空間向量中含參問題

空間向量中含參數(shù)問題（含詳解）1.記動點P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上一點，DP+ =九1上一點，DP+ =九1當ZAPC為鈍角時，求九的取值范圍.A12.如圖，在四棱錐P-ABCD中，棱AB,AD,AP兩兩垂直，且長度均為1,BC=九AD（0<X<1）（1）若九=1，求直線PC與平面PBD所成角的正弦值；（2）若二面角B-PC-D的大小為120。，求實數(shù)九的值.3如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA丄平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,兀AABC—ABAD——,PA=AD=2,AB=BC—12求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成角最小時，求線段BQ的長DD4.如圖，在三棱錐P—ABC中，AB丄BC,AB=BC=kPA,點0、D分別是AC、PC的中點,0P丄底面ABC.求證0D//平面PAB；1當k=時，求直線PA與平面PBC所成角的大??；當k取何值時，0在平面PBC內的射影恰好為^PBC的重心?

BDi上一點’記DP—i—DB=九?當ZAPC為鈍角時，求九的取1記動點P是棱長為1BDi上一點’記DP—i—DB=九?當ZAPC為鈍角時，求九的取值范圍．解：由題設可知，以DA、DC、DD為單位正交基底，i建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則有A（1,O,O）,B（1,1,0）,C（0,1,0）,D（0,0,1）由DB=（11,-1），得 DP=XDB=（九九一九） ，所以111PA=PD+DA=（—九，一九,九）+（10,-1）=（1—九,一九,九一1）11PCFD+DC=（—九一九,九）+（0,1,-IT=（—^1—九,九一1）11顯然ZAPC不是平角，所以ZAPC為鈍角等價于PAPCcosZAPC=cos<PA,PC>=—n_r<0，則等價于PAPC<0—' pa||pc|即（1—九）（一九）+（—九）（1—九）+（X—1）2—>（—1）（3九一1）<0，得一<九<13因此，九的取值范圍是（3,1）2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，棱AB,AD,Ap兩兩垂直，且長度均為1,BC—XAD（0<X<1）（1）若X—1，求直線PC與平面PBD所成角的正弦值；a若二面角B—PC—D的大小為120°，求實數(shù)X的值.因為乂=1,所^BC=AD,依題青,U(1丄0)Q1)』(we)(0丄0),所以死二(1A—1),屈二(L6T)=而二(0丄T),平面PSD的一個法向量為n=(x,y,z),則｛'取"1得皿=(U1)所以|cos<PC,n>|=||PC|.]所以|cos<PC,n>|=||PC|.]n |=| |=—書x羽3,所以直線PC所以直線PC與平面PBD所成角的正弦值為3.5分(2)依題意，C(1，九,0),PC=(1,九，一1),PB=(1,0,—1),PD=(0,1,-1),設平面PBC設平面PBC的一個法向量n=(x1,y1,z1),,y2,z2)n-PB=011 ,即1n-PC=011J00，取z]n-PB=011 ,即1n-PC=01111設平面PCD的一個法向量n2=(x2

n-PC=02 ，即n-PD=02X21-寸0，取z2=1得nn-PC=02 ，即n-PD=02v22所以|cos<n1，n2>|=|n?丨nI11=—<2"2+(1-X)2=cosl20因為0＜九＜1，所以x=1.10分3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA丄平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯兀形，ZABC=ZBAD=—,PA=AD=2,AB=BC=12(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值;點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成角最小時，求線段BQ的長D【答案⑴音⑵等【解析】試題分析：⑴求二面角，關鍵求出兩個平面的法向量，本題中平面FCD法向量已知，故關鍵求平^PAB的法向量，利用向量垂直關系可列出平面的法向壘兩個獨立條件，再根據(jù)向壘數(shù)童積求二面角余弦值(2)先建立直線CQ2DP所成角的函數(shù)關系式：設邁=cos<CQ,^?>=-j===^<a<1),再利用導數(shù)求其最值，確定點Q坐標，最后利用向量模求線段EQ的長試題解析：以｛忑=麗；二可為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系A-.nz,則各點的坐標為B(L0:0),C(1LO),D(0:2=0),P(0s0:2).⑴因為AD丄平面PAB,所以AB是平面PAB的一個法向壘，AD=(0:2:0).因為氐=(1丄一2),TO=(0:2:-2).設平ffiPCD的法向量溝屈=JC=1=ZI,Dl'Jm-PC=O^M2-ro=設平ffiPCD的法向量溝屈=_!'-令戈1=1,解得e=1，龍=1.所\^m=\UA\是平面PCD的一牛法向壘./~Tt>-\ ￡1)-戰(zhàn) 斥從而g(AD期)二|=|—=—,所以平面PAB與平面PCD所戚■二面角的余弦值為立' 7L4D|m3 3⑵因^BP=(-1:O:2),設BQ=/.BP=(-z:0:2z)(0<2<1),又CB^fO.-LO),MCQ=-BQ=(-A=-12a),XOT=(0:-2:2),從而遇（代西*gm_ !--/■|cq||dp|Qio從而遇（代西*gm_ !--/■|cq||dp|Qio泊-2設1—2兄"乍［1同,貝嚴（CQ:DP）=20"10-~ETg 2當且僅當$二乙SPx=二時,CO5的最大值為響因^y=容尤在0二’上是誠函數(shù)，此時直線CQ與DP所成角取得最小值X1}又因対RP二JF—2：=逅'所L^AeQ二?EP二逆.考點：空間向量、二面角、異面直線所成角4.如圖，在三棱錐P—ABC中，AB丄BC,AB=BC=kPA,點0、D分別是AC、PC的中點，0P丄底面ABC.A.求證0D〃求證0D〃平面PAB；當k=2時，求直線PA與平面PBC所成角的大??；2當k取何值時，0在平面PBC內的射影恰好為^PBC的重心?解：(1)證明：因為，0P丄底面ABC.，0A=0C,AB=BC，所以，0A丄OB,0A丄0P,0B丄0P,以0為原點，射線0P為非負z軸，建立空間直角坐標系Oxyz(如圖)設AB=a,則AB=a,則A(羋a,0,0)、B(0,20)C(—豐a,20，0)，設OP=h,212P(0,0,h).因為，D為PC的中點，所以，OD二(—〒a,0,-h),又PA=(〒a,0,—h),422—■ 1—所以，OD二—-PA.所以，OD//PA，又ODu平面PAB,所以，0D//平面PAB.2設pa與平面設pa與平面PBC所成的角為°，則sin0=|cos<PA,n>|=<210301 17 —y!2：7(2)因為，k=2，即卩PA=2a，所以，h=寸，所以，PA=(亍a,0,-一1—a),2,'T —-PA-n可求得平面PBC的法向量n—(1, 1, _),所以，cos<PA,n>—- 7 7 |PAIInI 30所以，PA與平面PBC所成的角為arcsin邁邁、八 花 近近1八^PBC的重心G(^―a, a,三h)，所以，OG二(^―a