大連海事信號與系統(tǒng)教學(xué)課件2 03

第三章連續(xù)時間信號與系統(tǒng) 變 分周期信號 變抽樣信號 1822年，法國數(shù)學(xué)家J.Fourier,1768-1830)“熱的分析理論”著作，的原理，奠定了級數(shù)的理論基礎(chǔ)。 ?20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等具體問題的 快 (一)ej?t設(shè)激勵信號et ythtejt系統(tǒng)響應(yīng)為ytetht ht

hejthe-jd Hjejt

Hj

h

e-jd=HjejytHjejt

H

(二)三角函數(shù)形式的 只有有限個極值(極大值和極小值)點，或稱有限次振蕩；

t0

通常研究的周期k

三角函數(shù)形 直流分量(平均分量)0

t0

xtd余弦分量的幅度： k12

t0T1xtcosktd 0t00 bk 01

xtsink1td為基波角頻率，頻率f1=?1/2π稱為基波頻率；212T

cosntsinmtdt

m12

2 m2

sinntsinmtdt

1

m m式中mn1,

a2a2

k k

cosk1tkxtddsinkt a2aa2aa2ka2kk

k tan

k,c a,c ckcoskdk bkcksinkdk k1,xtc0k

c125c125

π兩種值。0

8

0 56

每條線代表某一頻率分量的幅度，稱為譜線譜線只出現(xiàn)在離散頻率點0，?1，2?1,…，即周期信號頻Ext 已知幅度E=4VExt 2

2

xtdt

ET 2 T 2

TT TkT2xt kT2xt

k1Ttdtk1T

1 Ecos

2sink12 sink1t 2ESa

kπ 4 正弦分量b

xtsinktdt

Esinktdt 級數(shù)展開式

1xta acoskt11

Sa coskt ak值有正、有負，ak值有正、有負，

k 4

2π

π

rad 5

43

7

9 54 5

3 7

9 5a2a2kk

ckarccos

arccosa

akk01234567891111111100000πππ000c12c12c50 0(三 級數(shù) k

cosk1tk 2 coskt1ejk1tkejk1t 2 k

cosk1tkc0k

ejk1tkejk1tk2 c1cejk1tk

cejk1tk 2 k k

k

ejk1tk令k→-k

k

因 ak

xtcosk 2

1tdb T12 xtsinktk k ck

a2

相位arctan arctan

1tk

1tk

c

1tkkk

k k

k

1

t

t c

c 2 k k cA

，代入可得指數(shù)形 eke xtc1cejk1tk cejk1tkkk 2kk jk jkt

jkkkkkkk

0k0

k

k1

A ck ckcos jsin

jb2 21

2

00100 tt

1 1

t0T1xte-jk1td xt

k

kk xtkkA A 括正頻率和負頻率，負頻率項只有數(shù)學(xué)意義，沒有物理意義；將正頻率和負頻率對合并，即為實際頻譜。二種形 xt2k2k

kkk

k Ak

jb bj Ak 2

a k2c12

0121 9 幅度譜由單邊譜變成雙邊譜時，除0點(直流頻率)外，一分為二，

10121314151617181

234567890121 91k

幅度譜和相位譜 AkAk相位譜為奇函數(shù)

已知幅度E=4V，脈沖寬度τ=10μs，周期T=40μs，試展開為指數(shù)形式的級數(shù)，并作出其頻譜圖。

xte

1tdtT

jk1tdt1T1

222

jk1t

jkE

e

E

12 1

T

sink12kπsin

π kπjk

jkk sin kk πk 41

π

rad

1 jb若已求得三角形式的級數(shù)，可根據(jù)直接獲得指數(shù)形式的級數(shù)

kπ sinkπ kπA

Sa

4 44

k21222 257k

1例題:xt1cos1t1sin212求指數(shù)形式級數(shù)，并作雙邊頻譜圖 1 1

ejtej

1

ej2tej2t4j4j1121121k ej21t ej1t1 ej1t4j 所以

π21π211k101

j2 4 4 je e2 4

xt2 2πt4 3 3 xt22

2πt4sin t3 3 x各分量角頻率2π, 5π，最大公約數(shù)是：π/3 因此x周期為T x各分量角頻率2π, 15，不存在最大公約數(shù) 反褶和共軛信號的系設(shè) xt 級數(shù)的系數(shù)為AC

