對數(shù)與對數(shù)函數(shù)2

對數(shù)與對數(shù)函數(shù)一、選擇題1．已知1＜x＜10，那么lg2x，lgx2，lg(lgx)的大小順序是()A．lg2x＜lg(lgx)＜lgx2 B．lg2x＜lgx2＜lg(lgx)C．lgx2＜lg2x＜lg(lgx) D．lg(lgx)＜lg2x＜lgx2解析：∵1＜x＜10，∴0＜lgx＜1，∴l(xiāng)g(lgx)＜0，0＜lg2x＜2lgx，∴l(xiāng)g(lgx)＜lg2x＜lg+x2.答案：D2．若函數(shù)y＝loga|x－2|(a>0且a≠1)在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(2，＋∞)上的單調(diào)性為()A．先增后減 B．先減后增C．單調(diào)遞增 D．單調(diào)遞減解析：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．因為函數(shù)f(x)＝loga|x－2|(a>0且a≠1)在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù)，所以f(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù)，故0<a<1；函數(shù)f(x)＝loga|x－2|(a>0且a≠1)在區(qū)間(2，＋∞)上的解析式為f(x)＝loga(x－2)(a>0且a≠1)，故在區(qū)間(2，＋∞)上是一個單調(diào)遞減函數(shù)．答案：D3．已知y＝loga(2－ax)在區(qū)間[0,1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(0,1) B．(0,2) C．(1,2) D．[2，＋∞)解析：①用特殊值檢驗．a(chǎn)≠1，應(yīng)排除B項．當(dāng)a＝2時，x＝1不在定義域內(nèi)，排除D項．再取a＝eq\f(1,2)，此時y＝，函數(shù)在[0,1]上是增函數(shù)，不合題意，排除A項．②函數(shù)定義域為{x|x<eq\f(2,a)}．[0,1]應(yīng)在定義域內(nèi)，則eq\f(2,a)＞1，所以0＜a＜2.又因為y在[0,1]上單調(diào)遞減，u＝2－ax在[0,1]上是減函數(shù)，所以y＝logau是增函數(shù)，即a＞1，故1＜a＜2.答案：C4．設(shè)0<a<1，函數(shù)f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，則使f(x)<0的x的取值范圍是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，loga3)D．(loga3，＋∞)解析：由f(x)<0，即a2x－2ax－2>1，整理得(ax－3)(ax＋1)>0，則ax>3.∴x<loga3.答案：C二、填空題5．若正整數(shù)m滿足10m－1＜2512＜10m，則m解析：不等式10m－1＜2512＜10則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＜512lg2,m＞512lg2))，∴＜m＜，∴m＝155.答案：1556．若f(x)＝，且f(lga)＝eq\r(10)，則a＝________.解析：f(lga)＝＝eq\f(alga,\r(a))＝eq\r(10)，∴alga＝，兩邊取常用對數(shù)，得(lga)2＝eq\f(1,2)(1＋lga)，∴2(lga)2－lga－1＝0，解得lga＝1或lga＝－eq\f(1,2).∴a＝10或a＝eq\f(\r(10),10).答案：10或eq\f(\r(10),10)7．函數(shù)f(x)＝(3x2－ax＋5)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：設(shè)g(x)＝3x2－ax＋5，由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)≤－1，,g(－1)≥0，))解得－8≤a≤－6.答案：[－8，－6]三、解答題8．求值：eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27).解答：解法一：原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,(4－3)lg3)＝eq\f(11,5).解法二：原式＝.9．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．解答：(1)由ax－1>0得ax>1，當(dāng)a>1時，x>0；當(dāng)0<a<1時，x<0.∴當(dāng)a>1時，f(x)的定義域為(0，＋∞)；當(dāng)0<a<1時，f(x)的定義域為(－∞，0)．(2)當(dāng)a>1時，設(shè)0<x1<x2，則1<ax1<ax2，故，∴l(xiāng)oga(－1)<loga(－1)，∴f(x1)<f(x2)，故當(dāng)a>1時，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．類似地，當(dāng)0<a<1時，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．10．設(shè)a、b∈R，且a≠2，若奇函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1＋ax,1＋2x)在區(qū)間(－b，b)上有定義．(1)求a的值；(2)求b的取值范圍；(3)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(－b，b)上的單調(diào)性．解答：(1)f(－x)＝－f(x)，即lgeq\f(1－ax,1－2x)＝－lgeq\f(1＋ax,1＋2x)，即eq\f(1－ax,1－2x)＝eq\f(1＋2x,1＋ax)，整理得：1－a2x2＝1－4x2，∴a＝±2，又a≠2，故a＝－2.(2)f(x)＝lgeq\f(1－2x,1＋2x)的定義域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，∴0<b≤eq\f(1,2).(3)f(x)＝lgeq\f(1－2x,1＋2x)＝lgeq\f(－(1＋2x)＋2,1＋2x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋2x))).∴函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的．1．(2022·南開中學(xué)月考)若a＝eq\f(ln26,4)，b＝ln2ln3，c＝eq\f(ln2π,4)，則a、b、c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＞c＞b解析：a＝eq\f(ln26,4)＝eq\f((ln2＋ln3)2,4)＞ln2ln3＝b，又4ln2ln3＝ln4ln9＞ln2π，即b＝ln2ln3＞eq\f(ln2π,4)＝c，因此a＞b＞c.答案：A2．已知函數(shù)f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．求證：(1)函數(shù)f(x)的圖象在y軸的一側(cè)；(2)函數(shù)f(x)圖象上任意兩點連線的斜率都大于0.證明：(1)由ax－1>0得：ax>1，∴當(dāng)a>1時，x>0，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，此時函數(shù)f(x)的圖象在y軸右側(cè)；當(dāng)0<a<1時，x<0，函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)，此時函數(shù)f(x)的圖象在y軸左側(cè)．∴函數(shù)f(x)的圖象在y軸的一側(cè)．(2)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)是函數(shù)f(x)圖象上任意兩點，且x1<x2，則直線AB的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，y1－y2＝loga(－1)－loga(－1)＝lo