結(jié)構(gòu)力學-第14章結(jié)構(gòu)動力學課件

第十四章結(jié)構(gòu)動力學§14-1概述§14-2結(jié)構(gòu)振動的自由度§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動§14-8振型分解法§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動§14-10計算頻率的近似法第十四章結(jié)構(gòu)動力學§14-1概述§14-2結(jié)構(gòu)§14-1概述動力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生振動，各種量值均隨時間而變化，要考慮慣性力的影響。動力荷載的種類(1)周期荷載：隨時間按一定規(guī)律變化的周期性荷載，如按正弦(或余弦)規(guī)律變化的稱為簡諧周期荷載，也稱為

振動荷載。(2)沖擊荷載：很快地把全部量值加于結(jié)構(gòu)而作用時間很短即行消失的荷載。(3)突加荷載：在一瞬間施加于結(jié)構(gòu)上并繼續(xù)留在結(jié)構(gòu)上的荷載?！?4-1概述動力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生§14-1概述(4)快速移動的荷載。高速移動的列車、汽車等。(5)隨機荷載：變化規(guī)律不能用確定的函數(shù)關系表示的荷載。如風的脈動作用、地震等。結(jié)構(gòu)振動的形式(1)自由振動：結(jié)構(gòu)受到外部因素干擾發(fā)生振動，而在振動過程中不再受外部干擾力作用。(2)強迫振動：在振動過程中不斷受外部干擾力作用?！?4-1概述(4)快速移動的荷載。高速移動的列車、§14-2結(jié)構(gòu)振動的自由度結(jié)構(gòu)振動的自由度：結(jié)構(gòu)在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點位置所需的獨立參數(shù)的數(shù)目。圖a所示簡支梁跨中固定一個重量較大的物體，如果梁本身的自重較小可略去，把重物簡化為一個集中質(zhì)點，得到圖b所示的計算簡圖。梁在振動中的自由度=1單自由度結(jié)構(gòu)—具有一個自由度的結(jié)構(gòu)。多自由度結(jié)構(gòu)—自由度大于1的結(jié)構(gòu)?！?4-2結(jié)構(gòu)振動的自由度結(jié)構(gòu)振動的自由度：結(jié)構(gòu)在彈性變§14-2結(jié)構(gòu)振動的自由度圖a所示結(jié)構(gòu)有三個集中質(zhì)點。自由度=1圖b所示簡支梁上有三個集中質(zhì)量。自由度=3圖c所示剛架有一個集中質(zhì)點。自由度=2自由度的數(shù)目不完全取決于質(zhì)點的數(shù)目§14-2結(jié)構(gòu)振動的自由度圖a所示結(jié)構(gòu)有三個集中質(zhì)點。自§14-2結(jié)構(gòu)振動的自由度圖d所示剛架上有四個集中質(zhì)點，但只需要加三根鏈桿便可限制全部質(zhì)點的位置。如圖e。自由度=3圖f所示梁，其分布質(zhì)量集度為m，可看作有無窮多個mdx的集中質(zhì)量，是無限自由度結(jié)構(gòu)。自由度的數(shù)目與結(jié)構(gòu)是否靜定或超靜定無關§14-2結(jié)構(gòu)振動的自由度圖d所示剛架上圖a所示機器的塊式基礎，當機器運轉(zhuǎn)時，若只考慮基礎的垂直振動，可用彈簧表示地基的彈性，用一個集中質(zhì)量代表基礎的質(zhì)量。使結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為圖示的單自由度結(jié)構(gòu)?！?4-2結(jié)構(gòu)振動的自由度圖b所示的水塔，頂部水池較重，塔身重量較輕，略去次要因素后，可簡化為圖示的直立懸臂梁在頂端支承集中質(zhì)量的單自由度結(jié)構(gòu)。實際結(jié)構(gòu)針對具體問題可以進行簡化圖a所示機器的塊式基礎，當機器運轉(zhuǎn)時，若只考§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動如圖所示在跨中支承集中質(zhì)量的簡支梁，把質(zhì)點m拉離原有的彈性平衡位置，然后突然放松，則質(zhì)點將在原有平衡位置附近往復振動。在振動過程中不受外來干擾，這時的振動即是自由振動?！?4-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動如圖所示§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動圖a所示為一個簡單的質(zhì)點彈簧模型。取重物的靜力平衡位置為計算位移y的原點，規(guī)定位移y和質(zhì)點所受的力都已向下為正。(1)列動力平衡方程。取振動任一時刻的質(zhì)點為隔離體如圖b。彈簧拉力(恢復力)Fe=－k11y慣性力質(zhì)點處于動力平衡狀態(tài)命可得單自由度結(jié)構(gòu)自由振動微分方程則有(a)1、不考慮阻尼時的自由振動§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動圖a所示§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(2)列位移方程。如圖c。質(zhì)點m振動時，把慣性力FI看作是靜力荷載作用在體系上，則質(zhì)點處的位移為對單自由度結(jié)構(gòu)有式(a)為一常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為可得與(1)相同的結(jié)果振動的初始條件為則有可得(b)§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(2)列位移方程。如圖§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動式中y0—初位移，—初速度。