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文檔簡介
1.3.1單調(diào)性與最大(小)值第1課時函數(shù)的單調(diào)性目標(biāo)要求熱點提示1.了解函數(shù)單調(diào)性的概念,掌握判斷一些簡單函數(shù)單調(diào)性的方法.
2.能用文字語言和數(shù)學(xué)符號語言正確描述增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性等概念,能準(zhǔn)確理解這些定義的本質(zhì)特點.本節(jié)是研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用,學(xué)習(xí)時應(yīng)注意以下幾點:(1)要結(jié)合特殊函數(shù)實例,利用圖象的形象直觀,從感性上認識函數(shù)圖象具有上升或下降的變化趨勢;(2)函數(shù)單調(diào)性是用嚴(yán)謹?shù)摹⒍康臄?shù)學(xué)符號語言描述地,必須結(jié)合實例準(zhǔn)確地把握;(3)判斷或證明函數(shù)單調(diào)性,需要綜合運用其他知識(如不等式、因式分解、配方法、數(shù)形結(jié)合等),應(yīng)注意復(fù)習(xí)相關(guān)知識.德國心理學(xué)家艾賓浩斯研究發(fā)現(xiàn),遺忘在學(xué)習(xí)之后立
即開始,而且遺忘的進程并不是均勻的,最初遺忘速度較
快,以后逐漸緩慢.他認為“保持和遺忘是時間的函數(shù)”,并根據(jù)他的實驗結(jié)果繪成描述遺忘進程的曲線,即著名的
艾賓浩斯記憶遺忘曲線(下圖).艾賓浩斯記憶遺忘曲線這條曲線告訴我們,學(xué)習(xí)中的遺忘是有規(guī)律的,遺忘的進程是不均衡的,記憶的最初階段遺忘的速度很快,后來就逐漸變慢了.這條曲線表明了遺忘規(guī)律是“先快后慢”.通過這條曲線能說明什么數(shù)學(xué)問題呢?1.增函數(shù)和減函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的
任意兩個自變量的值
x1,x2,當(dāng)x1<x2時,都有,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù);如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的x1,x2,當(dāng)x1<x2時,都有,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).f(x1)<f(x2)任意兩個自變量的值f(x1)>f(x2)2.函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是
增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的
單調(diào)區(qū)間.1.函數(shù)y=2x-2在R上A.是增函數(shù)
C.既是增函數(shù)又是減函數(shù)答案:A(
)B.是減函數(shù)
D.不具有單調(diào)性2.函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖所示,其增區(qū)間是(
)A.[-4,4]B.[-4,-3]∪[1,4]C.[-3,1]D.[-3,4]答案:C3.函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),則有(
)A.f(3)<f(5)C.f(3)>f(5)B.f(3)≤f(5)D.f(3)≥f(5)解析:∵函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),3<5,∴f(3)>f(5).答案:C4.函數(shù)y=1-x的減區(qū)間是
.5.求證:函數(shù)f(x)=2x2在[0,+∞)上是增函數(shù).證明:設(shè)0≤x1<x2,則f(x1)-f(x2)=2x-2x=2(x1-x2)(x1+x2).∵0≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2>0.∴f(x1)<f(x2).∴函數(shù)f(x)=2x2在[0,+∞)上是增函數(shù).9類型一
函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明【例1】
求證:y=x+x(0<x≤3)為減函數(shù).證明:任取x1,x2∈(0,3]且x1<x2(即x2-x1>0),2
1
2
9x21x12則f(x
)-f(x
)=x
+-(x
+9
)=x
-x1+9(x1-x2)x1x2x1x2=(x
-x
)(1-
9
)=(x
-x
)·2
1
2
1x1x2-9x1x2.∵x2-x1>0,x1x2>0,0<x1<x2≤3,∴x1x2<9,有x1x2-9<0,∴f(x2)-f(x1)<0,故f(x)在(0,3]上為減函數(shù).類型二
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】
求函數(shù)f(x)=-2
9-4x2的單調(diào)區(qū)間.解:設(shè)9-4x2=t(t≥0),3
3由9-4x2≥0,得-2≤x≤2.33當(dāng)-2≤x≤0時,隨著x增大,t增大;當(dāng)0<x≤2時,隨著x增大,t減小.又函數(shù)y=-2
t在[0,+∞)上是減函數(shù),3所以,f(x)=-2
9-4x2在[-2,0]上是減函數(shù),在3(0,2]上是增函數(shù).3即函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[-2,0],單調(diào)增區(qū)間為(0,2]3
