復(fù)合函數(shù)微分法課件

第四節(jié)復(fù)合函數(shù)微分法一、鏈?zhǔn)椒▌t二、全微分形式不變性四、小結(jié)三、方向?qū)?shù)第四節(jié)復(fù)合函數(shù)微分法一、鏈?zhǔn)椒▌t二、全微分形式不1一、鏈?zhǔn)椒▌t一、鏈?zhǔn)椒▌t2證證3復(fù)合函數(shù)微分法課件4上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如以上公式中的導(dǎo)5定理2,定理2,6鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示7復(fù)合函數(shù)微分法課件8即令特殊地其中兩者的區(qū)別即令特殊地其中兩者的區(qū)別9為了避免記號出錯，引進(jìn)另外一種表示方法。設(shè)，記用表示對第一個位置的變量求偏導(dǎo)。用表示對第二個位置的變量求偏導(dǎo)。即用表示對第三個位置的變量求偏導(dǎo)。即為了避免記號出錯，引進(jìn)另外一種表示方法。設(shè)，10則可寫成依次類推等等。則可寫成依次類推等等。11解解12解解13例3(000305)設(shè)其中均可微,則解:例3(000305)設(shè)14例4(020410)設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求.解:例4(020410)設(shè)15二階偏導(dǎo)連續(xù)二階偏導(dǎo)連續(xù)16復(fù)合函數(shù)微分法課件17二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性18全微分形式不變形的實質(zhì)：無論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.全微分形式不變形的實質(zhì)：19例5設(shè)且連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求根據(jù)全微分形式不變性知：解令而所以具有例5設(shè)且連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求根據(jù)全微分形式不變性知：解令20故注:對函數(shù)關(guān)系簡單的符合函數(shù),使用全微分形式不變性,并不能簡化求導(dǎo)計算;但對于函數(shù)關(guān)系比較復(fù)雜的情況,利用微分不變性比較方便.故注:對函數(shù)關(guān)系簡單的符合函數(shù),使用全微分形式不變性,并不能21例6設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求分析：解法1例6設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求分析：解法122法2利用微分不變性所以法2利用微分不變性所以23例7設(shè)其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解

例7設(shè)其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解24三、方向?qū)?shù)與梯度（一）方向?qū)?shù)的定義定義設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域中有定義,是單位向量,如果的函數(shù)在處可導(dǎo),即存在,則稱此極限值為函數(shù)在點的沿方向的方向?qū)?shù).記為或三、方向?qū)?shù)與梯度（一）方向?qū)?shù)的定義定義設(shè)函數(shù)25例1求二元函數(shù)在點處的沿的方向?qū)?shù).將向量單位化,解所以例1求二元函數(shù)26推論：如果函數(shù)在點對和的因此,偏導(dǎo)數(shù)是特殊的方向?qū)?shù).方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系點沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，但推不出偏導(dǎo)數(shù)存在。推論：如果函數(shù)在點對27反之，偏導(dǎo)數(shù)存在也推不出沿任意方向的方向?qū)?shù)存在。函數(shù)在某點連續(xù)推不出方向?qū)?shù)存在，反之亦然。函數(shù)連續(xù)與方向?qū)?shù)存在的關(guān)系例在(0,0)點連續(xù)但方向?qū)?shù)不存在。證明反之，偏導(dǎo)數(shù)存在也推不出沿任意方向的方向?qū)?shù)存在。函數(shù)在某點28可知在(0,0)點連續(xù)。取此極限不存在.所以方向?qū)?shù)不存在.可知在(0,0)點連續(xù)。取此極限不存在.所以方向?qū)?shù)不存在.29例函數(shù)在（0，0）點沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，但不連續(xù)。證明可知不連續(xù)。例函數(shù)在（0，0）點沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，但不連續(xù)。證30方向?qū)?shù)什么時候存在？其中為軸到方向L的轉(zhuǎn)角．

方向?qū)?shù)什么時候存在？其中為軸到方向L的轉(zhuǎn)角31證明由于函數(shù)可微，則函數(shù)值增量可表示為兩邊同除以得到故有方向?qū)?shù)證明由于函數(shù)可微，則函數(shù)值增量可表示為兩邊同除以得到故有方向32此定理不僅告訴了我們一個函數(shù)在某點可微，則該函數(shù)在此點沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，而且還告訴了我們求方向?qū)?shù)的方法。此定理不僅告訴了我們一個函數(shù)在某點可微，則該函數(shù)在此點沿任意33解解34可微方向?qū)?shù)（任意方向）連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)綜上可得下圖：方向?qū)?shù)與可微、可導(dǎo)、連續(xù)之間的關(guān)系可微方向?qū)?shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)綜上可得下圖：方向?qū)?shù)與可微、可導(dǎo)、連35(二)梯度的概念(二)梯度的概念36復(fù)合函數(shù)微分法課件37解由方向?qū)?shù)的計算公式知解由方向?qū)?shù)的計算公式知38故故39結(jié)論結(jié)論40復(fù)合函數(shù)微分法課件41等高線的畫法等高線的畫法42等高線上任意一點處法線的斜率為等高線上任意一點處法線的斜率為43梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)44復(fù)合函數(shù)微分法課件45解由梯度計算公式得故解由梯度計算公式得故461、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）2、全微分形式不變性（特別要注意課中所講的特殊情況）（理解其實質(zhì)）三、小結(jié)1、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情