結(jié)構(gòu)的自由振動由兩部分組成：一部分是初位移y0引起的，為余弦規(guī)律；一部分是初速度引起的，為正弦規(guī)律。如圖a、b?！?4-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動式中y0—初位移，§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動令則有式(b)可寫為(c)簡諧振動如圖ca—為振幅，表示質(zhì)點的最大位移；—為初相角?！芷凇こ填l率—角頻率或頻率§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動令則有式(b)可寫為(c§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動可得(d)g—重力加速度；Δst—重量mg所產(chǎn)生靜力位移。式(d)表明：ω隨Δst的增大而減小，即把質(zhì)點放在結(jié)構(gòu)最大位移處，則可得到最低的自振頻率和最大的振動周期。例14-1當不考慮梁的自重時，比較圖中所示三種支承情況的梁的自振周期?！?4-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動可得(d)g—重力加速度§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動解：由式(d)可知，應先求結(jié)構(gòu)在重量作用下的靜力位移，有代入式(d)可得據(jù)此有說明：隨著結(jié)構(gòu)剛度的增大，其自振頻率也相應地增高?！?4-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動解：由式(d)可知，應先§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動2、考慮阻尼作用時的自由振動阻尼力的產(chǎn)生：外部介質(zhì)的阻力，支承的摩擦等；物體內(nèi)部的作用，材料分子之間的摩擦等。粘滯阻尼力：阻尼力與其振動的速度成正比，與速度的方向相反?！路Q為阻尼系數(shù)考慮阻尼力時，質(zhì)點m的受力圖如圖所示由動力平衡得即令§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動2、考慮阻尼作用時的自由§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動線性常系數(shù)齊次微分方程則有(f)設其解為代入式(f)得特征方程兩個根為討論(1)

k<ω—小阻尼情況：r1、r2是兩個復數(shù)，式(f)的通解為式中—有阻尼自振頻率由初始條件可得則有§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動線性常系數(shù)齊次微分方程則§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動可寫為(g)式中式(g)的位移-時間曲線如圖所示?！p的正弦曲線k—衰減系數(shù)§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動可寫為(g)式中式(g)§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動設阻尼比則有一般建筑結(jié)構(gòu)中ξ=0.01~0.1，可認為某一時刻tn振幅為yn，經(jīng)過一個周期后的振幅為yn+1，則有等式兩邊取對數(shù)得振幅的對數(shù)遞減量經(jīng)過j個周期后，有§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動設阻尼比則有一般建筑結(jié)構(gòu)§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(2)

k>ω—大阻尼情況：r1、r2是兩個負實數(shù)，式(f)的通解為是非周期函數(shù)，不會產(chǎn)生振動，結(jié)構(gòu)偏離平衡位置后將緩慢回復到原有位置。(3)

k=ω—臨界阻尼情況：r1=r2=-k，式(f)的通解為—非周期函數(shù)，不發(fā)生振動。此時阻尼比ξ=1，k=m，可得臨界阻尼系數(shù)故有—阻尼比為阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(2)k>ω—大阻尼§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動強迫振動—結(jié)構(gòu)在外來干擾力作用下產(chǎn)生的振動。如圖所示，干擾力F(t)直接作用在質(zhì)點m上，可得即或(h)微分方程(h)的解有兩部分：一是相應齊次方程的通解y0，二是與干擾力F(t)相應的特解當干擾力為簡諧荷載時：θ為干擾力的頻率F為干擾力的最大值§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動強迫振動§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動振動方程(h)成為(i)設式(i)的一個特解為代入式(i)解出將y0與特解合并，由初始條件可得(j)§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動振動方程§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動由式(j)可知，振動由三部分組成：(1)由初始條件決定的自由振動；(2)伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動頻率為ω’，稱為伴生自由振動；(3)按干擾力頻率θ振動，稱為純強迫振動或穩(wěn)態(tài)強迫振動如圖。前兩部分振動很快衰減掉，最后只剩下純強迫振動。