.溫馨提示:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,要先求函數(shù)的定義
域,因為單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,如果函數(shù)是復(fù)合函數(shù),那么可將函數(shù)分解成基本初等函數(shù),然后利用“同增異減”的原則求解.類型三
利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍【例3】
已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.思路分析:由題目可獲取以下主要信息:①所給函數(shù)為二次函數(shù),且含有參數(shù);②函數(shù)在區(qū)間(-∞,4]上是減函數(shù).解答本題可先將函數(shù)解析式配方,然后找出圖象的對稱軸,再考慮對稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合求解.解:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,∴此二次函數(shù)的對稱軸為x=1-a.∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,1-a].∵f(x)在(-∞,4]上是減函數(shù),∴對稱軸x=1-a必須在直線x=4的右側(cè)或與其重合.∴1-a≥4,解得a≤-3.溫馨提示:(1)二次函數(shù)是常見函數(shù),遇到二次函數(shù)后就配方找對稱軸,畫出圖象,會給研究問題帶來很大的方便.(2)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,要注意數(shù)形結(jié)合,采用逆向思維方法.類型四
抽象函數(shù)的單調(diào)性問題【例4】
已知函數(shù)f(x)對任意x、y∈R,總有:f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時,f(x)<0.比較f(-2)與f
1
的大小.(8)思路分析:如果能夠推導(dǎo)出原函數(shù)的單調(diào)性,那么這個問題就能迎刃而解,此題的關(guān)鍵是如何推證出該函數(shù)的單調(diào)性.解:先來考察該函數(shù)的單調(diào)性.∵f(0)+f(0)=f(0)(令x=y(tǒng)=0),∴f(0)=0,又令y=-x得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x).設(shè)x1,x2∈R且x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).∵x2-x1>0,依題意x>0,f(x)<0.∴f(x2-x1)<0,即f(x2)<f(x1),∴y=f(x)在R上為減函數(shù).∴f(-2)>f(8)1
.溫馨提示:研究抽象函數(shù)的單調(diào)性問題,仍采用特值法,即給變量賦予特殊值.不過在這里為了比較f(x1)與f(x2)的大小,往往需要把x1用x2+(x1-x2)來代替,再注意到題目中所給的條件,順利地放縮即可.判斷并證明f(x)=xx2+1在(0,+∞)上的單調(diào)性.①當(dāng)0<x1<x2≤1時,x2-x1>0,1-x1x2>0,則f(x2)-f(x1)>0.∴f(x)=xx2+1在(0,1]上是增函數(shù).②當(dāng)1≤x1<x2時,x2-x1>0,1-x1x2<0,則f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)=xx2+1在[1,+∞)上是減函數(shù).(1)y=
-x2+2x;(2)y=求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:1x+1.1(2)將函數(shù)y=x的圖象向左平移1個單位得函數(shù)y=1x+1的圖象,如下圖所示.觀察圖象,得函數(shù)y=1x+1的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1),(-1,+∞).本例中,若將函數(shù)“在區(qū)間(-∞,4]上是減函數(shù)”改為“函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,4]”,則a為何值?解:由例題知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1-a],∴1-a=4,a=-3.,xf(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),且f(y)=f(x)-f(y),f(2)=1,解不等式f(x)-f(1x-3)≤2.1.函數(shù)的單調(diào)性是一個“區(qū)間概念”,如果一個函數(shù)在定義域的幾個區(qū)間上都是增(減)函數(shù),但不能說這個函數(shù)在其定義域上是增(減)函數(shù).例如:函數(shù)f(x)=11但不能說f(x)
(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數(shù),因x在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,+∞)上也是減函數(shù),=x在為當(dāng)x1=-1,x2=1時有f(x1)=-1<f(x2)=1不滿足減函數(shù)的定義.2.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法
(1)定義法;兩個增(減)函數(shù)的和仍為增(減)函數(shù);一個增(減)函數(shù)與一個減
溫馨提示
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