2022上海市徐匯職業(yè)高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022上海市徐匯職業(yè)高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含

解析

一、選擇題：本大題共1（）小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.閱讀程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為（）

A.3B.4C.5D.6

參考答案：

B

【考點(diǎn)】程序框圖.

【分析】通過(guò)程序框圖的要求，寫(xiě)出前四次循環(huán)的結(jié)果得到輸出的值.

【解答】解：該程序框圖是循環(huán)結(jié)構(gòu)

經(jīng)第一次循環(huán)得到i=l，a=2；

經(jīng)第二次循環(huán)得到i=2,a=5；

經(jīng)第三次循環(huán)得到i=3,a=16;

經(jīng)第四次循環(huán)得到i=4,a=65滿足判斷框的條件，執(zhí)行是，輸出4

故選B

2.設(shè)a=3",^=1加:，c=cos2,則（）

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.b<c<a

參考答案:

A

略

④『'"二O,其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

參考答案：

C

4.在等差數(shù)列SJ中，已知“5=3,。9=6,則。13=（）

A.9B.12c.15

D.18

參考答案：

A

5.已知等差數(shù)列（“a｝的公差為2,若旬^*%成等比數(shù)列，則々的值為（）

A.-6B.-8c.-10D.—2

參考答案：

D

略

6.以LLL&?尤々8為六條棱長(zhǎng)的四面體個(gè)數(shù)

為（）

A.2B.3C.4D.6

參考答案：

解析：以這些邊為三角形僅有四種：GLD,（】，L或），

固定四面體的一面作為底面:

當(dāng)?shù)酌娴娜厼闀r(shí)，另外三邊的取法只有一種情況，即（應(yīng),.,色）；

當(dāng)?shù)酌娴娜厼椋↙L.J時(shí)，另外三邊的取法有兩種情形，即（1.0.尤），

⑶物.

其余情形得到的四面體均在上述情形中。由此可知，四面體個(gè)數(shù)有3個(gè).

7.有3人排成一排，甲、乙兩人不相鄰的概率是（）

X111

A.6B.4C.3D.2

參考答案：

C

【考點(diǎn)】等可能事件的概率.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】所有的方法數(shù)為A；=6,其中甲、乙兩人不相鄰的方法數(shù)為葭=2,由此求得甲、

乙兩人不相鄰的概率.

【解答】解：3人排成一排，所有的方法數(shù)為A；=6,其中甲、乙兩人不相鄰的方法數(shù)為

2

A2=2,

21_

故3人排成一排，甲、乙兩人不相鄰的概率是6=3,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列與組合及兩個(gè)基本原理，求出甲、乙兩人不相鄰的方法數(shù)為

A/?A?,是解題的關(guān)鍵.

8.在等差數(shù)列｛aj中,首項(xiàng)出=0,公差dWO,若ak=at+a2+a3+…+a”則k=（）

A.22B.23C.24D.25

參考答案：

A

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).

分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，我們可將&=ai+az+a計(jì)…+a”轉(zhuǎn)化為a-=7a”又由首項(xiàng)

a尸0,公差d#0,我們易得ak=7a.i=21d,進(jìn)而求出k值.

解答：解：???數(shù)列｛aj為等差數(shù)列

且首項(xiàng)ai=0,公差dHO,

又,.,2!<=(k-1)d=ai+a2+aa+,,,+a?=7a4=21d

故k=22

故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)，其中根據(jù)a,是數(shù)列前7項(xiàng)的平均項(xiàng)(中間

項(xiàng))將ak=ai+a2+as+…+a”化為ai<=7at,是解答本題的關(guān)鍵.

2

9.設(shè)數(shù)歹U｛a,,｝的前n項(xiàng)和S?=n,則a8的值為()

A.15B.16C.49D.64

參考答案：

A

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.

【專(zhuān)題】計(jì)算題.

【分析】直接根據(jù)a.=S.-S…(n22)即可得出結(jié)論.

【解答】解：a8=Ss-S,=64-49=15,

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的基本性質(zhì)，解題時(shí)要注意公式的熟練掌握.

10.設(shè)函數(shù)f(x尸2x+x-l(x>0),則f(x)()

A.有最小值B.有最大值C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)

參考答案：

A

【考點(diǎn)】基本不等式.

【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解答】解：TX>0,

1L,1返

???函數(shù)f(x)=2x+x-l>2VX-1=2V21,當(dāng)且僅當(dāng)*=2時(shí)取等號(hào),

.1.f(x)有最小值，無(wú)最大值，

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積是.

參考答案:

353幾

16

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【分析】由三視圖知該四棱錐是如圖所示的四棱錐S-ABCD,其中ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方

體，面SAD上面ABCD,SA=SD,AD中點(diǎn)為E,SE=4,由此求出外接球的半徑，利用球體的

表面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：由三視圖知該四棱錐是如圖所示的四棱錐S-ABCD,

其中ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方體，面5人口_1面ABCD,SA=SD,

AD中點(diǎn)為ESE=4,

其BC中點(diǎn)G,連結(jié)EG、SG,BDAAC=H,

設(shè)該四棱錐的外接球球心為0,作0F_LSE于F,

則0H_L平面ABCD,0F=EH=l,CH=V2,

設(shè)0H=x,則SF=4-x,

V0S=0C=R,

15

.\OS2=OC2,即(4-x)2+l=x2+2,解得x=T,

，該四棱錐的外接球半徑口=丫'8J"=8,

353353兀

該四棱錐的外接球的表面積S=4nR2=4nX~64~=16.

353兀

故答案為：16.

