密，因而是Lp(Q)的基本集。c例1.3.9 (1)設ueL1(J),J=[a,b]，則有l(wèi)imJbu(x)sinnxdx=0。nTwa(2)設ueZ1(R)，u(x)的Fourier變換定義為-wu(w)=Jwu(x)e-?dx，-w則有u(土w)=limu(w)=0。WT±W第三節(jié)對偶空間和對偶算子一、有界線性泛函定義給定K上的賦范空間X，約定X*=L(X,K)，稱其為X的對偶空間(由前面的結果，X*為Banach空間)。稱每個ugX*為X上的有界線性泛函。注：(1)因有界線性泛函是有界線性算子的特殊情況，故關于一般有界線性算子的概念與結論，均適應于有界線性泛函。對ugX*，有|U||二sup 二sup|u(x)二supU(x)二min｛k>0:\u(x)<k||x||(VxgX)｝ (2.3.1)。x,ox IL1 ；l<1|u(x)<||u||||x|| (2.3.2)對X上的線性泛函u，u有界Ou連續(xù)。定義對0豐fgX*與cgK,稱f-1(c)二｛xgX:f(x)二c｝為X中由f決定的超平面，也記為｛f二c｝。注：過原點的超平面f-1(0)=N(f)是X的閉子空間。命題2.3.1設AuX是一子空間。則以下兩條件等價：有0豐fgX*，使得A二N(f)；除一個常數因子的差別外，f由A惟一決定。存在拓撲直和分解X二A十Kx，此處x豐0,Kx二｛Xx:九gK｝是X中的由0000x生成的1維子空間。0推論若0豐fgX*,f(x)豐0,則X=N(f)十Kx。00二、表示定理表示問題的一般思路是：對于給定的賦范空間X，確定一個Banach空間Y，它通常是已被充分研究因而相當熟悉的空間，使得存在等距同構T:YTX*,yf. (2.3.4)y因而由式(2.3.4)得出結論：ugX*有通式u(x)二申(x) (xgX)，y其中ygY由u惟一決定，且||y||=|U|。若將u=篤與y視為等同，則不妨認定X*二Y0這樣，通過同構對應式(2.3.4),本來很抽象的空間X*就獲得了一種具體的表示，Y就是X*的一個表示，或稱為一個實現。定理2.3.2設1<p二q/(q-1)<g，貝I」(lp)*二lq；ug(Ip)*有通式u(x)=Yxy (x二(x)gIp), (2.3.6)iii其中y二(y.)Glq由u惟一決定，且||y||二||u||0i q定理2.3.3設J二［a,b］(a<b)，則C(J)*蘭BV(J)，其中0BV(J)={v,v在［a,b］上有界變差、右連續(xù)且v(a)二0}；0是Y中的緊集(即F保持D的緊性)，因而有界；F在D上一致連續(xù)，即V8>0,35>0,當x,ygDj|x—y卜5時，有||Fx—Fy||<&；f在D上取得最大值和最小值0注：若xgD使得f(x)二minf(x)，貝0稱x是最小化問題xGDminf(x), xGD(1.4.1)的最優(yōu)點或最優(yōu)解。定理1.4.4之(2)表明：若D為緊集且fgC(D,R)，則問題(1.4.1)的最優(yōu)解存在0推論1.4.5(最佳逼近)設A是X的有限維子空間，xgX°則存在agA，使得||x—a|=d(x,A)。即a是A中離x最近的點，因而稱為x在A中的最佳逼近。特別：取A為次數小于等于n的多項式全體，X二C(J)(或X=L(J),1<p<◎，即得對任給的ugX，存在次數小于等于n的多項式v，它是對u的最佳一致(或Lp)逼近0三、緊集的判定定理1.4.6(Arzela-Ascoli定理)AuC(J)相對緊的充要條件是：A一致有界，即A依sup范數有界；(2)A等度連續(xù)，即V8>035>0,Vx,ygJ,VugA，當|x—y|<5時恒有u(x)-u(y<￡0若將J換為任何有界閉區(qū)域OuRn，(1)、(2)仍成立。

