利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值-課件

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值1一、考綱要求1、了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件2、會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）一、考綱要求1、了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件2二、知識清單1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在附近有定義,如果對附近的所有點,都有,則稱為的一個極大值,記作

;如果對附近的所有點,都有,則稱為的一個極小值,記作.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.結(jié)論:設(shè)在處連續(xù),(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值;(2)如果在附近的左側(cè)

,右側(cè),那么是極小值;(3)如果在附近,左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值同號,那么不是極值.

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟:（1)求;(2)求方程的根;(3)判斷在方程根左右兩側(cè)的符號;(4)利用結(jié)論寫出極值.

二、知識清單1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)3二、知識清單注意:(1)在函數(shù)的整個定義域內(nèi),函數(shù)的極值不一定唯一,在整個定義域內(nèi)可能有多個極大值和極小值;(2)極大值和極小值沒有必然聯(lián)系,極大值可能比極小值還小;(3)導(dǎo)數(shù)等于零的點不一定是極值點(例如:,,但不是函數(shù)的極值點);(4)可導(dǎo)函數(shù)在極值點處導(dǎo)數(shù)必為零.二、知識清單注意:4二、知識清單2.函數(shù)的最大值與最小值(1)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),在上必有最大值和最小值;但在開區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值和最小值.(2)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在上可導(dǎo),求在上的最大值和最小值的步驟如下:

①求在內(nèi)的極值;②將的各極值與、比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.二、知識清單2.函數(shù)的最大值與最小值5三、近五年來命題情況2018年全國1（文21，理21），全國3（理21），北京（文19，理18），江蘇（文11），2017年北京（文20，理19），全國2（理11，21），山東（理20），江蘇（理20）2016年全國2（理21），全國3（理21），北京（理14），四川（文6），山東（文20），天津（文20，理20），浙江（理18）三、近五年來命題情況2018年全國1（文21，理21），全國6三、近五年來命題情況2015年陜西（文15），全國2（文21），北京（文19），浙江（文20），安徽（文21，理21），山東（理21），陜西（理12），重慶（理21）2014年天津（文19），北京（文20）三、近五年來命題情況2015年陜西（文15），全國2（文217常考問題歸類函數(shù)的極值問題1、求函數(shù)的極值。先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為零，解出導(dǎo)函數(shù)的零點，并判斷在對應(yīng)零點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號是否改變，以確定函數(shù)在該處是否取得極值，若是求出該極值；2、已知極值求參數(shù)。先求導(dǎo)，在根據(jù)導(dǎo)數(shù)在極值點處的值為零，列出關(guān)于參數(shù)的方程，解出參數(shù)的值，注意導(dǎo)數(shù)為零是函數(shù)取得極值的必要不充分條件，故需進行檢驗。3、已知三次多項式函數(shù)有極值求參數(shù)的取值范圍。先求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程有兩不相等實根，判別式大于零，求出參數(shù)的取值范圍。?？紗栴}歸類函數(shù)的極值問題8?？紗栴}歸類最值問題1、求連續(xù)函數(shù)在某一閉區(qū)間內(nèi)的最值；2、已知最值或不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題。可通過參變分離將問題轉(zhuǎn)化為即這樣此問題就轉(zhuǎn)化為求最值的問題。?？紗栴}歸類最值問題9四、命題特點1、單獨考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的某一性質(zhì)以小題呈現(xiàn)，綜合研究函數(shù)的性質(zhì)以大題呈現(xiàn)；

2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（最值）、結(jié)合單調(diào)性與不等式成立的情況求參數(shù)的范圍是高考命題的熱點；四、命題特點1、單獨考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的某一性質(zhì)以小題呈現(xiàn)10四、命題特點3、以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值（最值）等問題為主，與不等式、函數(shù)方程、函數(shù)的圖像等相結(jié)合，具有綜合化更強的趨勢；4、適度關(guān)注生活中的優(yōu)化問題（2015江蘇文15）四、命題特點3、以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值（最值）等11五、備考重點1、熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運算法則是基礎(chǔ)；2、熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值（最值）的基本方法，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)方程等思想分析和解決問題。五、備考重點1、熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運算法則是基礎(chǔ)；12六、復(fù)習資料及使用1、我們選用的是“五年高考三年模擬”，并且還訂了一些試卷，如“伯樂馬”、“衡水金卷”等.第一輪復(fù)習以“5+3”為主.二輪復(fù)習以做試卷和分析講解試題為主.2、(一輪)課前要求學(xué)生對上課所涉及專題預(yù)習、填好知識清單并做相關(guān)資料的習題（教師預(yù)選）;上課先帶學(xué)生一起看考綱內(nèi)容，歸納知識點，后講解高考題（必講）和模擬題（選講）.學(xué)生覺得困難的重點講，講了也不理解的不講.3、高三一開始就抽時間對近五年全國卷的考題進行測試并精講.六、復(fù)習資料及使用1、我們選用的是“五年高考三年模擬”，并且13七、考題示例例1.(2017全國2理.11)若是函數(shù)的極值點，則的極小值為（）A.B.C.D.解:,由題意得

,解得,所以

,可以求得時，取得極小值,故選A.注意:導(dǎo)數(shù)的零點不一定是函數(shù)的極值點,極值點是導(dǎo)數(shù)的變號零點,在函數(shù)的極小值點附近,導(dǎo)數(shù)由負變正.

