概率論與數理統(tǒng)計復習文檔要點總結

#/10概率論與數理統(tǒng)計》復習資料一、復習提綱注：以下是考試的參考內容，不作為實際考試范圍，僅作為復習參考之用?？荚噧热菀越虒W大綱和實施計劃為準；注明“了解”的內容一般不考。1、能很好地掌握寫樣本空間與事件方法，會事件關系的運算，了解概率的古典定義2、能較熟練地求解古典概率；了解概率的公理化定義3、掌握概率的基本性質和應用這些性質進行概率計算；理解條件概率的概念；掌握加法公式與乘法公式4、能準確地選擇和運用全概率公式與貝葉斯公式解題；掌握事件獨立性的概念及性質。5、理解隨機變量的概念，了解（0—1）分布、二項分布、泊松分布的分布律。6、理解分布函數的概念及性質，理解連續(xù)型隨機變量的概率密度及性質。7、掌握指數分布（參數九）、均勻分布、正態(tài)分布，特別是正態(tài)分布概率計算8、會求一維隨機變量函數分布的一般方法，求一維隨機變量的分布律或概率密度。9、會求分布中的待定參數。10、會求邊緣分布函數、邊緣分布律、條件分布律、邊緣密度函數、條件密度函數，會判別隨機變量的獨立性。11、掌握連續(xù)型隨機變量的條件概率密度的概念及計算。12、理解二維隨機變量的概念，理解二維隨機變量的聯合分布函數及其性質，理解二維離散型隨機變量的聯合分布律及其性質，理解二維連續(xù)型隨機變量的聯合概率密度及其性質，并會用它們計算有關事件的概率。13、了解求二維隨機變量函數的分布的一般方法。14、會熟練地求隨機變量及其函數的數學期望和方差。會熟練地默寫出幾種重要隨機變量的數學期望及方差。15、較熟練地求協方差與相關系數.16、了解矩與協方差矩陣概念。會用獨立正態(tài)隨機變量線性組合性質解題。17、了解大數定理結論，會用中心極限定理解題。18、掌握總體、樣本、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量及抽樣分布概念，掌握樣本均值與樣本方差及樣本矩概念，掌握%2分布（及性質）、t分布、F分布及其分位點概念。19、理解正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的抽樣分布定理；會用矩估計方法來估計未知參數。20、掌握極大似然估計法，無偏性與有效性的判斷方法。21、會求單正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。會求雙正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。二、各章知識要點第一章隨機事件與概率1?事件的關系AuBAoBABA—BA0QAB=Q2.運算規(guī)則（1）AoB=BoAAB=BA(AuB)uC二Au(BuC)(AB)C二A(BC)(AuB)C二(AC)u(BC)(AB)uC二(AuC)(BuC)AuB二ABAB二AuB3.概率P(A)滿足的三條公理及性質：0<P(A)<1(2)P(0)二1對互不相容的事件A,A，…,A，有P(Ua)=1LP(A)(n可以取g)12nkkk=1k=1P(Q)=0(5)P(A)=1-P(A)(6)P(A-B)=P(A)-P(AB)，若AuB，則P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)<P(B)(7)P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)(8)P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)4．古典概型：基本事件有限且等可能5．幾何概率6．條件概率(1)定義：若P(B)>0，則P(A1B)=篇)(2)乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)若B,B，…B為完備事件組，P(B)>0，則有12ni(3)全概率公式：P(A)=工P(B)P(A1B)iii=1(4)Bayes公式：P(B1A)—P(BP(A1B/knP(B)P(A1B)iii=17?事件的獨立性：A,B獨立oP(AB)=P(A)P(B)(注意獨立性的應用)第二章隨機變量與概率分布1.離散隨機變量：取有限或可列個值，P(X=x)=p滿足(1)p>0，(2)iii工p=1ii(3)對任意DuR,P(XeD)二工pii:xieD連續(xù)隨機變量：具有概率密度函數f(x)，滿足(1)f(x)>0,卜f(x)dx=1；-g(2)P(a<X<b)=Jbf(x)dx；(3)對任意a&R，P(X=a)=0a3．幾個常用隨機變量名稱與記號分布列或密度數學期望方差兩點分布B(1,p)P(X=1)=p，P(X=0)=q=1—pppq二項式分布B(n,p)P(X=k)=Ckpkqn—k,k=0,1,2,…n，nnpnpqPoisson分布P(九)九kP(X=k)=e-^—,k=0,1,2,…k!九九均勻分布U(a,b)1f(x)=,a<x<b，b—aa+b2(b一a)212指數分布E(九)f(x)=九e—人,x>01九1九2正態(tài)分布N(2)1(x—f(x)=-e2o212兀GG24.分布函數F(x)=P(X<x)，具有以下性質F(—g)=0,F(+g)=1；(2)單調非降；(3)右連續(xù)；P(a<X<b)=F(b)—F(a)，特別P(X>a)=1—F(a)；對離散隨機變量，F(x)=工p；ii:xi<x(6)對連續(xù)隨機變量，F(x)=Jxf(t)dt為連續(xù)函數，且在f(x)連續(xù)點上，—gF'(x)=f(x)正態(tài)分布的概率計算以①(x)記標準正態(tài)分布N(0,1)的分布函數，則有(1)①(0)=0.5；(2)①(—x)=1—①(x)；(3)若X?N(2)，則F(x)=①()；

