2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）參考答案與試題解析一．單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個選項中，有且只有一項是符合題目要求.）1．（5分）已知集合A＝{a，b，1}，B＝{﹣1，2，a2}，若A＝B，則a+b的值為（）A．3 B．2 C．1 D．1或3【答案】C【分析】根據(jù)A＝B建立方程組，求出a，b的值，再計算a+b即可．【解答】解：因為A＝{a，b，1}，B＝{﹣1，2，a2}，所以由A＝B，可得，解得a＝﹣1，b＝2，所以a+b＝1，故選：C．2．（5分）若（1+i）?z＝|1﹣i|，則＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)和復(fù)數(shù)的除法法則求z，即可得到．【解答】解：∵，∴，∴．故選：A．3．（5分）已知向量＝（﹣3，2），＝（4，λ），若（+3）∥（2﹣），則實數(shù)λ的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求出+3和2﹣的坐標，由向量平行的坐標表示方法可得關(guān)于λ的方程，解可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量＝（﹣3，2），＝（4，λ），則+3＝（9，3λ+2），2﹣＝（﹣10，4﹣λ），若（+3）∥（2﹣），則有9×（4﹣λ）＝﹣10×（3λ+2），解可得：λ＝﹣；故選：A．4．（5分）設(shè)x∈R，則“x2+4x﹣12＜0”是“”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件相關(guān)知識可解．【解答】解：當x2+4x﹣12＜0，則﹣6＜x＜2，又，則﹣6＜x＜3，則當x2+4x﹣12＜0能推出，而時不能推出x2+4x﹣12＜0，則“x2+4x﹣12＜0”是“”的充分不必要條件，故選：A．5．（5分）八角星紋是一種有八個向外突出的銳角的幾何紋樣（如圖1），它由八個均等的向外伸展的銳角組成的對稱多邊形紋樣，具有組合性強、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等特點．有的八角星紋中間鏤空出一個正方形，有的由八個菱形組成，內(nèi)部呈現(xiàn)米字形線條．八角星紋目前仍流行在中國南方的挑花和織錦中．在圖2所示的八角星紋中，各個最小的三角形均為全等的等腰直角三角形，中間的四邊形是邊長為2的正方形，在圖2的基礎(chǔ)上連接線段，得到角α，β，如圖3所示，則α+β＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征求出tanα，tanβ，利用兩角和的正切公式，求解即可得出答案．【解答】解：連接BC，如圖所示：在Rt△ABC中，BC＝2，AC＝6，，在Rt△DEF中，EF＝2，DE＝4，，∴，又α，β∈（0°，45°），則α+β＝45°，故選：B．6．（5分）如圖，平面α與平面β相交于BC，AB?α，CD?β，點A?BC，點D?BC，則下列敘述錯誤的是（）A．直線AD與BC是異面直線 B．過AD只能作一個平面與BC平行 C．過AD只能作一個平面與BC垂直 D．過D只能作唯一平面與BC垂直，但過D可作無數(shù)個平面與BC平行【答案】C【分析】根據(jù)異面直線的判斷定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直與平行的判斷定理，對選項中的命題判斷正誤即可．【解答】解：根據(jù)異面直線的判斷定理知，直線AD與BC是異面直線，∴A正確；根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過AD只能作一個平面與BC平行，∴B正確；根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過AD不一定能作一個平面與BC垂直，∴C錯誤；根據(jù)線面垂直與平行的判斷定理知，過點D只能作唯一平面與BC垂直，但過點D可作無數(shù)個平面與BC平行，∴D正確．故選：C．7．（5分）函數(shù)在（0，3π）上有6個零點，則ω的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)f（x）＝0得2cosωx﹣1＝0或，解方程即可求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的從小到大的七個零點，根據(jù)f（x）在（0，3π）上有6個零點，列不等式，即可求得ω的取值范圍．