2017版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)原理概率與統(tǒng)計(jì)第6節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列均值與方差高考AB卷理

2017版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率與統(tǒng)計(jì)第6節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列均值與方差高考AB卷理【大高考】2017版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)第6節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差高考 AB卷理離散型隨機(jī)變量的分布列(2016?全國I,19)某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè) 500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)， n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).⑴求X的分布列；⑵若要求P(XWn)>0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在 n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？解(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，從而P(X=16)=0.2X0.2=0.04;P(X=17)=2X0.2X0.4=0.16;P(X=18)=2X0.2X0.2+0.4X0.4=0.24;P(X=19)=2X0.2X0.2+2X0.4X0.2=0.24;P(X=20)=2X0.2X0.4＋0.2X0.2=0.2;P(X=21)=2X0.2X0.2=0.08；P(X=22)=0.2X0.2=0.04；所以X的分布列為1(2)由(1)(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用 (單位：元).當(dāng)n=19時(shí)，EY=19X200X0.68+(19X200+500)X0.2+(19X200+2X500)X0.08＋(19X200＋3X500)X0.04=4040.當(dāng)n=20時(shí)，EY=20X200X0.88＋(20X200＋500)X0.08＋(20X200＋2X500)X0.04=4080.可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n=19.(2013?全國U,19)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示，經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了 130t該農(nóng)產(chǎn)品，以X(單位：t,100冬X<150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量， T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).將T表示為X的函數(shù)；⑵根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率;(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率 (例如：若需求量X€[100,110),則取X=105,且X105的概率等于需求量落入[100,100)的頻率)，求T的數(shù)學(xué)期望.解⑴當(dāng)X€[100,130)時(shí),T=500X-300(130—X)=800X-39000,當(dāng)X€[130,150]時(shí)，T=500X130=65000.??800X—39000,100冬X<130，所以T=??65000,130<X<150.?由(1)知利潤(rùn)T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120冬X<150.由直方圖知需求量X€[120,150]的頻率為0.7,所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7.依題意可得T的分布列為所以E(T)=59400.2均值與方差(2016?全國U,18)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：(2)若續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi), 求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值 .解(1)設(shè)A表示事件：“續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于 1,故P(A)=0.2＋0.2＋0.1＋0.05=0.55.設(shè)B表示事件：“續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出 60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于 3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB戸P(B),故P(B|A)P(AB)P(B)0.153P(A)P(A)0.55113因此所求概率為11記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,則X的分布列為E(X)=2aX0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.(2013?全國I,19)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為 n.如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn).31假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,且各件產(chǎn)品是2否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn),對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為 X(單位：元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2,第二次取出的4件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B1,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2,這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件A,依題意有A=(A1B1)U(A2B2),且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)41113==161616264(2)X可能的取值為400,500,800,并且P(X=400)=1=,P(X=500)=,P(X=800)=.所以X的分布列為11614411116161611161164E(X=400X+500X+800X=506.25.離散型隨機(jī)變量的分布列(2013?廣東，4)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為則X的數(shù)學(xué)期望E(X)3A.25C.2B.2 D.33313解析由已知條件可知E(X>1XA.510102答案A(2015?安徽，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用 100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A.A2A33P(A)=2=.A510(2)X的可能取值為200，300，400.A21P(X=200)=2， A510A3＋C2C3A23P(X=300)=3A5103112211P(X=400)=1－P(X=200)－P(X=300)=1=.