過渡階段—振動開始的一段時間內(nèi)幾種振動同時存在的階段；平穩(wěn)階段—純強迫振動階段?！?4-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動1、不考慮阻尼的純強迫振動此時ξ=0，由式(j)的第三項可知純強迫振動方程為最大動力位移即振幅為因yst=Fδ11：F作為靜力荷載引起的靜力位移—位移動力系數(shù)，最大動力位移與靜力位移之比值?！?4-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動1、不考§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動當θ<ω時：μ為正，動力位移與動力荷載同向；當θ>ω時：μ為負，動力位移與動力荷載反向。對單自由度結(jié)構(gòu)，當干擾力與慣性力的作用點重合時，位移動力系數(shù)與內(nèi)力動力系數(shù)是相同的，統(tǒng)稱為動力系數(shù)。μ隨θ/ω而變化，當干擾力頻率θ接近于結(jié)構(gòu)的自振頻率ω時，動力系數(shù)迅速增大；θ=ω時，理論上μ無窮大，此時內(nèi)力和位移都將無限大→共振。工程設計中應盡量避免發(fā)生共振§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動當θ<ω§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動2、考慮阻尼的純強迫振動將式(j)的第三項寫為振幅相位差振幅A可寫為—動力系數(shù)§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動2、考慮§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動動力系數(shù)μ與θ/ω及ξ的關系如圖所示?！?4-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動動力系數(shù)§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動討論(1)μ<<ω時，θ/ω很小，μ接近于1?？山频貙sinθt作為靜力荷載。此時振動很慢，因而FI、FR都很小。無阻尼時，位移與荷載是同步的；有阻尼時，位移與荷載基本上同步。(2)μ>>ω時，μ很小，質(zhì)量近似于不動或作振幅很微小的顫動。結(jié)構(gòu)的Fe、FR可以忽略，位移與荷載的相位差為180°。(3)μ→ω時，μ增加很快，μ受阻尼的影響很大。當阻尼較小時，μ值很大，共振現(xiàn)象仍很危險。工程設計中一般常取§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動討論(1§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動例14-2如圖發(fā)電機的重量G=35kN，梁的I=8.8×10-5m4，E=210GPa，發(fā)電機轉(zhuǎn)動時離心力的垂直分力幅值F=10kN。不考慮阻尼，試求當發(fā)電機轉(zhuǎn)數(shù)為n=500r/min時，量的最大彎矩和撓度（不計梁的自重）。解：在G作用下，梁中點的最大靜位移為自振頻率為干擾力頻率為求得動力系數(shù)梁中點的最大彎矩梁中點最大撓度§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動例14-§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動圖a所示簡支梁，干擾力不作用在質(zhì)點上。建立質(zhì)點m的振動方程。F=1作用在點1時使點1產(chǎn)生的位移為δ11，如圖b。F=1作用在點2時使點1產(chǎn)生的位移為δ12，如圖c。作用在質(zhì)點m上的慣性力為在慣性力FI和干擾力F(t)共同作用下，任一時刻質(zhì)點m處的位移為即§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動瞬時沖量：荷載F(t)在極短的時間Δt≈0內(nèi)給與振動物體的沖量瞬時沖量作用下的振動問題圖a所示荷載大小為F，作用時間為Δt，其沖量I=FΔt，即圖中陰影部分的面積。瞬時沖量作用下質(zhì)點的動量增值為由可得當質(zhì)點獲得初速度后沖量即時消失，質(zhì)點在這種沖擊下將產(chǎn)生自由振動。將初始條件代入式(g)可得瞬時沖量I作用下質(zhì)點m的位移方程為§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動瞬時沖量§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動若瞬時沖量不是在t=0而是在t=τ時加于質(zhì)點上，其位移方程為圖b所示一般形式的干擾力F(t)可認為是一系列微小沖量F(τ)dτ連續(xù)作用的結(jié)果，應此有(k)不考慮阻尼ξ=0，ω’=ω則有(m)式(k)及式(m)—稱為杜哈梅積分§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動若在t=0質(zhì)點原來還具有初始位移和初始速度，則質(zhì)點位移為若不考慮阻尼則有(n)§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動（1）突加荷載。變化規(guī)律如圖a所示。設：加載前結(jié)構(gòu)處于靜止狀態(tài)，將