C

設(shè)

xttejk1t0Aejk-k1

ejk1t

t

T =ejk

0xejk1d11xtejk1t

x(t)=x(t)=– 2xtxtT1 2 使級數(shù)的有些項不再出現(xiàn)，剩余各項系數(shù)表達式也xtxt 2xtcosk1tdt b

1 xtsinktdt 11

jb1 T 偶函數(shù)的Ak為實函數(shù)，級數(shù)中不含有正弦項，只含直流項和余弦項xta acoskt,T Tk 信號波形相對于縱

Ta0

2

xtdt

-4

t

xtcosktdt b

1xtsinktdt T T 1A jb 奇函數(shù)Ak為虛函數(shù)，級數(shù)中不含有余弦項，只含有正弦項。包含直流項的“奇函數(shù)”，不再是奇函數(shù)，但依然不

xt

k 若波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時波形

T12 2 x(t)的級數(shù)的偶次諧波為零，只有基波和奇次諧波a04

bk0,k2,4,6,, 2xtcosk1tdt,k1,3,5,,2n b

xtsin

若波形沿時間軸平移半個周期，與

xt原波形重合 xt

tT1

2 2 x(t)的級數(shù)的奇次諧波為零，只有偶次諧波 120a2 120

xtd bk0,k1,3,5,,2n b T1 在這種定義下，最小實際諧振頻21 2π22π21 偶函數(shù)，偶諧函數(shù)，只含偶函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含奇函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含奇函數(shù)，偶諧函數(shù)，只含

OSC

is(t)為周期矩形波，周期T1=10μs，適當(dāng)設(shè)計電路，能否從矩形波中 1基波頻率f11

100kHz，能選出100kHz300kHz 1

xtejk1t

xe-jk1

t

xtT 可 T1證明：信號x*(t)的系數(shù)

jk

jk 11T1 x*tejktdt 1

1T 1

1

0

xt R 1、當(dāng)x(tx*(t)，即x(t) ; A ; 可得AkAk Rk, X221 1 07Ext 2

k

k 2 R 可得 Rk, X X 實偶信號的系數(shù)是實偶函數(shù))= R R R 0, X實奇信號的系數(shù)是純虛奇函數(shù) Px2t

t0

xt

2d a21

20 20k

2kk2k2Ak Akk

周期信號的平均功率等于級數(shù)展開直流、基波及各①頻譜特點 ②頻譜結(jié)構(gòu)③頻帶寬度 ④能量分布等其它信號，如對稱信號、周期半波余弦信號等x

E，周期為T，角頻率為?=2πf=2π/T Eut ut x(t)為偶函數(shù)，因此只包含直流分量a0和余弦分量ak，不2 級21直流分量：a011T1

T1T1

1T1

Edt21T212余弦分量 2

T1 xtcosktdt

Ecosk

Sa

kπ

正弦分量b

T1 k k1 1

2E kπ 三角展開式為xt

T

SaT cosk1t

k1 級 T1 jk kπ k xt dt Sa Sa k T1

指數(shù)展開式為：xt

kE

k k

jkt

Sa e 1 k 級數(shù)的關(guān)c

k

jb1 1

ESak 頻譜為離散譜，而且幅度

或

表示表示T

持不變，T1變化nπ t

Sa cos n1 (T保持不變， 2E nπ

Sa cos

t n1 25

-對稱是周期矩形的特例，有兩個特點①正負交替，直流分量②脈寬τ為周期T1的一半，即τ=T1/2E T1E T1 T1 E T1

對稱既是偶函數(shù)，又是xt t ut t u

3T2 4 4 2 4

41

1k規(guī)