【解答】解：得2cosωx﹣1＝0或，解得或或，即或或，因為ω＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的七個零點依次為：，由于f（x）在（0，3π）上有6個零點，所以，解得，則ω的取值范圍是．故選：B．8．（5分）已知a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜b＜c【答案】C【分析】可得出，然后可構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，可根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號得出f（x）是減函數(shù)，然后即可得出lna＞lnb，同理可得出lnb＞lnc，這樣即可得出a，b，c的大小關(guān)系．【解答】解：∵，構(gòu)造函數(shù)，，令g（x）＝x+1﹣xlnx，則g′（x）＝﹣lnx＜0，∴g（x）在[e2，+∞）上單減，∴g（x）≤g（e2）＝1﹣e2＜0，故f′（x）＜0，∴f（x）在[e2，+∞）上單減，∴f（2020）＞f（2021）＞0，∴，∴l(xiāng)na＞lnb，∴a＞b，同理可得lnb＞lnc，b＞c，故c＜b＜a．故選：C．二．多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）（多選）9．（5分）若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的有（）A．{} B．{an?an+1} C．{an+an+1} D．{an+1}【答案】AB【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的定義檢驗各選項即可判斷．【解答】解：若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則＝q，A：＝q2，符合等比數(shù)列，A正確；B：＝q2，符合等比數(shù)列，B正確；當an＝（﹣1）n時，CD顯然不符合題意．故選：AB．（多選）10．（5分）已知的展開式中第二項與第三項的系數(shù)的絕對值之比為1：8，則（）A．n＝4 B．展開式中所有項的系數(shù)和為1 C．展開式中二項式系數(shù)和為24 D．展開式中不含常數(shù)項【答案】AD【分析】由展開式的通項公式解方程可得n，可判斷A；令x＝1，計算可判斷B；由二項式系數(shù)的性質(zhì)可判斷C；由通項公式可判斷D．【解答】解：的展開式中第二項與第三項的系數(shù)的絕對值之比為1：8，可得2C：4C＝1：8，即為＝，解得n＝4，故A正確；則二項式即為（﹣2x）9，令x＝1，可得所有項的系數(shù)和為﹣1，故B錯誤；展開式的二項式系數(shù)和為29，故C錯誤；由展開式的通項公式Tr+1＝C（）9﹣r（﹣2x）r＝C（﹣2）rx2r﹣9，r＝0，1，…，9，令2r﹣9＝0，解得r＝，不為整數(shù)，故D正確．故選：AD．（多選）11．（5分）在一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件B為“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”；事件C為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A．事件B與事件C是互斥事件 B．事件A與事件B是相互獨立事件 C．事件B與事件C是相互獨立事件 D．【答案】BCD【分析】由互斥事件的定義判斷A；由相互獨立事件判斷BC；事件ABC表示第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，由此判斷D．【解答】解：根據(jù)互斥事件的定義可知A選項錯誤；對于事件A與事件B，，，，事件A與事件B是相互獨立事件，B正確，同理可知C正確；事件ABC表示第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故，D正確．故選：BCD．（多選）12．（5分）已知P為橢圓＝1外一點，F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）分別為橢圓C的左，右焦點，PF2＝F1F2，，線段PF1，PF2分別交橢圓于M，N，，，設(shè)橢圓離心率為e，則下列說法正確的有（）A．