(4)以u記標準正態(tài)分布N(0,1)的上側?分位數，則P(X>u)=a=1-①(u)aaa隨機變量的函數Y二g(X)(1)離散時，求Y的值，將相同的概率相加；(2)X連續(xù)，g(x)在X的取值范圍內嚴格單調，且有一階連續(xù)導數，則f(y)二f(g-1(y))I(g-1(y))'I，若不單調，先求分布函數，再求導。YX第四章隨機變量的數字特征1．期望⑴離散時E(X)二工xp，E(g(X))二工g(x)p；iiiiii⑵連續(xù)時E(X)=xf(x)dx，E(g(X))=g(x)f(x)dx；⑶二維時E(g(X,Y))⑶二維時E(g(X,Y))=Yg(x,y)p，ijiji,jE(g(X,Y))=g(x,y)f(x,y)dxdy—g—g(4)E(C)二C；(5)E(CX)二CE(X)；E(X+Y)二E(X)+E(Y)；X,Y獨立時，E(XY)二E(X)E(Y)2．方差方差D(X)二E(X—E(X))2二E(X2)-(EX)2，標準差q(X)=耳D(X)；D(C)二0,D(X+C)二D(X)；D(CX)二C2D(X)；X,Y獨立時，D(X+Y)二D(X)+D(Y)3．協方差Cov(X,Y)二E[(X-E(X))(Y-E(Y))]二E(XY)-E(X)E(Y)；Cov(X,Y)二Cov(Y,X),Cov(aX,bY)二abCov(X,Y)；Cov(X+X,Y)=Cov(X,Y)+Cov(X,Y)；1212Cov(X,Y)二0時，稱X,Y不相關，獨立n不相關，反之不成立，但正態(tài)時等價；D(X+Y)二D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.相關系數p=COV(X,Y)；有|p|<1,|p|=1o%,b,P(Y=aX+b)=1XYXYXY5.k階原點矩v=E(Xk),k階中心矩卩=E(X-E(X))kkk第五章大數定律與中心極限定理Chebyshev不等式P{lX-E(X)l>e}<或P{lX-E(X)l<e}>1-D(X)82e2大數定律中心極限定理(1)設隨機變量X,X，…,X獨立同分布E(X)=比D(X)=◎2,則12nii工X?N(np,nc2)，或1￡X?N(卩,°)1i近似n1i近似ni=1i=1￡X-np或4:?N(0,1)，a.nc近似(2)設m是n次獨立重復試驗中A發(fā)生的次數，P(A)=p，則對任意x，有則X~N(np,npq)近似limP{m"<x}=0(x)或理解為若X~B(n,p),ns..npq則X~N(np,npq)近似第六章樣本及抽樣分布1.總體、樣本簡單隨機樣本：即獨立同分布于總體的分布(注意樣本分布的求法)樣本數字特征：TOC\o"1-5"\h\z1VC2樣本均值X=—2Lx(E(X)=卩，D(X)=一)；nini=1樣本方差S2=丄工(X-X)2(E(S2)=C2)樣本標準差n-1ii=1s=二￡(X-X)2n-1：'i=1樣本k階原點矩v=1工Xk，樣本k階中心矩R=1為(X-X)k

kniknii=1i=1統(tǒng)計量：樣本的函數且不包含任何未知數三個常用分布(注意它們的密度函數形狀及分位點定義)(1)I2分布’2=X2+X2+…+X2-’2(n)，其中X,X，…,X獨立同分布12n12n于標準正態(tài)分布N(0,1)，若X~I2(n),Y~I2(n)且獨立，則12X+Y?12(n+n)；12