2偶次諧波落在x

2E

1

kπ

級數(shù)只有基波和奇次 cosk 2 k2Ecost1cos3t1cos5tπ xt

Ecostxtxt

cos2t4444

2 E2E

cos

coskt k

k2 ①若T1=1ms，τ0.2ms,則帶寬B

nT1

1數(shù)量為5時，包含2π/τ點。 數(shù)量為5時，包含2π/τ點。 周期信號的頻譜由級數(shù)表示xt

Aejk

1

kk

Ak

2

xt E (頻寬)B

T xt T

Δ(k? t t

0X XT1無窮大，

xt EE

limk

xteT

T

T

T1

根源所在，必須消除其物理意義：信號能量不因分解方式的變化而改變在周期T1→∞時，級數(shù)的幅度譜不能有效描述非周期信號的頻譜。對于確定的能量信號(非周期信號)，存在 jkkx連續(xù)周期信號xT(t)的頻譜AkxT

2

1dt，在

kA→0k

k

兩邊同乘

能夠消除 limT

2π

xt

jk1t

k k

22lim 表示單位頻帶上的頻譜值，即頻譜密度T1

k

0 k

1

k1 周期T1頻 lim12πT1頻率間隔limk1lim2πT1 譜線長度limAklimT

xte

2π

jk1tdt在T→∞

Xj

T1T1

xtejk1tdt

xtejt 級 t

jk

k k jkxt

lim

tT1

kk ,

2πd,k TA

可得逆(反)變換xt1

11Xjejt

k

Xj

xtext1Xjejtd 上兩式稱作變換對，常表示Xj?xt xtext?-1Xj 1 Xjejtd 幅度頻譜和相位頻譜是頻率的連續(xù)函數(shù)，在形狀上與相應(yīng)的周變換從級數(shù)推導(dǎo)而來，因此信號必須滿足注意：不滿足絕對可積的信號，如周期信號、階躍信號、符號函數(shù)，在經(jīng)典數(shù)學(xué)意義上不能實現(xiàn)變換，引入奇異函數(shù)(如沖激函數(shù)δ(?))后，都存在變換，給信號與系統(tǒng)222xt

X

k k

分析將信號分解為(-∞,∞)的

2π

00

xx

Xjxt

工業(yè)中各種瞬間電火花，自然界的雷電，其干擾工業(yè)中各種瞬間電火花，自然界的雷電，其干擾沖激函數(shù)的變Xj?t

tejtdtXX單位沖激信號是時域?qū)挾葞缀鯙榱愕拿}沖，在時域變化率為無窮大。在對應(yīng)的頻域中，變換為常量1，即信號因 ?t t1

ejt

2π t

jejtd

dt

2π得?dd

t 同理?dtn tj xt

t

，式中a為正實數(shù)。

xtetut tXj?etut

etejt

ejtejtdt

Xj

2

jarctan π π tt

xtejtdt

etejtdtetejt21a0 21a0 2Xj 2

O

奇對 xt

xte 00

etejtdt

etejt0 jj2

π

2

π π π

ut1階躍信號u(t)不滿足絕對可積條件 變換

utlimetut X 變換為階躍信號含有直流分量，

?ut?etutlim

etut 0

1

0

2 2因 ?ut

ut 其變換

xtejtdtEsin 2 2 Xj

Sa

XX4π2π2π4π 2 4nπ22n1

22n1π

4n1

2π4π 矩形信號在時域有限(-τ/2~τ/2)，但在頻域無限(-∞~∞)以Sa(?τ/2)規(guī)律變化。信號能量主要集中在主瓣范圍之內(nèi)： 直流信號不滿足絕對可積條件。根據(jù)逆變換得xt?-1 ejtdt2π XE2πE 變?1