e越大，則λ越大 B．若λ＝，則e＝﹣1 C．若μ＝，則e＝ D．【答案】BC【分析】由題意可知|PF21＝|F1F2|＝2c，過F1作直線PF2的垂線，結(jié)合利，用余弦定理求出∠F1F2P；點P在y軸左側(cè)時和當點P在y軸右側(cè)時判斷A選項說法是否成立；當u＝時，連接NF1，在F1F2N中，根據(jù)余弦定理及橢圓定義，可計算出離心率即可判斷C是否正確；當λ＝時，連接MF2，在△F1F2M中，根據(jù)余弦定理及橢圓定義，可計算出離心率，即可判斷C是否正確，即可判斷B是否正確；由余弦定理表示出|MF2|，結(jié)合橢圓定義推出，在F1F2N中，根據(jù)余弦定理計算|NF1|，推出μ，最后計算即可判斷D是否正確．【解答】解：∵F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）∴|PF2|＝|F1F2|＝2c∵，∴，∴，∴，過F1作直線PF2的垂線，垂足為Q，在Rt△PF1Q中，∴|PQ|＝3c，，∴，在Rt△PF1Q中：，對于A選項：∵|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴點P在以F2為圓心，以2c為半徑的圓上運動，如圖當點P在y左側(cè)時e較小，但較大，當點P在y右側(cè)時e較大，但λ也可能較小，故e越大，則λ越大說法錯誤，故A不正確；對于C選項：若，∵，∴N為PF2中點，若，∵，∴N為PF2中點，連接NF1，在△F1F1N中，，根據(jù)余弦定理可知：，又|NF1|+|NF2|＝2a，∴，∴＝，故選項C正確；對于B選項：若，∵為PF2中點，連接MF2，在△F1F1M中，，根據(jù)余弦定理可知：，又|MF1|+|MF2|＝2a，∴，∴，故B選項正確；對于D選項：過M作ME⊥x軸，垂足為E，∵，∴，，又|MF1|+|MF2|＝2a，∴，∴，∴12λ2c2+4c2﹣12λc2＝，∴，∴，∴，∵，∴，在△NF1F2N中，∠F1F2N＝120°，|F1F2|＝2c1，，根據(jù)余弦定理可知：，故D不正確．故選：BC．三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）過點M（3，2）且截圓x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0所得弦長為2的一條直線方程是x＝3或3x﹣4y﹣1＝0．【答案】x＝3或3x﹣4y﹣1＝0．【分析】圓x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，則（x﹣1）2+（y+2）2＝9，表示圓心為（1，﹣2），半徑為3的圓，由圓的弦長公式，解得d＝2，再分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論，即可求解．【解答】解：∵圓x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，∴（x﹣1）2+（y+2）2＝9，表示圓心為（1，﹣2），半徑為3的圓，由圓的弦長公式2＝2，解得d＝2，當直線l的斜率不存在時，即直線l為x＝3，此時圓心到直線x＝3的距離為2，滿足題意，當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2＝0，圓心（1，﹣2）到直線kx﹣y﹣3k﹣1＝0的距離為2，則＝2，解得k＝，故直線l的方程為3x﹣4y﹣1＝0，綜上所述，直線l的方程是x＝3或3x﹣4y﹣1＝0．故答案為：x＝3或3x﹣4y﹣1＝0．14．（5分）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4，S5，S7∈{﹣15，0}，則Sn的最小值為﹣18．【答案】﹣18．【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知S7＝7a4，然后分a4＝0和a4＝﹣15兩種情況，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a4，S5，S7∈{﹣15，0}，又，∴當a4＝0時，S7＝0，∴S5＝﹣15，∴，解得a1＝﹣9，d＝3，∴an＝﹣9+3（n﹣1）＝3n﹣12，令an＝3n﹣12≤0，得n≤4，∴Sn的最小值為，當a4＝﹣15時，S7＝﹣105?{﹣15，0}，不符合題意，故Sn的最小值為﹣18．故答案為：﹣18．15．