故X的分布列為1103610101101010E(X)=200X＋300X＋400X=350.(2015?福建，16)某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn) 3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為 X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為 A,5431則P(A)=6542(2)依題意得，X所有可能的取值是1,2,3.1511542又P(X=1)=P(X=2)==,P(X=3)=X166566535所以X的分布列為11所以E(X>1X+2X.6632(2015?重慶，17)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗?設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同,從中任意選取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)=C2C3C51C104⑵X的所有可能值為0,1,2,且C87C2C87P(N0)=3,P(&1)=3C1015C1015C2C81P（X=2）=.C1015綜上知，X的分布列為2131211177故E（X>0X+1X（個(gè)）.1515155（2014?天津，16）某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）.（1）求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；⑵設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.C3?C7+C3?C7解（1）設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院” 為事件A，則P（A）C10496049所以，選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為60(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0，1，2，3.1236C4?C6P(?k)=k=0,1,2,3).3C10所以，隨機(jī)變量X的分布列是k3－k隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)+1X6210305(2014?四川，17)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下： 每盤游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－2001分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為, 且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.2設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列；玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比,分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.解(1)X可能的取值為：10，20，100,-200.根據(jù)題意，有?1??1?3P(心10)=CX??X?1-?=?2??2?81?1??1?3P(心20)=CX??X?1-?=?2??2?82321?1??1?1P(心100)=CX??X?1-?=?2??2?83330?1?11P(X=-200)=CX?X?1—=.?2??2?80303所以X的分布列為(2)設(shè)“第iiP(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=—200)=所以，“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為1511?1?1—P(A1A2A3)=1—??=1—=512512?8?7183511因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是51233115(3)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=10X+20X+100X.88884這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)，因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大.(2014?重慶，18)一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中 4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片.求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)， 求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足a<b<c，則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù).)解(1)由古典概型中的概率計(jì)算公式知所求概率為C4+C35p=3C984(2)X的所有可能值為1，2，3，且C4C5+C417P(冷1)==, 3C942C3C4C甘C3C6+C343P(X=2)==3C984C2C71P(凈3)=,C912故X的分布列為211112132133317從而E(X>1X+2X+3X.42841228(2014?江西，21)隨機(jī)將1,2,?,2n(n€N,n》2)這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A,B兩組，每組n個(gè)數(shù).A組最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a2;B組最小數(shù)為b1,最大數(shù)為b2,記E=a2-a1,n=b2—b1.當(dāng)n=3時(shí)，求E的分布列和數(shù)學(xué)期望；令C表示事件“E與n的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率P(C);——*⑶對(duì)⑵中的事件C,C表示C的對(duì)立事件，判斷P(C和P(C)的大小關(guān)系，并說明理由?解(1)當(dāng)n=3時(shí)，E的所有可能取值為2,3,4,5.將6個(gè)正整數(shù)平均分成A,B兩組，不同的分組方法共有 C6=20種,所以E的分布列為38153101052E(E)=2X+3X+5X⑵E和n恰好相等的所有可能取值為:n－1，n，n＋1，?，2n－2.又E和n恰好相等且等于n—1時(shí)，不同的分組方法有2種；E和n恰好相等且等于n時(shí)，不同的分組方法有2種；E和n恰好相等且等于n+k(k=1,2,?,n—2)(n\3)時(shí)，不同的分組方法有2C2k種；42所以當(dāng)n=2時(shí)，P(C>=63n?2?k?2?2??C2k?k?1??當(dāng)n》3時(shí)，P(C>kCn2n因此P(C)>P(C).而當(dāng)n>3時(shí)，P(C)<P(C),理由如下：m—1mm—1P(C)<P(C)等價(jià)于4(2+C12)＋4C2(m—1)<C2m＋4C2(m—1)=(2m)!4?(2m—2)!m!m!(m—1)!(m—1)!2(m+1)(2m)(2m—2)!(4m—1)=(m+1)!(m+1)!(m＋1)(2m)(2m—2)(4m)<(m＋1) (m＋1)！=C2(m+1)?m+122(m+1)mm+1<C2(m+1)=右邊.(2m＋1)(2m—1)即當(dāng)n=m＋1時(shí)①式也成立綜合1°,2°得：對(duì)于n>3的所有正整數(shù)，都有P(C)<P(C)成立.(2013?北京，16)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日的某一天到達(dá)該市，并停留2天.9求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)， 求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？ (結(jié)論不要求證明).