2πjt

dnd

tnejtdt

2π

nn d

t t t 對稱雙邊指數(shù)信號的變換取α→0，得到符號函數(shù)頻譜。0xtsgntlimetutetut0X1j

etejtdt 0

ejtd 2πXjlimXjlimπ

Xj

02

Xj?sgnt?2ut1 12π2 j 2ut

2

t

1j-

1

t

sgnt F F正變 Xj?xt xte xt?-1Xj 1

2π常用函 變換12π t utπ

sgnt

沖激信 階躍信1

符號信etut ut ESa 指數(shù)衰減信 矩形脈沖信信號的時間函數(shù)與其變換，分別從時域和頻域?qū)ν恍盘栠M行描述。變換的性質(zhì)建立起信號時間①線 ②時頻對偶 ④時移特⑤頻移特性與調(diào)幅 ⑥微分特⑦反褶與共軛特 ⑧奇偶虛實⑨卷積定 ⑩瓦爾定如果xitXiji12,Cxt

NCXj,i1,2,,NN ?N

例題：ut11sgnt 其變換 ?ut?1

1?sgntπ2 j 若Xj?xt?Xt2πx證明：xt Xjej2πxt Xje-2πx因 ?Xtx ?Xtxx xx(t)x波形反褶，幅度相差2π形相同，幅度波形反褶，頻域“幅度”是時域“幅度”的2π1Xx jt

解：由于?etut因此

2π2π 例題：信號Xt

cSact， 2 2

解：Eutut

2 2 2 c c ct 2u 22πEcSa

Xx

2πEu cu c 2 2

(四展縮(尺度變換)若Xj?xt，則?xat aR,aaX a 證明?xat

xatejtdt，令?xat x?xat x x a

1X a

j

a

a

a?xat xe

x a1a

aa

a a a a?xata

Xa 特別的，當(dāng)a1，xt

X

xtx

Eut ut 2 2其變換

2 ?xtXESa EX 2 2π

a a x t oxt

2 2 a

Xxt 2

限2π

2

2 a

x2tE

x2t o數(shù) 4o數(shù) 0<a<1a>1a=-1信號波形壓縮a倍，則信號隨時間變化加快a倍，因此頻率分量增加a倍，即頻譜展寬a倍。根據(jù)能量守恒原理，各頻率分因為Xjxt

xte

xtdtxt?-1X Xejtd Xd t 2π t 2π

x0

xt 2

XB2

X

等效頻帶寬度 x0xtdt

xte

X0

頻域BX0 Xd Xe

2πx0 可 x0BX0X02πx0

t化 B B在通信系統(tǒng)中，通信速度與占有頻帶寬度是一對。(四若Xj?xt， xt xtt0

X

0X?xtt0

ejt

ejtdt

xejt0ejt0

xejdXe時域、頻域正、負 ?xt時域、頻域正、負同 ?xt

e-jt0X ?xat

X e-ja,a a?x

X

00 ,a12

xt

a2 2

X

2

相位附

例題：求圖示三脈沖信號頻譜。解：令f0(t)表示矩形單脈沖信號，其

能量(頻譜)帶寬F能量(頻譜)帶寬 2因為ftf0tTf0t0FFejT 1e0

2 Sa 2 2 當(dāng)脈沖數(shù)量N→∞，則成為周期

，求f(2t- 2方法一：先尺度變換，再時延，即寫成f2t5a2f2t

F

ESa 2 4

j5 Sa

4b5，對t(向右)時移5ft5ESa

e j5

2a2，可得f2t5 Sa e 4 例題：求信號x(t)的變換xt1xt2.5xt ?xt

2 2 ?xt

2 ?xt ?xt2.5?xt j5

2 Sa 3Sa 2 2 )①展寬 ②縮窄③縮窄 ④展寬0.5B ②aXjae jb ③X ④ Xj e a原信號X原信號XO若Xj?xt， 時域、頻域正0?xtej0tX0?x

ej0t

xtX

xteX0 ?xtej0t

xtej0tejtdt

extej0td

X0X

頻譜右

?xte-j0t

xtej0tejtdt

xtej0td X0 X0 頻譜左

e-

jsin0tjsin0t2π0根據(jù)頻移特性1ej0t001e-j0t0 ejtπ0 sint1 0 2j costπ sintjπ F t

2頻譜搬移在通信系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，如調(diào)幅、同步解由 j j