F(τ)=F代入式(k)求得其振動曲線如圖b。時最大動位移yd為動力系數(shù)為不考慮阻尼§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動（1）突§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動（2）短期荷載。變化規(guī)律如圖所示。當t=0時，有突加荷載加入并一直作用在結(jié)構(gòu)上；當t=t0時，有一個大小相等方向相反的突加荷載加入。利用（1）得到的突加荷載作用下的計算公式按疊加法求解：自由振動§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動（2）短當t0<T/2時，最大位移發(fā)生在后一階段。動力系數(shù)為與荷載作用時間長短有關當t0>T/2時，最大位移發(fā)生在前一階段。短期荷載的最大動力效應與突加荷載相同。§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強迫振動當t0<T/2時，最大位移發(fā)生在后一階段。動力系數(shù)為與荷載作§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動1、振動微分方程的建立剛度法圖a所示無重量簡支梁，略去梁的軸向變形和質(zhì)點的轉(zhuǎn)動，為n個自由度的結(jié)構(gòu)。加入附加鏈桿阻止所有質(zhì)點的位移，如圖b。各質(zhì)點的慣性力為各鏈桿的反力為§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動1、振動微分方程的建立剛§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動令各鏈桿發(fā)生與各質(zhì)點實際位置相同的位移，如圖c。各鏈桿上所需施加的力為不計阻尼，各鏈桿上的總反力應等于零。以質(zhì)點mi為例有kii、kij為剛度系數(shù)其物理意義見圖d、e。可得i質(zhì)點的動力平衡方程為§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動令各鏈桿發(fā)生與各質(zhì)點實際§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動對每個質(zhì)點都列出一個動力平衡方程，于是可得寫成矩陣形式為多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動微分方程§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動對每個質(zhì)點都列出一個動力§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動簡寫為式中：M為質(zhì)量矩陣，在集中質(zhì)點的結(jié)構(gòu)中是對角矩陣；

K為剛度矩陣，是對稱矩陣；為加速度列向量；Y為位移列向量。柔度法將各質(zhì)點的慣性力看作是靜荷載如圖a。結(jié)構(gòu)上任一質(zhì)點mi處的位移應為§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動簡寫為式中：M為質(zhì)量矩陣§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動δii、δij為柔度系數(shù)其物理意義見圖b、c。由此，可以建立n個位移方程多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動微分方程§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動δii、δij為柔度系數(shù)§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動寫成矩陣形式為簡寫為δ為結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，是對稱矩陣。可推得柔度矩陣與剛度矩陣是互為逆陣。§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動寫成矩陣形式為簡寫為δ為2、按柔度法求解§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動設位移方程的特解為代入位移方程可得振幅方程2、按柔度法求解§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動設位移方§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動寫成矩陣形式式中—振幅列向量單位矩陣要得到振幅不全為零的解答，振幅方程組的系數(shù)行列式為零。頻率方程§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動寫成矩陣形式式中—振幅列或?qū)憺椤?4-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動將行列式展開→含的n次代數(shù)方程，從而可得到n個自振頻率ω1，ω2，…，ωn，將頻率從小到大排列，分別稱為第一，第二，…，第n頻率。將任一ωk代入特解得此時各質(zhì)點按同一頻率ωk作同步簡諧振動，各質(zhì)點位移的比值為任何時刻結(jié)構(gòu)的振動都保持同一形狀。主振動—多自由度結(jié)構(gòu)按任一自振頻率ωk進行的簡諧振動。主振型—相應的特定振動形式，簡稱振型?；?qū)憺椤?4-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動將§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動將ωk代回振幅方程得可寫為系數(shù)行列式為零，n個方程中只有(n-1)個是獨立的，不能確定各質(zhì)點的幅值，但可確定其比值即振型?！?4-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動將ωk代回振幅方程得可寫§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動—振型向量設，即可求出其余各元素的值，此時振型稱為標準化振型。主振動的線性組合構(gòu)成振動微分方程的一般解：各主振動分量的振幅、初相角由初始條件確定。自振頻率、振型：與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和柔度系數(shù)有關；反映了結(jié)構(gòu)本身固有的動力特性。