基本不等式求最值的策略

基本不等式求最值的策略例談用基本不等式求最值的四大策略基本不等式a+bab（a>0,b>0當且僅當a=b時等號成立）是高中必修五2《不等式》一章的重要內容之一，也是高考常考的重要知識點。從本質上看，基本不等式反映了兩個正數(shù)和與積之間的不等關系，所以在求取積的最值、和的最值當中，基本不等式將會煥發(fā)出強大的生命力，它將會是解決最值問題的強有力工具。本文將結合幾個實例談談運用基本不等式求最值的三大策略。一、基本不等式的基礎知識[1]2在基本不等式的應用中，我們需要注意以下三點：“二定”：當兩正數(shù)的和a+b是定值時，積ab有最大值；當兩正數(shù)的積ab是定值2意等號成立的條件是否一致。二、利用基本不等式求最值的四大策略策略一利用配湊法，構造可用基本不等式求最值的結構通過簡單的配湊（湊系數(shù)或湊項）后，使原本與基本不等式結構不一致的式子，變?yōu)榻Y構一致，再利用均值不等式求解最值。題型一配湊系數(shù)3322334992題型二配湊項55411又不是常解：因為x<42配湊一般項是()（A）1（B）2（C）3（D）4分析：如果要利用基本不等式來求和的最小值，就必須出現(xiàn)積的定值?？紤]到11111所以a(a當且僅當ab＝1，a(a－b)＝1時等號成立，如取a＝2,b＝-2故選擇答案D策略二遇到分式，可嘗試分離后再用基本不等式題型一：配湊分子，分離分式對于分子次數(shù)比分母高的分式不等式，可嘗試先對分子進行配湊，使之出現(xiàn)與分母相同的項，然后分離得到可用基本不等式求解的結構。x-1分析：可先將分子配湊出含有x-1的項，再將其分離。2x-1題型二：同除分子，分離分母對于分母次數(shù)比分子高的分式不等式，可嘗試上下同除以分子，使分母出現(xiàn)互倒的結構，再用基本不等式求最值。例5求y=x的值域.x2+9分析：題目沒有交代x的取值范圍，此題需要分類討論。解：當x子0時，分子分母同除以x,則99xx1-x6-xx-xx2+9策略三遇到根式，可嘗試平方后再用基本不等式后，便可構造出可用基本不等式的結構。2策略四利用1的性質，合理代換后再用基本不等式“1”是一個特殊的數(shù)，任何式子乘以1，式子仍不變。所以如果題目條件給出某個式子的值為1，則可在要求最值的式子上乘以這個式子，從而構造出可用基本-+值.-xx.y所以，原式的最小值為2.總結以上四種策略，是用基本不等式解決最值問題的常用方法。無論是配湊系數(shù)與項、分離分子與分母、平方去根號，還是利用“1”整體代換，其目的只有一個，那就是構造出和為定值或者是積為定值的兩項，然后才可用基本不等式。構造可用基本不等式的結構，是解決此類最值問題的根本所在。參考文獻[1]人民教