七、考題示例例1.(2017全國2理.11)14七、考題示例例2.（2016四川文.6）已知為函數(shù)的極小值點，則（）A.-4B.-2

C.4

D.2解題思路:此題較容易,結(jié)合相關(guān)理論可知時,取得極小值,所以,故選D.例3.（2018江蘇文.11）若在內(nèi)有且只有一個零點,則在上的最大值與最小值的和為_______

.解題思路:本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用.,當時,在

上恒成立,則在上單調(diào)遞增,七、考題示例例2.（2016四川文.6）已知為函數(shù)15七、考題示例此時在內(nèi)無零點,舍去;當時,由得,由得,又在上有且只有一個零點,

,所以,所以則,,

,當時單調(diào)遞增,當時,單調(diào)遞減,則

,又,故，可求得答案.（本題較難,突破點是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系在解題中的應(yīng)用，其中涉及到分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想等）七、考題示例此時在內(nèi)無零點,舍去;當16七、考題示例例4.（2015陜西文.15）函數(shù)在極值點處的切線方程為________.命題立意:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與應(yīng)用，涉及到極值點的求法,難度中等.解題思路：,推出,經(jīng)檢驗是極值點,可寫出切線方程為.七、考題示例例4.（2015陜西文.15）函數(shù)在17七、考題示例5.（2018全國1文.21）已知函數(shù).（1）設(shè)是函數(shù)的極值點,求,并求的單調(diào)區(qū)間;（2）證明:當時.解:(1)的定義域為,,由題設(shè)知,所以,從而

當時，

;當時，.所以,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.七、考題示例5.（2018全國1文.21）18七、考題示例(2)當時,.設(shè),則.當時,.當時

.所以,，因此,結(jié)論成立.(命題特點:本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用,(1)根據(jù)函數(shù)在某點取得極值,則導(dǎo)函數(shù)在該點的函數(shù)值為零求解的值,從而得到的解析式,進而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)構(gòu)造新函數(shù),通過求解新函數(shù)的最小值證明結(jié)論.）本題第二問較難,只有那些做題經(jīng)驗豐富,并善于總結(jié)的一小部分同學(xué)才可能完成.

七、考題示例(2)當時,19七、考題示例6.（2018全國1理.21）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若存在兩個極值點,,證明:

.解析:(1)的定義域為,當時,是上的增函數(shù);當時令得或結(jié)合圖像及相關(guān)知識得出結(jié)論;七、考題示例6.（2018全國1理.21）已知函數(shù)20七、考題示例(2)由(1)可知,若存在兩個極值點當且僅當、是方程,故,不妨設(shè)則,

,從而將未知數(shù)減少,,故

等價于

七、考題示例(2)由(1)可知,若存在兩個極值點當且21七、考題示例

設(shè)函數(shù),由(1)知在上單調(diào)遞減,又,所以

,即原不等式成立.(本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的應(yīng)用,較難.其中第二問中涉及到對要證明的不等式進行轉(zhuǎn)化,構(gòu)造新函數(shù),通過求解新函數(shù)的值域證明結(jié)論).七、考題示例22七、考題示例7.(2018全國3.理）已知函數(shù).(1)若,證明:當時,;當時,;(2)若是的極大值點,求.解析:(1)當時,.令,,當時當時,,故,所以,所以在上單調(diào)遞增,又,故結(jié)論成立.七、考題示例7.(2018全國3.理）23七、考題示例(2)①若,.結(jié)合(1)知當時,,與是的極大值點矛盾;②若,設(shè)函數(shù).

由于當時,.故和同號,又故是的極大值點等價于是的極大值點.七、考題示例(2)①若,24七、考題示例如果，則當,且時,不是的極大值點.如果,則存在根,故當且時,,所以不是的極大值點.如果,則

,當,;當時,.所以是的極大值點.故結(jié)論成立.所以.(本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值.第二小題難度非常大)七、考題示例如果，則當25七、考題示例8.(2018北京理.18)設(shè)函數(shù)(1)若曲線在點處的切線與軸平行,求;(2)若在處取得極小值,求的取值范圍.(本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.(1)利用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解;(2)對函數(shù)求導(dǎo),對參數(shù)的取值范圍分類討論,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系求解.此題難度適中.)七、考題示例8.(2018北京理.18)26八、復(fù)習中的一些思考

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在高考中年年考,難度大,平均分低.學(xué)生學(xué)起來十分困難,遇到問題不能解決，一段時間以后學(xué)生產(chǎn)生了困惑、焦躁、緊張甚至是恐慌的不良情緒，這種情緒不僅會使得我們復(fù)習低效，更會影響學(xué)生的身心將康，對備考很不利.盡快走出盲目做題，轉(zhuǎn)入有針對性、有重點的高效專題復(fù)習乃是目前的重中之重。要解決當前的問題，我做了一些思考。對策如下：

一、立足課本，夯實重點。課本既是我們教學(xué)的依據(jù)，又是基礎(chǔ)知識的載體，還是考高命題的基本生長點，因此我們的復(fù)習不能脫離課本。在高考即將來臨之前的專題復(fù)習中立足課本，掃清知識上的盲點顯得尤為重要。八、復(fù)習中的一些思考導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在高考中年年考,難度大27八、復(fù)習中的一些思考如例1、2、4，這三個題不算難，但還是有很多同學(xué)丟分。究其原因就是知識上存在盲點，如求導(dǎo)出錯。盲點的存在往往是致命的，但僅靠做題來掃清知