控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件

5控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性基本概念5.2系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件5.3代數穩(wěn)定性判據（Routh判據、Hurwitz判據）5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據（Nyquist判據）5.5應用乃奎斯特判據分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性5.6由伯德圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性5.7控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第1頁5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性基本概念1.單擺2.閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題

定義系統(tǒng)受擾動后能否恢復原來狀態(tài)控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第2頁5.2系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件N(s)到Xo(s)傳遞函數：控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第3頁設n(t)為單位脈沖函數，n(t)為輸入時，系統(tǒng)輸出為：控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第4頁控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第5頁假如系統(tǒng)穩(wěn)定，應有即系統(tǒng)輸出時域表示式:控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第6頁控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第7頁

為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式根實部控制系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件是：

閉環(huán)特征方程式根全部含有負實部

系統(tǒng)特征根即閉環(huán)極點，故也能夠說充要條件為極點全部在[s]平面左半面控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第8頁為系統(tǒng)特征根基于方程式根與系數關系

5.3代數穩(wěn)定性判據設系統(tǒng)特征方程為

控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第9頁復數根與系數關系：

控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第10頁（2）特征方程各項系數符號都相同。（1）特征方程各項系數

(i=0，1，2，…，n)。要使全部特征根均含有負實部，必須滿足：

普通取正值，則上述兩條件簡化為——必要條件！控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第11頁充要條件：假如“勞斯陣列”中第一列全部項均為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯陣列：

控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第12頁其中實部為正特征根數＝勞斯陣列中第一列系數符號改變次數?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第13頁例:設控制系統(tǒng)特征方程式為

試應用勞斯穩(wěn)定判據判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第14頁勞斯陣列第一列中系數符號全為正，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

解：首先由方程系數可知滿足穩(wěn)定必要條件（系數均大于0）。其次，排勞斯陣列控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第15頁例2設控制系統(tǒng)特征方程式為

試應用勞斯穩(wěn)定判據判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：由方程系數可知已滿足穩(wěn)定必要條件。 排勞斯陣列第一列系數改變符號2次，閉環(huán)系統(tǒng)根中有2個實部為正，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第16頁

二階系統(tǒng)特征式為，勞斯表為故二階系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件是

對于特征方程階次低（n≤3）系統(tǒng)，勞斯判據可簡化：控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第17頁三階系統(tǒng)特征式為，勞斯表:故三階系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件是控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第18頁

例設某反饋控制系統(tǒng)以下列圖所表示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定K值范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第19頁特征方程為依據三階系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件，可知使系統(tǒng)穩(wěn)定須滿足故使系統(tǒng)穩(wěn)定K值范圍為控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第20頁例:設控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式為用勞斯判據判斷穩(wěn)定性。勞斯陣列表符號改變2次，2個正實根?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第21頁無正實根，有虛根?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第22頁例:設控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式為用勞斯判據判斷穩(wěn)定性。勞斯陣列表臨界穩(wěn)定控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第23頁n×n行列式：赫爾維茨穩(wěn)定性判據控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第24頁系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：各階主子行列式均>0即：……控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第25頁例:設控制系統(tǒng)特征方程式為

試應用赫爾維茨穩(wěn)定判據判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：由方程系數可知滿足穩(wěn)定必要條件。 各系數排成行列式控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第26頁因為故該系統(tǒng)穩(wěn)定?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第27頁代數穩(wěn)定性判據使用多項式是系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第28頁例：一個反饋控制系統(tǒng)特征方程為 s3+5Ks2+(2K+3)s+10=0,試確定使該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定K值?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第29頁控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第30頁勞斯判據不足：定性——較難從量上判斷系統(tǒng)穩(wěn)定程度必須知道系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數Nyquist穩(wěn)定判據依據開環(huán)頻率特征判斷閉環(huán)穩(wěn)定性對含有延遲步驟系統(tǒng)無效控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第31頁1.a

為復數C為順時針方向5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第32頁假如C包圍a，則C’

順時針包圍原點1圈；假如C不包圍a，則C’不包圍原點?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第33頁2.控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第34頁假如C包圍a，則C’

逆時針包圍原點1圈；假如C不包圍a，則C’不包圍原點?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第35頁C包圍z個零點，C’繞原點順時針繞原點1圈，角度增量順時針z圈控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第36頁C包圍1個極點，C’逆時針繞原點1圈C包圍p個極點，C’繞原點逆時針p圈控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第37頁F(s)有m個零點，n個極點，在[s]平面上C順時針包圍了其中z個零點和p個極點，——映射定理z–p圈。則在[F]平面上C’順時針包圍原點控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第38頁反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數閉環(huán)傳遞函數控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第39頁閉環(huán)穩(wěn)定

閉環(huán)傳遞函數右極點個數為0

右零點個數為0

逆時針包圍原點圈數=開環(huán)右極點個數

順時針繞[s]右半平面曲線，經過映射，控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第40頁F(s)包圍原點圈數=F’(s)包圍-1點圈數控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第41頁Nyquist穩(wěn)定判據在[s]平面作包圍右半平面D形曲線，假如開環(huán)傳遞函數Nyquist圖逆時針包圍

(－1,j0)點圈數等于開環(huán)右極點個數，則系統(tǒng)穩(wěn)定。——充要條件控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第42頁右極點數：0逆時針包圍圈數：0穩(wěn)定控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第43頁右極點數：0逆時針包圍圈數：0穩(wěn)定控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第44頁右極點數：1逆時針包圍圈數：1穩(wěn)定控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第45頁例:下列圖所表示反饋控制系統(tǒng)，K為何值時穩(wěn)定?K<1，不穩(wěn)定；K>1，穩(wěn)定?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第46頁例:某反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為判斷當K=10和40時穩(wěn)定性控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第47頁假如開環(huán)傳遞函數在虛軸上有極點或零點，控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第48頁控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第49頁開環(huán)沒有右極點，乃氏圖不包圍(-1,j0)，穩(wěn)定控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第50頁開環(huán)右極點有1個，乃氏圖逆時針包圍(-1,j0)1圈，穩(wěn)定控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第51頁從原點右邊繞，開環(huán)右極點個數為0；