j0cos0t e 2

sin0t2j 1可得：xtcostXX10?xtsint0

XX 2 頻信號)調(diào)制正弦載波(高頻信號)幅度。對應(yīng)的變換為頻域

ft

2

ejt 21 1 F

G

當(dāng)脈寬τ→∞時，當(dāng)脈寬τ→∞時， ?xt

(六? ? dtxtjX ?dtn xt X 證明：xt1Xejtd2πdxt1

jXe 因此dxtjX xtX

X-jtxt ?-

dn

xte-

因 ?-1 X

-jtxt 例題：已知階躍信號的變換

π 1?

jπ

jdddd

jtut

d

dπ1

j1可得tut

jπ例題：ftF，求t2ft解?t2ft?tft2ft t?2ftjdF2Fd例題：求tn解： tn1F2π dF2

jdF

(七xtX

xtx*t

XX*(八 R2R2I2arctanX

RR

實信號滿足xtx*t， ut實部為偶函數(shù)，即 虛部為奇函數(shù)，即XIXI O幅度譜為偶函數(shù)XXO實信號的變換，模與實部是 ?實偶信號 實部 虛部XIXIXI0t0t

實偶函數(shù)

etutetutX X 0aX

xt

2X

2

?實奇信號XRXRXR0葉變換X(?)是?虛奇函數(shù)t虛部XIXItxtetutetutX xtejtdt πOπ第3πOπ第3X

π π

2

(九已 ?xtX ?htH ?xthtXH時域中兩個函數(shù)卷積后的信號頻譜，等于各個原函數(shù)頻譜 交換積?xtht xhtdejtd交換積

x d htx d

d x

HejXH已 ?xtX ?htH ?xtht 1X

兩個函數(shù)乘積的頻譜等于各個原函數(shù)頻譜的卷積乘以1/2π

XuHud

htejutd

ht

Xu duejtd

ht2πxtejtdt2π?xtht利用時域卷積定理，可得變換的時域積分性質(zhì) xtutxutdx xtutX

1

πX0

j ?xdπX0將時域求響應(yīng)轉(zhuǎn)

ft gt gtfthtGFH gt?-1G2 2 1 時

E

ftft

?ft?ftftFFE22Sa2 2 1 1若?xt

2π

X

2

xt

dt

xtxtdt

X*jejtd Xje-jtd 代xt2π 11

2π

Xj xte-jtdt 1

XjXjd 1

Xj22π2

例題：截平斜變 t 2

ftt 2t2 t yt Gd ?GtFSa?ytπF01F F0

2 ?yt

1

2 22xte3xt

xtxt 變換X xtxt 變換X 2 xt2解：xt12

2ytx't1t1ut2

?ytYSaej

12 ?xtX=πY

Y t11 1?xtX

SaejX?xt 1xtxt 2 12 x X XX 接獲得Xe(?)。 2 X xt?1xtxt1XX2 22 1

2

Saej

Saej

Saj xtxetxot，可得XoXXexxxtxt

6e6

xtt2e(a)Re[X(?]=0(b)Im[X(?)]=0；(c)存在實數(shù)a，使X(?)eja

(d)

Xd0(c)存在實數(shù)a，使X(?)eja?為實函數(shù)：當(dāng)a=0時，實偶函數(shù)的變換為實偶函數(shù)，x5(t) 頻譜乘以eja?,相當(dāng)于函數(shù)時移t后為實偶信號：x1(t)、x2(t)滿足條件。 Xd

d

ejtd

t

t

2πx0x1(t)、x3(t)、x4(t)、x6(t)滿足條件。f'tGt1.5Gt

1f t21f t2ftt2t1t1t 1ft 令F?ft,

?f't,

?f''t2可得F2?f''tt2t1t1t2F?

