中國古代數學史

中國古代數學史古代數學的萌芽公社末期，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。原始公社末期，已開始用文字符號取代結繩記事了。仰韶文化時期出土的陶器商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期。

在周代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。

春秋戰(zhàn)國籌算得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發(fā)展是有劃時代意義的。測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上亦有相應的提高?；I算中國古代的籌算不僅是正、負整數與分數的四則運算和開方，而且還包含著各種特定籌式的演算。中算家不僅利用籌碼不同的“位”來表示不同的“值”，發(fā)明了十進位值制記數法，而且還利用籌在算板上各種相對位置排列成特定的數學模式，用以描述某種類型的實際應用問題。例如列衰、盈朒、“方程”諸術所列籌式描述了實際中常見的比例問題和線性問題；天元、四元及開方諸式，則刻畫了高次方程問題；而大衍求一術則是為“乘率”而設計的特殊籌式?；I式以不同的位置關系表示特定的數量關系。在這些籌式所規(guī)定的不同“位”上，可以布列任意的數碼（它們隨著實際問題的不同而取不同的數值），因而，中國古代的籌式本身就具有代數符號的性質?？梢哉J為，是一種獨特的符號系統。中國古代的籌算表現為算法的形式，而具有模式化、程序化的特征。中國的籌算不用運算符號，無須保留運算的中間過程，只要求通過籌式的逐步變換而最終獲得問題的解答。因此，中國古算中的“術”，都是用一套一套的“程序語言”所描寫的程序化算法，并且中算家經常將其依據的算理蘊涵于演算的步驟之中，起到“不言而喻，不證自明”的作用?？梢哉f“寓理于算”是古代籌算在表現形式上的又一特點。算籌是在珠算發(fā)明以前中國獨創(chuàng)并且是最有效的計算工具。中國古代數學的早期發(fā)達與持續(xù)發(fā)展是受惠于籌的戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數學的發(fā)展，尤其是對于證明和一些命題的爭論直接與數學有關。名家認為經過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”（無窮大）定義為“至大無外”，“小一”（無窮?。┒x為“至小無內”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題。而墨家則認為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義。例如圓、方、平、直、次（相切）、端（點）等等。墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點。名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論，對中國古代數學理論的發(fā)展是很有意義的。。體系形成

秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發(fā)展。中國古代數學體系正是形成于這個時期，它的主要標志是算術已成為一個專門的學科，以及以《九章算術》為代表的數學著作的出現。

《九章算術》第一章“方田”：主要講述了平面幾何圖形面積的計算方法。第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱為今有術；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術；第三章“衰分”：比例分配問題；介紹了開平方、開立方的方法，其程序與現今程序基本一致第四章“少廣”：已知面積、體積，反求其一邊長和徑長等；第五章“商功”：土石工程、體積計算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法；第六章“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術解決賦役的合理負擔問題。第七章“盈不足”：即雙設法問題；提出了盈虧問題，以及若干可以通過兩次假設化為盈不足問題的一般問題的解法。第八章“方程”：一次方程組問題；采用分離系數的方法表示線性方程組，

勾股定理求解相當于現在的矩陣；解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題。提出了勾股數問題的通解公式：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則，m>n。在西方，畢達哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個公式的幾種特殊情況。數學的發(fā)展

魏、晉吳國趙爽注《周髀算經》。漢末魏初徐岳撰《九章算術》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術》注、《九章重差圖》都是出現在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。據考證，現傳本《周髀算經》大約成書于西漢時期（公元前1世紀）為趙君卿所著。《周髀算經》在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用以及怎樣引用到天文計算劉徽他的《九章算術》注不僅是對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率為157/50和3927/1250。劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。

《九章算術》注東晉以后，祖沖之父子，把傳統數學大大向前推進了一步。他們的數學工作主要有：計算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖暅原理?！皟鐒菁韧瑒t積不容異”，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應用這個公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式提出二次與三次方程的解法。隋煬帝大興土木，客觀上也促進了數學的發(fā)展。唐初王孝通的《緝古算經》，主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數學的情況。王孝通在不用數學符號的情況下，立出數字三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為后來天元術的建立打下基礎。此外，對傳統的勾股形解法，王孝通也是用數字三次方程解決的。

唐初統治者在656年在國子監(jiān)設立算學館，設有算學博士和助教，學生30人。由太史令李淳風等編纂注釋《算經十書》，李淳風等編纂的《算經十書》，他們給《周髀算經》、《九章算術》以及《海島算經》所作的注解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由于歷法的需要，天算學家創(chuàng)立了二次函數的內插法，豐富了中國古代數學的內容。唐中期以后，《新唐書》等文獻留下來的算書書目，可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法。

數學的繁榮

北宋，1084年秘書省第一次印刷出版了《算經十書》。即賈憲的《黃帝九章算法細草》，劉