§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動—振型向量設§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動兩個自由度結(jié)構(gòu)的振幅方程為頻率方程為令解得§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動兩個自由度結(jié)構(gòu)的振幅方程§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動可得兩個自振頻率求第一陣型將ω=ω1代入振幅方程可得求第二陣型將ω=ω2代入振幅方程可得§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動可得兩個自振頻率求第一陣§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例14-3試求圖a所示等截面簡支梁的自振頻率并確定主振型。解：自由度=2，由圖b、c可得求得得到§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例14-3試求圖a所§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動第一陣型第二陣型如圖d，振型是正對稱的。如圖e，振型是反對稱的。結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布是對稱的，則其主振型是正對稱的或反對稱的。取一半結(jié)構(gòu)計算?！?4-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動第一陣型第二陣型如圖d，§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例14-4圖a所示剛架各桿EI都為常數(shù)，假設其質(zhì)量集中于各結(jié)點處，m2=1.5m1。試確定其自振頻率和相應的振型。解：結(jié)構(gòu)是對稱的，其振型為正、反對稱兩種。由受彎直桿的假定，判定不可能發(fā)生正對稱形式的振動，其振型只能是反對稱的。可取圖b所示一半結(jié)構(gòu)計算。超靜定結(jié)構(gòu)§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例14-4圖a所示剛§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動作超靜定結(jié)構(gòu)在F1=1和F2=1作用下的彎矩圖，如圖a、b。取靜定的基本結(jié)構(gòu)作圖，如圖c、d。計算得§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動作超靜定結(jié)構(gòu)在F1=1和§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動有可得第一陣型第二陣型反對稱振動，質(zhì)點同向振動反對稱振動，質(zhì)點反向振動§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動有可得第一陣型第二陣型反§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動3、按剛度法求解利用柔度矩陣與剛度矩陣互為逆陣的關系，通過變換可得振幅方程頻率方程由頻率方程可解出n個自振頻率，代回振幅方程得確定相應的n個主振型§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動3、按剛度法求解利用柔度§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動兩個自由度的結(jié)構(gòu)頻率方程為展開解得兩個主振型為§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動兩個自由度的結(jié)構(gòu)頻率方程例14-5圖a所示三層剛架橫梁的剛度可視為無窮大，設剛架的質(zhì)量集中在各層的橫梁上。試確定其自振頻率和主振型?！?4-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動解：剛架振動時各橫梁只能水平移動，自由度=3，結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)如圖b、c、d。例14-5圖a所示三層剛架橫梁的剛度可視為無窮大，設剛架§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動建立剛度矩陣為質(zhì)量矩陣為§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動建立剛度矩陣為質(zhì)量矩陣為§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動有由頻率方程得展開解得自振頻率§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動有由頻率方程得展開解得自§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動確定主振型將ωk=ω1即ηk=η1=0.392代入振幅方程有設標準化的第一振型為同理可求得§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動確定主振型將ωk=ω1即§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動第一、二、三振型分別如圖a、b、c?！?4-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動第一、二、三振型分別如圖§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動4、主振型的正交性n個自由度的結(jié)構(gòu)有n個自振頻率及n個主振型，每一頻率及相應的主振型均滿足振幅方程即：—分別設k=i，k=j，可得兩邊左乘以兩邊左乘以則有(1)(2)K、M均為對稱矩陣，將式(2)兩邊轉(zhuǎn)置有(3)§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動4、主振型的正交性n個自§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動將式(1)減去式(3)得當i≠j時，ωi