（5分）已知α，β∈（0，），且α+β為定值，當取最小值9時，tanα的值為．【答案】．【分析】利用“1”的代換思想，通過基本不等式來求解．【解答】解：α+β為定值，則sin（α+β）為定值，設(shè)sin（α+β）＝m，則有：＝（sinαcosβ+cosαsinβ）（）＝（1+4++）≥（5+2）＝9，則m＝1，即sin（α+β）＝1，∵α，β∈（0，），∴α+β＝，∴β＝﹣α，且當且僅當tanβ＝2tanα?xí)r，等號成立，∵tanβ＝2tanα，∴sinβcosα＝2sinαcosβ，∴sin（﹣α）cosα＝2sinαcos（﹣α），化簡得tan2α＝，∴tanα＝．故答案為：．16．（5分）如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，AB＝1，AD＝2，AA1＝2，∠BAD＝60°，點P是半圓弧上的動點（不包括端點），點Q是半圓弧上的動點（不包括端點），若三棱錐P﹣BCQ的外接球表面積為S，則S的取值范圍是．【答案】．【分析】先由余弦定理求出，從而得到AB⊥BD，確定BC的中點E為三棱錐P﹣BCQ的外接球球心O在平面BCQ的投影，再證明出M為AD的中點，N為B1C1的中點，即EN⊥平面ABCD，故球心在線段EN上，從而確定當點P與點N重合時，三棱錐P﹣BCQ的外接球半徑最小，點P與A1或D1重合，此時PN最長，故三棱錐P﹣BCQ的外接球半徑最大，畫出圖形，求出相應(yīng)的外接球半徑和表面積，最后結(jié)合點P是半圓弧上的動點（不包括端點），故最大值取不到，求出表面積的取值范圍．【解答】解：因為AB＝1，AD＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理得：，因為AB2+BD2＝AD2，由勾股定理逆定理得：AB⊥BD，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面AB＝1為平行四邊形，故BD⊥CD，點Q是半圓弧上的動點（不包括端點），故BC為直徑，取BC的中點E，則E為三棱錐P﹣BCQ的外接球球心O在平面BCQ的投影，設(shè)與AD相交于點M，與B1C1相交于點N，連接EM，ED，則EM＝ED，因為∠BCD＝60°，故∠CBD＝30°，∠DEM＝2∠DBC＝60°，故三角形DEM為等邊三角形，，即M為AD的中點，同理可得：N為B1C1的中點，連接EN，則EN⊥平面ABCD，故球心在線段EN上，顯然，當點P與點N重合時，三棱錐P﹣BCQ的外接球半徑最小，假如點P與A1或D1重合，此時PN最長，故三棱錐P﹣BCQ的外接球半徑最大，如圖1，點P與點N重合，連接OC，設(shè)ON＝R，則OE＝2﹣R，OC＝R，由勾股定理得：OE2+EC2＝OC2，即（2﹣R）2+1＝R2，解得：，此時外接球表面積為；如圖2，當點P與A1或D1重合時，連接A1O，A1N，OC，其中，設(shè)OE＝h，則ON＝2﹣h，由勾股定理得：，，故，解得：，此時外接球半徑為，故外接球表面積為，但因為點P是半圓弧上的動點（不包括端點），故最大值取不到，綜上：S的取值范圍是．故答案為：．四．解答題（本大題共70分.）17．（10分）已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，acosB﹣bcosA＝c+b．（1）求A；（2）若a＝7且△ABC的內(nèi)切圓的半徑，求△ABC的面積．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用余弦定理角化邊整理可得a2＝b2+c2+bc，再結(jié)合余弦定理運算求解；（2）由題意結(jié)合面積公式整理可得b+c＝bc﹣7，結(jié)合（1）中結(jié)論解得bc＝15，運用面積公式即可結(jié)果．【解答】解：（1）∵acosB﹣bcosA＝c+b，則，整理得a2＝b2+c2+bc，∴，又∵A∈（0，π），∴；（2）由題意可得：△ABC的面積＝，即，整理得：b+c＝bc﹣7，由（1）得：a2＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc，則49＝（bc﹣7）2﹣bc，解得：bc＝15或bc＝0（舍去），故△ABC的面積．18．