X(2)t分布t=?t(n)，其中X?N(0,1),Y?x2(n)且獨立;JY/nF分布F=i?F(n,n)，其中X?x2(n),Y?x2(n)且獨立，有下Y/n12122F(n,n)=1-F(n,n)=1-a12F214．正態(tài)總體的抽樣分布(1)X?(1)X?N(pq2/n)；(2)2(X—A)2?x2(n);C2ii=15)—_?x2(n5)—_?x2(n—1)且與X獨立;C2(4)t=?t(n—1)；Sgn(X—Y)—(卩—卩)Jt=12,.SJonn12?t(n+n—2),S2=■n+n12oL12(n—1)S2+(n—1)S21+32-12-n+n—212S2/C2F=—??F(n—1,n—1)S2/C21222第七章參數估計1．矩估計：(1)根據參數個數求總體的矩；(2)令總體的矩等于樣本的矩；(3)解方程求出矩估計2．極大似然估計：(1)寫出極大似然函數；(2)求對數極大似然函數(3)求導數或偏導數；(4)令導數或偏導數為0，解出極大似然估計(如無解回到(1)直接求最大值，一般為min{x}或max{x})ii3．估計量的評選原則(1)無偏性：若E(0)=0，則為無偏；(2)有效性：兩個無偏估計中方差小的有效；4．參數的區(qū)間估計(正態(tài))參數條件估計函數置信區(qū)間C2已知x—Au=產c/pn[X+u―—]aJn2c2未知X—At—]ls/鶯'n[X+1(n—1)卓]av'n2b2卩未知(n-1)s2X2=-———b2[(n-1)s2(n-1)s2]X2(n-1)'X2(n-1)ao-122三、概率論部分必須要掌握的內容以及題型1．概率的基本性質、條件概率、加法、乘法公式的應用；掌握事件獨立性的概念及性質。如對于事件A,B,A或B，已知P(A),P(B),P(AB),P(AuB)，P(AIB),P(BIA)以及換為A或B之中的幾個，求另外幾個。例：事件A與B相互獨立，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,求：P(AB),P(A~B),P(AuB)例：若P(A)=0.4,P(B)=0.7,P(AB)=0.3,求：P(A—B),P(AuB),P(AIB),P(AIB),P(AIB)課本上P19,例5；P26，第14,24題。2．準確地選擇和運用全概率公式與貝葉斯公式。若已知導致事件A發(fā)生(或者是能與事件A同時發(fā)生)的幾個互斥的事件Bi，

i=1,2,…,n,…的概率P(B.),以及B.發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率P(AIB：),

求事件A發(fā)生的概率P(A)以及A發(fā)生的條件下事件B.發(fā)生的條件概率P(B.IA)。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假設各箱含0、1、2只殘次品的概率相應為0.8、0.1和0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：(1)顧客買下該箱的概率；(2)在顧客買下的該箱中，沒有殘次品的概率。課本上P26,第24題3．一維、二維離散型隨機變量的分布律，連續(xù)型隨機變量的密度函數性質的運用。分布中待定參數的確定，分布律、密度函數與分布函數的關系，聯合分布與邊緣分布、條件分布的關系，求數學期望、方差、協方差、相關系數，求函數的分布律、密度函數及期望和方差。(1)已知一維離散型隨機變量X的分布律P(X=x.)=p.,i=1,2,^,n,^確定參數求概率P(a<X<b)求分布函數F(x)求期望E(X),方差D(X)求函數Y=g(X)的分布律及期望E[g(X)]課本上P39,例1；P50,例1；P59,第33題；P114,第6、8題；例：隨機變量X的分布律為.X1234pk2k3k4k確定參數k求概率P(0<X<3),P{1<X<3}求分布函數F(x)求期望E(X),方差D(X)求函數Y=(X-3)2的分布律及期望E(X-3)2(2)已知一維連續(xù)型隨機變量X的密度函數f(x)確定參數求概率P(a<X<b)求分布函數F(x)求期望E(X),方差D(X)求函數Y=g(X)的密度函數及期望E[g(X)]P43,例1；P51,例2；P53,例5；P59，第36、37題；P114,第9題；例：已知隨機變量X的概率密度為f(x)=FX20:X：2,0其他確定參數k求概率P{1<X<3}求分布函數F(x)求期望E(X),方差D(X)求函數Y=^X的密度及期望E(、達)⑶已知二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布律P(X=x,Y=y.)=p..,i=1,2,…,m,…;ijijj=1,2,…,n,…確定參數求概率P{(X,Y)eG}求邊緣分布律P(X=x.)=p.,.=1,2,…,m,…；P(Y=y.)=p.,j=1,2,…,n,…求條件分布律P(X=x.lY=y.),.=1,2,…,m,…和P(Y=y.lX=x.),.=1,2,…,n,…求期望E(X),E(Y),，方差D(X),D(Y)''求協方差cov(X,Y)，相關系數p，判斷是否不相關XY求函數Z=g(X,Y)的分布律及期望E[g(X,Y)]課本P65,例1；P88，第36題；P115，第14題；P116,第22題；例：已知隨機變量(X,Y)的聯合分布律為5012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率P(X<Y),P(X=Y)求邊緣分布律P(X=k)k=0,1,2和P(Y=k)k=0,1,2,3求條件分布律P(X=klY=2)k=0,1,2和P(Y=klX=1)k=0,1,2,3求期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y)求協方差cov(X,Y)，相關系數p，判斷是否不相關XY求Z=X+Y,W=max{X,Y},V=min{X,Y}的分布律(4)已知二維連續(xù)型隨機變量X的聯合密度函數fx,y)確定參數求概率P{(X,Y)eG}求邊緣密度f(x),f(y)，判斷X,Y是否相互獨立XY求條件密度f(x|y)，f(y|x)X|YY|X求期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y)求協方差cov(X,Y)，相關系數p%，判斷是否不相關求函數Z=g(X,Y)的密度函數及期望E[g(X,Y)]課本上P63,例2；P66，例2，P72,例4；P84，第3題；P85,第7題；P87,第22題；P117，第31題；廠例：已知二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=<cx0yx2其它V1,確定常數c的值；求概率P(X<Y)求邊緣密度f(x),f(y)，判斷X,Y是否相互獨立XY求條件密度f(x