乃氏圖順時針包圍(-1,j0)1

圈，不穩(wěn)定控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第52頁例：某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第53頁從原點右邊繞，順時針2圈，不穩(wěn)定控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第54頁延時步驟串聯在前向通道K滿足什么條件時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定？5.5應用乃奎斯特判據分析延時系統(tǒng)穩(wěn)定性控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第55頁0+0-控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第56頁比如：穩(wěn)定條件：控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第57頁Nyquist穩(wěn)定判據在[s]平面作包圍右半平面D形曲線，假如開環(huán)傳遞函數Nyquist圖逆時針包圍(－1,j0)點圈數等于開環(huán)右極點個數，則系統(tǒng)穩(wěn)定。(1)開環(huán)右極點個數怎樣判斷？——勞斯判據(2)開環(huán)在虛軸上有零極點？——繞道(3)開環(huán)無右極點——不包圍(4)乃氏判據也適合用于有延時步驟情況控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第58頁延時步驟并聯在前向通道控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第59頁例：下列圖所表示為機床（如鏜床，銑床）長懸臂梁式主軸工作情況，因為主軸剛性低，常易產生振動，下面分析其動態(tài)特征?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第60頁

P（t）——切削力；

y（t）——主軸前端刀具處因切削力產生變形量；

D——主軸系統(tǒng)當量粘性系數；

——主軸系統(tǒng)當量剛度。1．機床主軸系統(tǒng)傳遞函數將主軸簡化為集中質量m作用于主軸端部，令主軸端部運動微分方程為其傳遞函數為控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第61頁2．切削過程傳遞函數 若工件名義進給量為，因為主軸變形，實際進給量為u（t），于是U（s）=Uo（s）-Y（s）

若主軸轉速為n，刀具為單齒，則刀具每轉一周需要時間。刀具在每轉動一周中切削實際厚度為[u（t）-u（t-τ）]

。

令kc為切削阻力系數（它表示切削力與切削厚度之比），則控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第62頁其閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為

控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第63頁則，即令這么一來就將乃氏判據中開環(huán)頻率特征極坐標是否包圍（-1，j0）點問題歸結為Gm（jω）極坐標軌跡是否包圍Gc(jω）極坐標軌跡問題。

下面分別作出Gm（jω）和Gc(jω）極坐標軌跡。控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第64頁控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第65頁曲線③曲線①控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第66頁1．若Gm（jω）不包圍Gc(jω），即Gm（jω）與Gc(jω）不相交，如曲線①，則系統(tǒng)絕對穩(wěn)定。所以系統(tǒng)絕對穩(wěn)定條件是Gm（jω）中最小負實部絕對值小于。

不論提升主軸剛度km，還是降低kc(切削阻力系數），都可提升穩(wěn)定性，但對提升穩(wěn)定性最有利是增加阻尼。控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第67頁2．若Gm（jω）包圍Gc(jω）一部分，即Gm（jω）與Gc(jω）相交，如曲線③，則系統(tǒng)可能不穩(wěn)定，但在一定條件下也可穩(wěn)定。

假如在工作頻率ω下，確保τω避開范圍，也就是適當選擇τ系統(tǒng)仍可穩(wěn)定。所以，在此條件下系統(tǒng)穩(wěn)定條件為：選擇適當主軸轉速n(在單刃銑刀時，τ＝1/n)，使Gm（jω）不包圍τω點。

控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第68頁單位圓→0dB線5.6由伯德圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第69頁控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第70頁由伯德圖判穩(wěn)定性設0型或I型系統(tǒng)開環(huán)特征方程有p

個右根，

且開環(huán)靜態(tài)放大倍數大于零，

假如在全部L(ω)≥0頻率范圍內，

相頻特征曲線φ(ω)在(-π)線上正負穿越之差為p/2次，

則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。乃氏圖從第三象限穿越負實軸到第二象限，負穿越;

從第二象限穿越負實軸到第三象限，正穿越。假如ω=0時，φ(ω)=-π，

乃氏圖向第三象限去，半次正穿越，

向第二象限去，半次負穿越?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第71頁

圖（a），已知p＝0，即開環(huán)無右特征根，

在L（ω）＞0范圍內，正負穿越之差為0，

系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。

圖（b），已知開環(huán)傳遞函數有一個右極點，

p=1，在L（ω）＞0頻率范圍內，半次正穿越，

系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第72頁

圖（c），已知p＝2，在L（ω）＞0范圍內，正負穿越之差為1-2=-1≠2／2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。

圖（d），已知p＝2，在L（ω）＞0范圍內，正負穿越之差為2-1＝1=2／2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定?？刂乒こ讨刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第73頁假如系統(tǒng)閉環(huán)特征根均在s左半平面，且和虛軸有一段距離，則系統(tǒng)有一定穩(wěn)定裕量。用勞斯判據定性→定量虛軸左移σ，令z=s+σ，

將s=z-σ代入系統(tǒng)特征式，

得到z方程式，采取勞斯判據，可知距離虛軸σ以右是否有根。5.7控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第74頁例：

令z=s+1，即s=z–1，代入系統(tǒng)特征式，即z多項式系數無相反符號，勞斯陣列第一列未變號，系統(tǒng)在s=-1以右沒有根。實際4個根為-1,-2,-3,-4控制工程之控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析培訓課件第75頁用Nyquist圖假如