“江淮十校”2023屆高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題

“江淮十?！?024屆高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題

“江淮十校”2024屆高三第一次聯(lián)考

理科數(shù)學(xué)2024.8

第Ⅰ卷（共60分）

一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合{}

1,2,3,4

A=，()

{}

2

log41

Bxx

=-?，則AB=

I()

A．{}

1,2B．{}

2,3C．{}

1,2,3D．{}

1,2,3,4

2.若復(fù)數(shù)z滿意()34

izi

+=(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為()

A．3i+B．3i-C．13i

+D．13i

-

3.如圖是某年北京國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形。若大正方形的面積是13，每個直角三角形的兩直角邊的和是5，在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自陰影部分的概率是()

A．

12

13

B．

10

13

C．

1

13

D．

3

13

4.已知數(shù)列{}na是等差數(shù)列，3813

aa

+=，且

4

5

a=，則

7

a=()

A．11B．10C.9D．8

5.如圖是某個幾何體的三視圖，則這個幾何體體積是()

A．2

2

p

+B．2

3

p

+

C.4

3

p

+D．4

2

p

+

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若將推斷框內(nèi)“100

S>”改為關(guān)于n的

不等式“

nn

≥”且要求輸出的結(jié)果不變，則正整數(shù)

n的取值是()

A．4B．5C.6D．不唯一

7.設(shè)變量,xy滿意約束條件

3

1

23

xy

xy

xy

+≥

?

?

-≥-

?

?-≤

?

，則

1

xy

z

x

++

=的取值范圍是()

A．2,4

B．52,2??????C.5,42??????D．3,32??

????

8.已知函數(shù)()()()sin20fxx?π?=+->的左、右焦點分別為1F，2F，P為雙曲線上一點，且

120PFPF?=uuuruuuur

，12FPF△的內(nèi)切圓半徑2ra=，則雙曲線的離心率為．

16.對于數(shù)列{}na，定義11222nn

naaaHn

-+++=…為{}na的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列{}na的

“優(yōu)值”為12nnH+=，記數(shù)列{}nakn-的前n項和為nS，若5nSS≤對任意的()

*nnN∈恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為．

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.在ABC△中，已知22sincos212

AB

C++=，外接圓半徑2R=.(1)求角C；

(2)求ABC△面積的最大值.

18.如圖所示的幾何體中，111ABCABC-為三棱柱，且1AA⊥平面ABC，四邊形ABCD為平行四邊形，2ADCD=，60ADC=∠°.(1)若1AAAC=，求證：1AC⊥平面11ABCD；(2)若2CD=，二面角1ACDC--的余弦值為5

，求三棱錐11CACD-的體積.

19.方案在某水庫建一座至多安裝2臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以上，其中，不足100的年份有40年，不低于100的年份有10年.將年入流量在以上兩段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

(1)求將來4年中，至多1年的年入流量不低于100的概率；

(2)水電站盼望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量X的限制，并有如下關(guān)系：

某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？

20.橢圓()2222:10xyCabab

+=>>的左右焦點分別為1F，2F，離心率為1

2，設(shè)過點2F的直線l

被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)lx⊥軸時，3RS=.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點()4,0T，證明：當(dāng)直線l變化時，總有TS與TR的斜率之和為定值.

21.已知函數(shù)()()21

ln12fxxaxax=-+-，aR∈.

(1)爭論()fx的單調(diào)性；

(2)當(dāng)2a=-時，正實數(shù)12,xx滿意()()12120fxfxxx++=，證明：121

4xx+>.

22.已知直線l的參數(shù)方程為33112

xtyt

?=-????=+??(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸非負(fù)半

軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos6πρθ?

?=-??

?.

(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若(),Pxy是直線l與圓面4cos6πρθ?

?≤-??

?的公共點，求3xym=+的取值范圍.

23.已知函數(shù)()211fxxx=-++.(1)解不等式()4f