≠ωj，應有對于質(zhì)量矩陣M，不同頻率的兩個主振型是彼此正交的。將此關系代入式(1)得對于剛度矩陣K，不同頻率的兩個主振型是彼此正交的。主振型的正交性是結(jié)構(gòu)本身固有的特性，可以用來簡化結(jié)構(gòu)的動力計算，可用以檢驗所得主振型是否正確?！?4-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動將式(1)減去式(3)得§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動平穩(wěn)階段的純強迫振動圖(a)所示無重量簡支梁，用柔度法建立振動微分方程。任一質(zhì)點mi的位移yi為式中各動力荷載幅值在質(zhì)點mi處引起的靜力位移對n個質(zhì)點有§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動平穩(wěn)階段§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動寫成矩陣形式式中—荷載幅值引起的靜力位移向量純強迫振動的解答為為質(zhì)點mi的振幅。代入位移方程可得—振幅方程§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動寫成矩陣§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動或?qū)憺槭街蠭是單位矩陣，Y0是振幅向量。求解此方程即得各質(zhì)點在純強迫振動中的振幅，從而得各質(zhì)點的慣性力為—慣性力的最大值結(jié)論：位移、慣性力、干擾力將同時達到最大值。計算最大動力位移和內(nèi)力時，可將慣性力、干擾力的幅值作為靜力荷載加于結(jié)構(gòu)上計算，如圖b?！?4-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動或?qū)憺槭健?4-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動將振幅方程改寫為可寫為最大慣性力向量當θ=ωk(k=1,2,…,n)，振幅、慣性力、內(nèi)力值均為無限大—共振§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動將振幅方§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動例14-6圖a為一等截面剛架，已知m1=1kN，

m2=0.5kN，F(xiàn)=5kN，每分鐘振動300次，l=4m，

EI=5×103kN·m2。試作剛架的最大動力彎矩圖。解：此對稱剛架承受反對稱荷載，可取圖b所示半剛架計算。三個自由度：m1的水平位移m2的水平位移m3的豎向位移§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動例14-§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動—m1的最大慣性力—m2沿水平、豎向最大慣性力則有(1)§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動—m1的§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動求系數(shù)和自由項，作相應彎矩圖如圖c~f。由圖乘法得§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動求系數(shù)和§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動集中質(zhì)量的數(shù)值為振動荷載的頻率為代入式(1)得解得由疊加法最大動力彎矩圖如圖g?！?4-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動集中質(zhì)量§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動圖a所示n個自由度的結(jié)構(gòu)，當干擾力均作用在質(zhì)點處時，可得動力平衡方程為寫成矩陣形式若干擾力為同步簡諧荷載式中F=(F1

F2…Fn)T，為荷載幅值列向量?！?4-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動在平穩(wěn)階段各質(zhì)點均按頻率θ作同步簡諧振動。代入動力平衡方程整理得求得各質(zhì)點振幅值各質(zhì)點的慣性力為可得求得慣性力幅值位移、慣性力、干擾力同時達到最大值，將FI、F(t)最大值作為靜力荷載作用于結(jié)構(gòu)，計算最大動力位移和內(nèi)力?！?4-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強迫振動在平穩(wěn)階§14-8振型分解法多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼強迫振動微分方程為只有集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)，M為對角陣，K不是對角陣—方程藕聯(lián)各質(zhì)點的位移向量—幾何坐標坐標變換結(jié)構(gòu)標準化的主振型向量表示為設—位移向量按主振型分解展開§14-8振型分解法多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼強迫振動微分方程§14-8振型分解法簡寫為把幾何坐標Y變換成數(shù)目相同的另一組新坐標—正則坐標—主振型矩陣，幾何坐標與正則坐標之間的轉(zhuǎn)換矩陣令—第i個主振型的廣義質(zhì)量—廣義質(zhì)量矩陣，對角矩陣§14-8振型分解法簡寫為把幾何坐標Y變換成數(shù)目相同的§14-8振型分解法—廣義剛度矩陣，對角矩陣主對角線上的任一元素利用振型正交性可得令i=j，可得或與單自由度結(jié)構(gòu)的頻率公式相似§14-8振型分解法—廣義剛度矩陣，對角矩陣主對角線上§14-8振型分解法設有—廣義荷載向量—相應第i個主振型的廣義荷載振動方程變換為—解除藕聯(lián)，各自獨立§14-8振型分解法設有—廣義荷載向量—相應第i個主振§14-8振型分解法整理得—與單自由度結(jié)構(gòu)無阻尼強迫振動方程形式相同。