解設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i=1,2,?,13).根據(jù)題意，P(Ai)AinAj=?(i工j).13設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染”，則B=A5UA8.所以P(B)=P(A5UA8)=P(A5)+P(A8)=.13由題意可知，X的所有可能取值為0，1,2,且P(X=1)=P(A3UA6UA7UA11)=P(A3)4+P(A6)+P(A7)+P(A11)P(X=2)=P(A1UA2UA12UA13)=P(A1)+P(A2)＋P(A12)＋P(A13)13=45,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=.1313所以X的分布列為故X的期望E(X)=0X+1X+2X=.13131313(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.(2013?江西，18)小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)，游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點(diǎn)，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7,A8(如圖)這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X.若X=0就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(duì)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)從8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為向量終點(diǎn)的不同取法共有 C8=28種，X=0時(shí)，兩向量夾角為直角共有8種情形，82所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為P(X=0)==287102(2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為一2，-1，0，1，X=—2時(shí)，有2種情形；X1時(shí)，有8種情形；X=—1時(shí)，有10種情形.所以X的分布列為：114147714E(X)=(—2)X+(—1)X+1X11.(2012?陜西，20)某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：(1)估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求 X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布列如下：AA對(duì)應(yīng)三種情形： ①第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為 1分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為 3分鐘；②第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為 1分鐘；③第一個(gè)和第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘.所以P(A)=P(J1)P(Y=3)+P(Y=3)P(J1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1X0.3+0.3X0.1+0.4X0.4=0.22.法一X所有可能的取值為0,1,2.X=0對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過 2分鐘，所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5；X=1對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為 1分鐘且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過1分鐘，或第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為2分鐘，所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)＋P(Y=2)=0.1X0.9＋0.4=0.49；X=2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為 1分鐘，所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1X0.1=0.01.所以X的分布列為11E(X法二X所有可能的取值為0,1,2.X=0對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過 2分鐘，所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5；X=2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為 1分鐘,所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1X0.1=0.01；P(X=1)=1－P(X=0)－P(X=2)=0.49.所以X的分布列為E(X)均值與方差(2014?浙江，9)已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m>3,n\3),從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個(gè)球放入甲盒中.放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為 Ei(i=1,2);放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為 pi(i=1,2).則()A.p1>p2，E(E1)<E(E2)C.p1>p2，E(E1)>E(E2)B.p1<p2，E(E1)>E(E2)D.p1<p2，E(E1)<E(E2)解析法一(特值法)取m=n=3進(jìn)行計(jì)算、比較即可.法二(標(biāo)準(zhǔn)解法)從乙盒中取1個(gè)球時(shí)，取出的紅球的個(gè)數(shù)記為 E，則E的所有可能取值為0，1，則P(E=0)=nm+n=P(E1=1),P(E=1)=mm+nP(E1=2),所以E(E1)=1?P(E1=1)+2?P(E1=2)=mm+n+1,所以p1E(E1)22m＋n=；從乙盒中取22(m＋n)2Cn個(gè)球時(shí)，取出的紅球的個(gè)數(shù)記為n,則n的所有可能取值為0,1,2,貝VP(n=0)=Cm+nCnCmCm=P(E2=1),P(n=1)=2P(E2=2),P(n=2)=2=P(E2=3),所以E(E2)=Cm＋nCm＋n1?P(E2=1)+2P(E2=2)+3P(E2=3)=以p1>p2,E(E1)<E(E2),故選A.答案A(2013?湖北，9)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體,記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=()121122mE(E2)3m+n1，所以p2==，所m+n33(m+n)126A.125168C.1256B. 57D.5解析由題意可知涂漆面數(shù)X的可能取值為0,1,2,3.275436由于P(X=0)=P(X=1)=,P(X=2)=125125125P(X=3)答案B827543681506E(X=0X3X=.1251251251251251255（2016?山東，19）甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，則“星隊(duì)”得 0分.乙每輪猜42對(duì)的概率是.假設(shè)“星隊(duì)”參3加兩輪活動(dòng)，求：(1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率；(2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解(1)記事件A:“甲第一輪猜對(duì)”，記事件B:“乙第一輪猜對(duì)”，記事件C:“甲第二輪猜對(duì)”，記事件D:“乙第二輪猜對(duì)”，記事件E:‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語”.