S

12.若zeC|z|=I,則“=Jz*-z+】］的最大值是,最小值是

參考答案:

3,0

13.在(1+x)6(1+y)”的展開(kāi)式中,記x?n項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,

1)+f(1,2)+f(0,3)=.

參考答案：

120

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

【分析】由題意依次求出xV，x2y',x'y2,//項(xiàng)的系數(shù),求和即可.

【解答】解：(1+x)6(1+y)4的展開(kāi)式展開(kāi)式中，含x"的系數(shù)是：=20,故f

(3,0)=20；

含X%'的系數(shù)是06叱4=60,故f(2,1)=60；

r12

含My'的系數(shù)是。4=36,故f(1,2)=36；

Q3

含x°y，的系數(shù)是06叱4=4,故f(0,3)=4；

/.f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120.

故答案為：120.

jo

14.不等式3x+l的解集是.

參考答案：

(-21]

出廠

15.若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為丁，側(cè)棱長(zhǎng)為巡的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則此球

的體積為.

參考答案：

9月

T

略

16.如圖，點(diǎn)尸在正方體犯8-4用6口的面對(duì)角線8A上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命

題：

①三棱錐/-4式7的體積不變；②4尸〃面血4；③DP上BC1；④面FZ)&_L

面力皿。

其中正確的命題的序號(hào)是

(寫(xiě)出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào))

參考答案：

①②④

17.數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，。4=7,則、=

參考答案：

49

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c.

(I)若a,b,c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin(A+C)；

(H)若a,b,c成等比數(shù)列，且c=2a,求cosB的值.

參考答案：

【考點(diǎn)】余弦定理；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差關(guān)系的確定.

【分析】(I)由a,b,c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a+c=2b,再利用正弦定

理及誘導(dǎo)公式變形即可得證；

(II)由a,b,c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，將c=2a代入表示出b,

利用余弦定理表示出cosB,將三邊長(zhǎng)代入即可求出cosB的值.

【解答】解：(I);a,b,c成等差數(shù)列，

a+c=2b,

由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB,

VsinB=sin=sin(A+C)，

則sinA+sinC=2sin(A+C)；

(II)Va,b,c成等比數(shù)列，

??b二ac,

將c=2a代入得：b2=2a2,即b=JZ,

a2+c2-b2a，4a2-3

■o—

.,.由余弦定理得：cosB=2ac=4a=4.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)

鍵.

19.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)430.4),點(diǎn)8(9,2r).(1)求橢圓

C的方程；

⑵已知圓M一+3-5)'=9,雙曲線G與橢圓C有相同的焦點(diǎn)，它的兩條漸近線

恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程.

參考答案：

解：(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為冽/+砂2=1,

m——

,18冶+16n=l{1

從而tlQM+20”=】有解得""25

，二1

故橢圓C的方程為充25-

⑵橢圓C：+=1的兩焦點(diǎn)為Fi(—5,0),F2(5,0),

故雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c=5.

設(shè)雙曲線G的方程為一=l(a>0,b>0),則G的漸近線方程為y=±x,

即bx±ay=0>J=La2+b2=25,

圓心為(0,5),半徑為r=3.二=3?a=3,b=4.

...雙曲線G的方程為一=1.

20.已知橢圓中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，且橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)

構(gòu)成正三角形，兩條準(zhǔn)線間的距離為8.

（I）求橢圓方程；

（II）若直線尸=&+2與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)k為何值時(shí)，OA1OB（0為坐標(biāo)原

點(diǎn)）？

參考答案：

解析：（I）設(shè)橢圓方程為：/Qi-

12卜也

2—=8,

由題意得：.c解得32=々A......................3分

又=6'+//.c=1,b*=3,a"=4

,橢圓方程為

"=1

43........

...........5分

（H）設(shè)力（仆y），Bg也）

士心

,43

聯(lián)立方程：匕+2化簡(jiǎn)得：（3+4/）/+166+4=0......6分

則…廣.通,

A

3+4七2.7分

OALOB：.""+y仍=0.........................................8分

又Wa=（%+2）（總+2）=二和2+*（凝+xa）+4.............................9

（1+二）一+%二1^+4=0

/.3+4d3+4T

解得：

3k一空

3.?.3

11分

經(jīng)檢驗(yàn)滿足。＞0

0A10B.12分

21.如圖，在直三棱柱A8C-A山C中，。是8c上的一點(diǎn)，AB=AC,KADLBC.

(1)求證:4CII平面ABQ；

(2)若AB=BC=AA/=2,求點(diǎn)4到平面ASD的距離.

參考答案:

(1)如圖,

連接M,交/了-點(diǎn)&再連接Q&

據(jù)直棱柱性質(zhì)知，四邊形小叫4.為平行四邊形，￡為典的中點(diǎn)，

?.?當(dāng)”=蜀時(shí)，H)_LR,二。是BC的中點(diǎn)，

又ZWu平面4「《平面&",，4。〃平面典”.

(2)如圖，在平面中，過(guò)點(diǎn)▲作以,40,垂足為尸，

?.?力是AC中點(diǎn),

點(diǎn)C到平面4。與點(diǎn)B到平面距離相等，

...4?！ㄆ矫?",.?.點(diǎn)4到平面4"的距離等于點(diǎn)°到平面4"的距離,

二3尸長(zhǎng)為所求，在,叢隊(duì)加中，&)=1,M=2,電=括，

邛

nRRr=-s2r=—2-6

755，，點(diǎn)z到平面分"的距離為5.

22.(本小題滿分13分)已知"x'=W一%’+?*4利

(1)若/‘X，的最小值記為h(?)，求h(Q)的解析式.

ra<l/3

)o

AI

<—a+3,=WaM3

3

、YA12聲(2)是否存在實(shí)數(shù)冽