初位移、初速度為零時，由杜哈梅積分求得—n個自由度結(jié)構(gòu)的計算簡化為n個單自由度計算問題振型分解法（振型疊加法）：將位移Y分解為各主振型的疊加§14-8振型分解法整理得—與單自由度結(jié)構(gòu)無阻尼強迫振§14-8振型分解法振型分解法計算步驟(1)求自振頻率和振型(2)計算廣義質(zhì)量和廣義荷載(3)求解正則坐標的振動微分方程(4)計算幾何坐標求出各質(zhì)點位移→計算其他動力反應。與單自由度問題一樣求解?！?4-8振型分解法振型分解法計算步驟(1)求自振§14-8振型分解法例14-7圖a所示結(jié)構(gòu)在結(jié)點2處受有突加荷載作用，試求兩結(jié)點的位移和梁的彎矩。解：(1)結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型(圖b、c)(2)廣義質(zhì)量§14-8振型分解法例14-7圖a所示結(jié)構(gòu)在結(jié)點2§14-8振型分解法廣義荷載(3)求正則坐標(4)求位移§14-8振型分解法廣義荷載(3)求正則坐標(4)§14-8振型分解法兩質(zhì)點位移圖形狀如圖d?！?4-8振型分解法兩質(zhì)點位移圖形狀如圖d?！?4-8振型分解法(5)求彎矩兩質(zhì)點的慣性力為由圖e可求梁的動彎矩，如§14-8振型分解法(5)求彎矩兩質(zhì)點的慣性力為由§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動圖a所示具有均布質(zhì)量的單跨梁，其振動時彈性曲線上任一點的位移y是橫坐標x和時間t的函數(shù)：設：梁的均布自重為q，單位長度的質(zhì)量m=q/g，

慣性力的集度為取微段隔離體如圖b。由材料力學可得§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動圖a所示§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動如梁上承受均布簡諧荷載psinθt，則梁的振動微分方程為或微分方程的解有兩部分：相應齊次方程的一般解-梁的自由振動特解-梁的強迫振動(1)梁的自由振動微分方程為設位移y為坐標位置函數(shù)F(x)和時間函數(shù)T(t)之積，即代入微分方程有§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動如梁上承受均布簡諧荷載p§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動上式可寫為左邊為變量t的函數(shù)右邊為變量x的函數(shù)可設得(1)(2)方程(1)的解為令或頻率特征值式(2)可寫為§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動上式可寫為左邊為變量t的§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動上式通解為位移為振幅曲線為A、B、C、D—待定任意常數(shù)引入新的常量代入yx式中有—克雷洛夫函數(shù)§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動上式通解為位移為振幅曲線§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動克雷洛夫函數(shù)有如下關系由這些關系可寫出梁的撓度yx、角位移、彎矩和剪力的公式(3)§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動克雷洛夫函數(shù)有如下關系由§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動當x=0時，設有可得全解為各特解的線性組合(4)§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動當x=0時，設有可得全解§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動例14-8試求圖a所示等截面梁的自振頻率和振型。解：由梁的邊界條件，由式(4)可得—系數(shù)行列式為零展開化簡為§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動例14-8試求圖a所§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動由雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的圖形可估計出試算法可求得前四個值為相應的自振頻率為可求得由式(4)可得§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動由雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的圖任意常數(shù)§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動—M0為待定值將k=k1，k2，…分別代入yx可得出第一、第二、…主振型曲線，其形狀如圖b~e。任意常數(shù)§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動—M0為待定值§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(2)簡諧均布干擾力作用下的振動此時微分方程