由題意，E=ABCMABCD+ABCMABCMABCD.由事件的獨(dú)立性與互斥性，P(E)=P(ABCD片P(ABCD片P(ABCD片P(ABCD)＋P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D>P(A)P(B)P(C)P(D>P(A)P(B)P(C)P(D＋)P(A)P(B)P(C)P(D＋)P(A)P(B)P(C)P(?X+23243324313?123231322X?X=.?43434343?32所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率為.3(2)由題意，隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6?由事件的獨(dú)立性與互斥性，得P(X=0)XX1143111, 43144?31111211105P(X=1)=2X?X==?43434343?14472313143431111434312124343P(X=2)XXXXXXP(X=3)XXX3231321324332121, 43144122605=?14412314331124343122543144?P(X=4)=2X?X=43434343?P(X=6)XX324332361=431444可得隨機(jī)變量X的分布列為所以數(shù)學(xué)期望EX=0X+1X+2X+3X+4X14472144121246(2015?天津，16)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)C2C3+C3C36解⑴由已知，有P(A)==.4C835所以，事件A發(fā)生的概率為6.352222(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.C5C3P(冷k)=k=1,2,3,4).C8所以隨機(jī)變量X的分布列為k4-k14隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X>1X+2X=1477142(2015?山東，19)若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中,每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分；若能被5整除,但不能被10整除,得-1分；若能被10整除,得1分.(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；⑵若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解(1)個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345;(2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為 C9=84,C82隨機(jī)變量X的取值為：0,-1,1,因此P(X=0)=3=,C93C41P(X=—1)=3=,C9143P(X=1)=1――—,所以X的分布列為11421134221貝yE(X>0X+(—1)X+1X=.3144221(2015?湖南，18)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，貝獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，貝獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，貝不獲獎(jiǎng).求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)記事件A1=｛從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝,A2=｛從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝,B1=｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)｝,B2=｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)｝,C=｛顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)｝.由題意，A1與A2相互獨(dú)立，A1A2與A1A2互斥，B1與B2互斥，且B1=A1A2，B2=A1A2+A1A2，C=B1+B2.4251因?yàn)镻(A1)==，P(A2)==，所以105102P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2＞，－－－－251125P(B2)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=P(A1)(1—P(A2))+(1—P(A1))P(A2)2?1?211=?1—+?1—X=5?2??5?22故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+.1(2)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(1)知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為，51517210?1所以X?B?3,.?5??1?于是P(X=0)=C???5?0304364?=，?5125???1P(X=1)=C??5?1314248??5125??24112??5125??3401??5125???1P(X=2)=C??5?23?1P(X=3)=C??5?3故X的分布列為55X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=18.(2014?安徽，17)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完52局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率3161為.3(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；⑵記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求 X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，貝VP(Ak)=，P(Bk)=，k=1，2，3,4，5.P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)2313?2?1?2?21?2?56=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3片P(A1)P(B2)-P(A3)P(A4)=??+??+X??=.?3?3?3?33?3?81X的可能取值為2，3，4，5.222P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)5=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2>9P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)2=P(B1)P(A2)P(A3片P(A1)P(B2)?P(B3)=9P(X=4)=P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4>P(B1)?P(A2)P(B3)P(B4=10,P(X=5)=1—P(X=2)—P(X=3)—81P(X=4)故X的分布列為881592981E(X)+4X+5X.8181(2014福建，18)為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì) 1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：(i)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；(ii)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可17能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)