例若AuCi(J)依范數卜I](定義見式(1.2.6))有界，則A作為C(J)的子集是相對緊的。定理1.4.7設1<定理1.4.7設1<p<?,AuIp，則A相對緊的充要條件是:(1)A有界，即sup||x||<a；xeA P(2)關于x=(x)eA一致地有工IiBN>0,Vn>N,VxeA，有工|ii>nxpT0(nTa)，即Vs>0，|xp<￡。i>n例A=例A={x=(x):|x|<1/i(VieN)}是空間l2中的集(稱為Hilbert方體)。使得d(x,A)>r且||x=1。i i定理1.4.8若dimX=a，則X中的閉單位球不是緊集。本定理的證明需用到著名的Riesz引理。引理1.4.9(Riesz引理)設A是X的閉子空間，A豐X,0<r<1。則存在xeX,推論：(1)無限維賦范空間中的單位球面S□{x:||x||=1}不是緊集。平移與相似變換不改變集合的緊性。無限維賦范空間中的閉球是非緊的。進而有無限維賦范空間中任何含內點的集是非緊的，因而緊集必無內點。例設X=C[0,1]，f(u)=11|u(x)|dx (ueX)。0顯然feC(X,R)，且在S□{ueX: =1}上f(u)>0，但f在S上取不到最小值。0四、綱定理定義1.4.10設AuX。若(A)o=0，則稱A為疏集。可數個疏集之并稱為第一綱集；非第一綱集稱為第二綱集；第一綱集的補集稱為剩余集。例(1)無內點的閉集是疏集；單點集是疏集；可數集是第一綱集。定理1.4.11(Baire綱定理) 設X完備，AuX是第一綱集，則Ac是第二綱集且為稠集。推論（1）設X為一線性賦范空間，AUX為疏集當且僅當VB（x,r）,3B（x,r）uB（x,r），使得ADB（x,r）=0。00110011（2）Banach空間X是第二綱集。例1.4.12J=[a,b]上幾乎所有連續(xù)函數處處不可微。第五節(jié)Hilbert空間一、內積空間定義1.5.1設H是K上的向量空間。若對任一對元x,ygH，指定了一個數<x,y>eK，稱為x與y的內積，它滿足以下內積公理：（1） <口y>的線性性：0x+卩z,y>=a<x,y>+卩<z,y>；（2） 共軛對稱性：<x,y>=<y,x>；（3） 正定性：<x,x>>0;<x,x>=0ox=0，（這里x,y,zgH,a,卩gK），則稱H為K上的內積空間。當K=R（或C）時，K上的內積空間又稱為實（或復）內積空間。例Kn依下式<x,y>=》xy, (x=(x),y=(y)gKn)iiiii所定義的內積構成一內積空間。推論(1)<x,ay+卩z>=a<x,y>+卩<x,z> (x,y,zgH,a,卩gK)；更一般地，有(2)<》ax,工卩y>=》a卩<x,y>；iijjijijij i,j引理1.5.2（Schwarz不等式）對任給的x,ygH，成立推論對任給的x,ygH，有卜+y|<x+MlII。故||x||=*xx>為H上的范數（稱其為由內積定義的范數）。定義完備的內積空間稱為Hilbert空間。推論內積依范數收斂是連續(xù)的，即若在H中xtx,yty，貝nn<x,y>t<x,y>（m,nts）。mn

例"(0)是Hilbert空間。這里(0,卩)是任一測度空間，"(0)中的內積定義為<u,v>=Ju(x)v(x)d卩 (u,vGL2(0))。0例12是Hilbert空間。12中的內積定義為<X,y>=工xy, (x二(x),y二(y)gl2)。iiiii定理1.5.3K上的賦范空間X是內積空間的充要條件是，其中的范數滿足如下的中線公式(又稱為極化恒等式)：||x+y||2+|x-y||2二2(||x|F+|yF)。二、正交系定義1.5.4 (1)設x,ygH。若<x,y>=0，則說x與y正交或直交，記為x丄y。(2)設｛x:igI｝uH。若當i豐j時x丄x，則稱｛x｝為正交系。若｛x｝是正交系且i ij i i||x||三1(這等價于<x,x>=5，5是Konecker記號)，則稱｛x｝為標準正交系。i ij ijij i(3)設ABU 。約定A丄BoVagA,VbgB，有a丄b；x丄AoVagA，有x丄a；人丄=｛xgH:x丄A｝，稱A丄為A的正交補。當A丄B時，稱A與B相互正交。性質：若｛x：19性質：若｛x：19<n｝是一有限正交系,i則有J|x」|2。i一般地，若agK(1<i<n)，類似地有iiiia」21ix『i性質：不含零元的正交系必線性無關。則有TOC\o"1-5"\h\z性質：設｛e:igN｝是H中的標準正交系。若xgH可表為x e則有i iia=<x,e>，即表達式x=e中的系數惟一確定。i i ii定義：i若每個x定義：i若每個xGH均可表為x二工aeii則稱｛e｝為H的標準正交基。i定理1.5.5設｛e:igN｝是Hilbert空間H中的標準正交系，則以下條件相互等價:i｛e｝是H的標準正交基；i｛e｝是H的基本集；i｛e｝是極大正交系，即若x丄e(VigN)，則x二0；ii對任給的xGH，成立如下的Parseval等式：

||x|F=Y|<x,e>|2；i對任給的x,ygH，成立如下內積公式：<x,y>=》<x,e><y,e>。iii推論：任何Hilbert空間H均與12等距同構。推論(標準正交基的存在問題)：設H是一個可分的無限維Hilbert空間，則其一定存在標準正交基。三、標準正交基的例子1、三角函數系定義：形如C+工(acoskx+bsinkx)kkk=1的函數稱為三角多項式。定理：令J=[a,b]，則三角多項式全體在L2(J)中稠密。定理：設T=a+ (acoskx+bsinkx)0 k kk=1則T的Foueier系數是a.a.b(n=12…,N)，而其余的Foueier系數為零。并且對T成0nn立Parseval等式。推論：函數系cosnxsincosnxsinnx,n=1,2,...是L2(J)的基本集，并且也是標準正交基，因而每個ug力(J)可展開為均方收斂的Fourier級數：u(x)=-o+藝(acoskx+bsmkx)2 k kk=1其中a,b是通常的Foueier系數。nn問題：u(x)的Fourier級數的部分和均方收斂于u(x)是否意味著級數幾乎處處收斂,即：lim[—0+ (acoskx+bsinkx)]是否幾乎處處等于u(x)?ng2 k kk=1(1)、早在1913年，魯津就猜測上式成立，這個猜測一直是三角級數理論的一個重要課題。、1923年柯爾莫哥洛夫(KonMO「opoB)給出了一個feLi[0,2兀]，它的Fourier級數是處處發(fā)散的。、1966年，L.Carleson證明魯津的猜測是正確的。、1967年，R.A.Hunt證明；對于Lp[0,2兀](p>1)中的函數，其Fourier級數是幾乎處處收斂的。2、 Legendre多項式系取J=[—1,1],我們已經得到：｛1,x,X2,?..｝是L2(J)中的基本集，將其標準正交化，得到一個多項式系｛L:n>0｝，稱為Legend