（12分）為了比較兩種肥料A，B對同類橘子樹產(chǎn)量的影響（此處橘子樹的產(chǎn)量是指每一棵橘子樹的產(chǎn)量，單位是千克），試驗人員分別從施用這兩種肥料的橘子樹中隨機抽取了200棵，其中100棵橘子樹施用了A種肥料，另100棵橘子樹施用了B種肥料作為樣本進行分析，其中樣本橘子樹產(chǎn)量的分組區(qū)間為[5，15），[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），由此得到表1和圖1的所示內(nèi)容，其中表1是施用A種肥料后橘子樹產(chǎn)量的頻數(shù)分布表，圖1是施用B種肥料后橘子樹產(chǎn)量的頻率分布直方圖．表1：施用A種肥料后橘子樹產(chǎn)量的頻數(shù)分布表橘子樹產(chǎn)量的分組[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）頻數(shù)30401020（Ⅰ）完成圖2和表2，其中圖2是施用A種肥料后橘子樹產(chǎn)量的頻率分布直方圖，表2是施用B種肥料后橘子樹產(chǎn)量的頻數(shù)分布表，并比較施用A，B兩種肥料對橘子樹產(chǎn)量提高的影響那種更大，理由是什么？表2：施用B種肥料后橘子樹產(chǎn)量的頻數(shù)分布表橘子樹產(chǎn)量的分組[5，15）[25，35）[35，45）[45，55）[45，55）頻數(shù)（Ⅱ）把施用了B種肥料的橘子樹中產(chǎn)量不低于45千克的橘子樹記為甲類橘子樹，產(chǎn)量小于15千克的橘子樹記為乙類橘子樹，現(xiàn)采用分層抽樣方法從甲、乙兩類橘子樹中抽取4棵進行跟蹤研究，若從抽得的4棵橘子樹中隨機抽取2棵進行跟蹤研究結(jié)果的對比，記X為這兩顆橘子樹中甲類橘子樹的個數(shù)，求X的分布列．【答案】（1）見解答過程；（2）見解答過程．【分析】（Ⅰ）由已知數(shù)據(jù)能作出施用A種肥料后橘子樹產(chǎn)量的頻率分布直方圖和施用B種肥料后橘子樹產(chǎn)量的頻數(shù)分布表，求出施用A種肥料后，橘子樹產(chǎn)量的平均值和施用B肥料后橘子樹產(chǎn)量的平均值，得到施用B肥料有利于橘子樹產(chǎn)量的提高．（Ⅱ）采用分層抽樣方法從甲、乙兩類橘子樹中抽取4棵進行跟蹤研究，則抽取甲類橘子樹有3顆，乙類橘子樹有1顆，從抽得的4棵橘子樹中隨機抽取2棵進行跟蹤研究，則X的可能取值為1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．【解答】解：（Ⅰ）由已知數(shù)據(jù)得施用A種肥料后橘子樹產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：施用B種肥料后橘子樹產(chǎn)量的頻數(shù)分布表如下：橘子樹產(chǎn)量的分組[5，15）[25，35）[35，45）[45，55）[45，55）頻數(shù)1025201530設(shè)施用A種肥料后，橘子樹產(chǎn)量的平均值為，施用B肥料后橘子樹產(chǎn)量的平均值為，由頻率分布直方圖得：＝（10×0.03+20×0.04+30×0.01+40×0.02）×10＝22，＝（10×0.01+20×0.025+30×0.02+40×0.015+50×0.03）×10＝33，∵，∴施用B肥料有利于橘子樹產(chǎn)量的提高．（Ⅱ）∵甲類橘子樹有30顆，乙類橘子樹有10顆，甲、乙兩類橘子樹共40顆，∴采用分層抽樣方法從甲、乙兩類橘子樹中抽取4棵進行跟蹤研究，則抽取甲類橘子樹有3顆，乙類橘子樹有1顆，從抽得的4棵橘子樹中隨機抽取2棵進行跟蹤研究結(jié)果的對比，記X為這兩顆橘子樹中甲類橘子樹的個數(shù)，則X的可能取值為1，2，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列為：X12P19．（12分）已知Tn為數(shù)列{an}的前n項的積，且a1＝，Sn為數(shù)列{Tn}的前n項的和，若Tn+2SnSn﹣1＝0（n∈N*，n≥2）．（1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（2）求{an}的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）（n∈N*）．【分析】（1）由Tn+2SnSn﹣1＝0及Tn＝Sn﹣Sn﹣1可得，由等差數(shù)列的定義即可證得數(shù)列是等差數(shù)列；（2）由（1）可得，從而有，從而由已知可得n≥2時，，進而可得n≥3時，，檢驗n＝1，2即可得答案．【解答】（1）證明：∵Tn+2SnSn﹣1＝0，∴Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1＝0．∴，∴是等差數(shù)列．（2）解：由（1）可得，∴．∴n≥2時，；n≥3時，．