數(shù)學(xué)思考方法例談

數(shù)學(xué)思考方法例談《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》突出“以人的發(fā)展為本”的理念，強(qiáng)調(diào)“以學(xué)生為中心”和“以學(xué)為中心”，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和自主探索的能力。因此，在教學(xué)中，教師要授之以漁，有意識地指導(dǎo)學(xué)生掌握多種數(shù)學(xué)思考方法，為學(xué)生自主探索數(shù)學(xué)知識，解決實際問題，實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展提供保證。數(shù)學(xué)的思考方法很多，本文擇其一、二，以做引玉之磚。一、分類思考法。一些數(shù)學(xué)問題，由于條件和問題之間的聯(lián)系非單一性，情況比較復(fù)雜。這時，我們可指導(dǎo)學(xué)生采用分類思考法（即把問題按一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾類，再對各類情況逐一分析，最終得以解決整個問題），使復(fù)雜的問題簡單化。例如：一本書有２００頁。編上頁碼ｌ、２、３……數(shù)字１在頁碼中出現(xiàn)多少次？教學(xué)時，我指導(dǎo)學(xué)生按“數(shù)字出現(xiàn)在百位、十位、個位上”分三類思考：第一類，數(shù)字１出現(xiàn)在百位上，共１００次。第二類，數(shù)字１出現(xiàn)在十位上，共２０次。第三類，數(shù)字１出現(xiàn)在個位上，共２０次。再綜合三類結(jié)果，最終得出答案：１００＋２０＋２０＝１４０（次）。通過分類，絕大多數(shù)同學(xué)都順利地得出了答案。可見，把問題分成幾類后思考，能使學(xué)生的思路序列化，從而保證了答案的準(zhǔn)確性。要讓學(xué)生注意的是：分類標(biāo)準(zhǔn)要恰當(dāng)，做到“不重不漏”；分類標(biāo)準(zhǔn)有時不止一種，要靈活多樣。二、多角度思考法。日常生活中，會碰到一些答案不惟一的數(shù)學(xué)問題，這時我們要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去思考，把各種可能的答案都找出來。例如：李明家離學(xué)校有６０米，張強(qiáng)家離學(xué)校有４０米。請你算出他們兩家之間的距離。在指導(dǎo)學(xué)生解題時，可以先請他們根據(jù)題中所給的條件思考李明家、張強(qiáng)家與學(xué)校的位置關(guān)系，并畫出示意圖（見下圖）。根據(jù)這三種位置關(guān)系，學(xué)生就能很快找到不同的答案。三、列表思考法。列表，就是把問題分成幾步，接著逐步分析，并把每步的結(jié)果都填在表上，通過比較，找到答案。列表能使復(fù)雜的問題條理化，從而幫助學(xué)生條理清晰、簡單扼要地解決問題。例如：５０個同學(xué)去劃船，每條大船可以坐６人，租金１０元；每四條小船可以坐４人，租金８元。如果讓你安排，準(zhǔn)備怎樣租船？這道題有多種個同的結(jié)果。一般來說，幾乎所有的學(xué)生都能設(shè)計出租船方案，但方法的多少、優(yōu)劣就要看學(xué)生的思考是否有序、得法。對此，若用列表法，把各種租船的方案按一定拭目以待順利列于表中（見下表），再比較各種租船方案的優(yōu)劣，就能幫助學(xué)生有序地思考問題，找到最佳答案。四、“無中生有”思考法。有些數(shù)學(xué)問題，看假條件不足，覺得無從著手。這時，我們就要指導(dǎo)學(xué)生把隱藏在題目中的條件找出來，再借此幫助解題。這種“無中生有”的思考方法幫助學(xué)生解答不少實際問題。例如：甲對乙說：“我到你現(xiàn)在的年齡時，你就２５歲了?！币覍渍f：“我像你這么大時，你只有７歲?！眴枺杭住⒁医衲旮鲙讱q？這道題中，甲與乙的年齡之間有一個年齡差，這個年齡差是一個始終不會改變的定值。這就是題目中的一個隱藏條件，我們可以知道學(xué)生借助這一隱藏條件解題：甲從７歲開始，增加１個年齡差，就是甲今年的年齡，再增加１個年齡差，就是２５歲。所以（２５－７）剛好就是３個年齡差，１個年齡差等于６，因此，甲今年的年齡是７＋６＝１３（歲）；乙今年的年齡是１３＋６＝１９（歲）。五、推理思考法。有些數(shù)學(xué)問題，只要求學(xué)生按一定的順序，通過分析和推理，就能得出正確的答案。在解答這些問題時，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)一個已知條件，推出相應(yīng)的結(jié)論，再根據(jù)另一個已知條件，繼續(xù)推出另一個結(jié)論……這樣，一步一步有序地推下去，直到找出問題的答案。例如：一個兩位小數(shù)除以０．６，得到近似商１．４，這個兩位小數(shù)可能是哪些數(shù)？這道題，可以這樣指導(dǎo)學(xué)生推理：（１）因為商的近似值是１．４，所以商的最小值是１．３５，最大值是１．４４。（２）因為這個兩位小數(shù)等于商乘以除數(shù)，所以這個兩位小數(shù)最小是１．３５×０．６＝０．８１，最大是１．４４×０．６＝０．８６４≈０．８６。因此，這個兩位小數(shù)可能是０．８１、０．８２、０．８３、０．８４、０．８５、０．８６這六個小數(shù)。六、設(shè)數(shù)思考法。有些數(shù)學(xué)問題，教師若以“設(shè)數(shù)法”（即把某些未知的又“必要”的條件假設(shè)成一個具體的數(shù)）指導(dǎo)學(xué)生，學(xué)生便能輕松解題。例如：張師傅改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，制作一個零件所用的時間比過去縮短了５０％，他的工作效率提高了百分之幾？題中的工作時間很關(guān)鍵，但沒有直接給出，我們就指導(dǎo)學(xué)生用設(shè)數(shù)法來解：假設(shè)張師傅原來制作一個零件所用的時間是２小時，時間縮短５０％，則需要１小時。也就是說，張師傅改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，２小時可以制作２個零件，所以他的工作效率提高了（２－１）÷１＝１００％。七、找規(guī)律思考法。有些數(shù)學(xué)問題帶有一定的規(guī)律性，解答這類題，關(guān)鍵要指導(dǎo)學(xué)生通過細(xì)致的觀察和認(rèn)真的比較分析，找出規(guī)律，然后利用它的規(guī)律性進(jìn)行計算，求出答案。然而，學(xué)生對一些隱性的規(guī)律會感到無從著手。這時，教師就要指導(dǎo)學(xué)生考慮幾個簡單的問題，做一些簡單的試驗，從中找出規(guī)律。當(dāng)然，找到規(guī)律后，要讓學(xué)生再多舉幾個例子進(jìn)行驗證，以確保結(jié)論的準(zhǔn)確性。例如：６６６……６７×６６６……６（兩個因數(shù)者有２００２個６）可以先讓學(xué)