第六章特征值與特征向量

第四節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化定理5 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).證明設(shè)復(fù)數(shù)l為對(duì)稱矩陣A的特征值,復(fù)向量x為對(duì)應(yīng)的特征向量,Ax

=

lx

,

x

?

0.即則A

x

=

A

x

=

(Ax)=

(lx)=

l

x.一、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)用l

表示l的共軛復(fù)數(shù),x表示x的共軛復(fù)向量,于是有xT

Ax

=

xT

(Ax

)=

xT

lx

=

l

xT

x,及

xT

Ax

=

xT

AT

x

=

(Ax)T

x

=

(l

x)T

x=

lxT

x.兩式相減，得l

-

l

)xT

x

=

0.但因?yàn)閤

?0,2

?

0,

l

-

l

=

0,即l

=l,由此可得l是實(shí)數(shù).

nni

=1

i

=1i

i

ixx

x

=x所以

T

x

=定理5的意義是實(shí)系數(shù)方程組,由A

-

li

E

=

0知必有實(shí)的基礎(chǔ)解系,從而對(duì)應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量.由于對(duì)稱矩陣A的特征值li

為實(shí)數(shù),所以齊次線性方程組(

A

-

li

E

)

x

=

0定理6

設(shè)l1,

l2

是實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)特征值

p1,p2是對(duì)應(yīng)的特征向量,

若l1

?

l2

,則p1與p2正交.證明

l1

p1

=

Ap1

,

l2

p2

=

Ap2

,

l1

?

l2

,

A對(duì)稱,A

=AT

,(

)

(

)TTT11

1=

Ap\

l1

p1

=

l

pA,11=

pA=

pTTT于是

(

)2

21211

1

2l

pTTl

p

p

=

p

T

Ap

=

p2p

,12pT=

l(

)1

2

1

2p

=

0.l

-

l

pT1

2=0.

即p1與p2正交.1

2

l

?

l

,

\

p

T

p定理8

設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣,

則必有正交矩陣P,

使P-1

AP

=

L,

其中L

是以A的

n

個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.證明定理7

設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣,

l

是A的特征方程的r重根,

則矩陣

A

-

lE

的秩

R(

A

-

lE)

=

n

-

r,

從而對(duì)應(yīng)特征值l

恰有r

個(gè)線性無關(guān)的特征向量.它們的重?cái)?shù)依次為r1,

r2

,

,

rs

(r1

+

r2

+

+

rs

=

n).根據(jù)定理5（對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)）和定理7(

如上)可得：設(shè)A

的互不相等的特征值為l1

,l2

,

,ls

,對(duì)應(yīng)特征值li

(i

=1,2,

,s),恰有r

i

個(gè)線性無關(guān)的實(shí)特征向量,把它們正交化并單位化,即得ri

個(gè)單位正交的特征向量.由r1

+r2

+

+rs

=n知,這樣的特征向量共可得n個(gè).由定理2知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，故這n

個(gè)單位特征向量兩兩正交.以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣P

，則P

-1

AP

=

P

-1

PL

=

L其中對(duì)角矩陣L的對(duì)角元素含r1

個(gè)l1

,

,rs

個(gè)ls

,恰是A的n個(gè)特征值.根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化 的方法求A的特征值;由(A

-li

E

)x

=0,求出A的特征向量;將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.2

-l

-

2

0A

-lE

=

-

2

1-l0

-

2

-l-

2

=

4-l)l

-1)l

+2)=

0得

l1

=

4,

l2

=

1,

l3

=

-2.0

0

(1)

A

=

-

2

3

0

1

2

-

2

0

4

0

0

1

3-

2

1

-

2

,

(2)

A

=

0例12

對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣P

，使

P

-1

AP為對(duì)角陣.

解

(1)第一步

求A

的特征值第二步

由(A

-

li

E

)x

=

0,求出A的特征向量對(duì)l1

=4,由A

-4E

)x

=0,得

2

x2

+

4

x3

=

02

x1

+

2

x2

=

01

2

3

2

x

+

3

x

+

2

x

=

0解之得基礎(chǔ)解系1

-

1

-

2

x

=

2

.對(duì)

l2

=

1,由

A

-

E

)x

=

0,得

2

x2

+

x3

=

0

-

x1

+

2

x2

=

01

3

2

x

+

2

x

=

0解之得基礎(chǔ)解系2

2

-

2

x

=

1

.對(duì)

l3

=

-2,由

A

+

2E

)x

=

0,得

2

31

2

32

x

-

2

x

=

0

2

x

-

3

x

+

2

x-

4

x1

+

2

x2

=

03

2

1

=

0

解之得基礎(chǔ)解系x

=

2

.第三步 將特征向量正交化由于x1

,x2

,x3是屬于A的3個(gè)不同特征值l1

,l2,l3的特征向量,故它們必兩兩正交.第四步 將特征向量單位化,

i

=

1,2,3.iii令

h

=xx1

-

1

3

-

2

3

2

2

3

-

2

3

得

h

=

2

3

,

h

=

1

3

,

1

3

3

2

3

h

=

2

3

.

2

1

2

3

3

-

2

2 1

作

P

=

(h

,

h

,

h

)=

1

2

1

2

,

-

1

-

2

0

.

0

-

2

4

0

0

P

-1

AP

=

0

10則

3

0

4

0

0

(2)

A

=

0

3 1

1

4

-

l

0

00 3

-

l

10

1 3

-

lA

-

lE

==

(2

-

l

)(4

-

l

)2

,l1

=

2,

l2

=

l3

=

4.得特征值對(duì)l1

=2,由A

-2E

)x

=0,得基礎(chǔ)解系

-

1

0

x1

=

1

對(duì)

l2

=

l3

=

4,由

A

-

4E

)x

=

0,得基礎(chǔ)解系

1

0

0

1

x3

=

1

.

x2

=

0

,x2與x3恰好正交,所以x1

,x2

,x3兩兩正交.(i

=1,2,3)得iii再將x1

,x2

,x3單位化,令h

=xx02

1

-

1

h

=

1

2

,2

0

1

h

=

0

,03

1 2

h

=

1 2

.于是得正交陣

2

2

0

1

2

-

1

2

0

10

1

0

1

2

3

P

=

(h

,h

,h

)=

14

0

.

0

2

0

0

P

-1

AP

=

0

40則例13

設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A滿足A2

=

A,

且A的秩為r,試求行列式det(2E-A)的值.解

由A2

=

A可得A的特征值為1或0,

又A是實(shí)對(duì)稱陣,且秩為r,故存在可逆陣P,

使得其中E

r

是r階單位陣.從而

det(2E

-

A)

=

det(2P

P

-1

-

PL

P

-1)-1Pr0

=

L

,

0

0

EAP

=

Er

2

En

-r