而，，a1，a2均不滿足上式．∴（n∈N*）．20．（12分）如圖，在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，三棱錐C﹣A1B1C1的體積為，△AB1C的面積為4，AB＝2A1B1，且A1A⊥平面ABC．（1）求點B到平面AB1C的距離；（2）若BB1＝BA，且平面AB1C⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）根據(jù)等積轉(zhuǎn)化法求點B到平面AB1C的距離；（2）幾何法：由平面AB1C⊥平面ABB1A1，可作出二面角A﹣B1C﹣A1的平面角，在直角三角形求解；空間向量法：先證明AB，AC，AA1兩兩垂直后建系，用法向量求二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值．【解答】解：（1）設(shè)點B到平面AB1C的距離為h．因為AB＝2A1B1，三棱錐C﹣A1B1C1的體積為，所以三棱錐B1﹣ABC的體積為，又由，得，解得．（2）由已知設(shè)A1B1＝x，A1C1＝y(tǒng)，則BB1＝AB＝2x，AC＝2y，取AB1的中點M，連接BM，則BM⊥AB1，由平面AB1C⊥平面ABB1A1知BM⊥面ACB1，故BM⊥AC，又AC⊥AA1，從而AC⊥平面AA1B1B，故AC⊥AB，AC⊥AB1，取AB中點N，則A1B1＝AN＝x，四邊形A1B1NA是平行四邊形，B1N⊥AB，從而△ABB1為正三角形，故AB1＝2x，，又，，解得x＝1，y＝2．在平面ABB1A1內(nèi)作A1G⊥AB1于G，則，在平面AB1C內(nèi)，作GH⊥B1C于H，連接A1H，因為平面AB1C⊥平面ABB1A1，平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，所以A1G⊥平面AB1C，又B1C?平面AB1C，所以A1G⊥B1C，又A1G∩GH＝G，A1G?平面A1GH，GH?平面A1GH，所以B1C⊥平面A1GH，又A1H?平面A1GH，所以B1C⊥A1H，則二面角A﹣B1C﹣A1的平面角為∠A1HG．在直角△GHB1中，，故，．即所求二面角的余弦值為．法二：取AB1的中點M，連接BM，則BM⊥AB1，由平面AB1C⊥平面ABB1A1知BM⊥面ACB1，故BM⊥AC，又AC⊥AA1，從而AC⊥平面AA1B1B．故AC⊥AB，以A為原點，分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)A1B1＝x，A1C1＝y(tǒng)，則BB1＝AB＝2x，AC＝2y，取AB中點N，則A1B1＝AN＝x，四邊形A1B1NA是平行四邊形，B1N⊥AB，從而△ABB1為正三角形，故AB1＝2x，，又，得x＝1，y＝2，則A（0，0，0），，C（0，4，0），設(shè)面AB1C的法向量，由，得，設(shè)面A1B1C的法向量，由，得，故，即所求二面角的余弦值為．21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax2+3b2x（1）若a＝1，b＝0，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若0＜a＜b，不等式，f（）＞f（）對任意x∈（1，+∞）恒成立，求整數(shù)k的最大值．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）把a＝1，b＝0代入函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax2+3b2x中，對其進行求導(dǎo)，求出x＝1處的導(dǎo)數(shù)，得出直線的斜率，寫出曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）對f（x）進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可得f（x）是單調(diào)遞減的，根據(jù)不等式，f（）＞f（），可以推出＞，利用常數(shù)分離法進行求解；【解答】解：（1）當a＝1，b＝0時，f（x）＝x3﹣3x2所以f（1）＝﹣2即切點為P（1，﹣2）因為f′（x）＝3x2﹣6x所以f′（1）＝3﹣6＝﹣3，所以切線方程為y+2＝﹣3（x﹣1）即y＝﹣3x+1，（2）f′（x）＝3x2﹣6ax+3b2，由于0＜a＜b，所以Δ＝36a2﹣36b2＝36（a+b）（a﹣b）＜0，所以函數(shù)f（x）在R