''t 12cos22cosπF0 1f 1ft f

F20

2f''tdtF

1cos2cos

tdt

將f(t)分解為f1*f2，f1、f2的波形如右圖所與的卷積，或為三角波，或為梯形波，關(guān)鍵是確定f1、f2E1,

- -0.5 f1t 3Sa 2E1,

- - f2t Sa

2?ft?f1tf2tF1F223Sa2

3Sa 2Sa ftf0tf0t1f0t由變換的線性和延時性可F012cos

- - tt- - 對于f0(t)，E=1，2，可得F0Sa2因 F4Sa2Sa22Sa2212cos3Sa2Sa32 4sin2sin32121求F(?)的相位(?)；(2)求(3)求Fd(4)畫出Re[F(?)]的逆變換波形

t

- 1F10,10,

- - F10,1π,π

F0 ftdtFd2πf02π21畫出Re[F(?)]的逆變換的波形。FFej可得1ReF

ej

F1

1111

jF1sin ft

t

2

ej

ej

3 ?-1Re121

t12

E1 ft

0

t

tt

22

2t0 d

0t2 t 2 2E

2ft t2tt 2

2 令F?ft

?f't,

?f''t22F2

2E dt ft? t2tt2

2cos

22e

2 2 4 8Esin2 F0 f'' 4

1

2

F

ft

0

2E 2Ej 4

1

sin2

4E F

t f't

8E πF0?

2j

ft Sa 2

F2t

?ft Sa 1tf2t 2t2ft dft4d7f2t

5f1t 61tf1t2 2

F2 tf2t

d

F

2

F2 2t2ftt2fttft2ft2F3t2f2t f2t1F 2t2f2t

F

21Fd

2

2dft4d

dftjF

tdft

dft算法二

tftjdF

FFF5f1t f61tf1t Fejj FejjdF

ejFejjdF

tftdFd

1ftdFdt1ft1jdFd

ejjdF j5

e7f2t f2tF e 2設(shè)激勵信號et ythtejt系統(tǒng)響應(yīng)為ytetht htHjejt

he-jd

H

ej線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，任意信號x(t)作用ytxtht?-1XjH系統(tǒng)函數(shù)為HjYX周期信號從t=-∞時作用于系統(tǒng)，其接入系統(tǒng)時產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)早已，只存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，因此求周期信號作用于系統(tǒng)0 0 HjHj yt

Hj0

，當(dāng)輸入e(t)分別為sint,sin1t 1 sin3t時,求其輸出 Hj 頻率sin1121sintsin1t 13323sin1t sin3t31sin3t60 一般周期信號可以展開為級數(shù) xtcccosktk

kytc0

j0

cosk

k

kkHk

k1幅度由|H(k?1)|；相位由φ(k?1)；幅度和相位的例題：已知連續(xù)時間周期函數(shù)： π2cos20t 1.50 1.50 33(1)求指數(shù)形式級數(shù)；(2)畫出雙邊頻譜； jt2 -jt2π j2 et24 e

2 e

2

2

0 -j2t0

-jt 3

jt

j2t 3e 2e 22e

e -j2t1 -jt2 jt 由e e 2e 22e e F0 F1 21π3

12π3

0 123

2131 12

1002

π+π

1 π0 R021

001.50 0

1 2

π 00

j

k

sin41

E4, 4E,8，可得時域沖激響應(yīng)h(t)

k

E

k

Sa

ejkx

Sa

ke k

2k

式中

2π

πrads

ythtxt YjHjX在?=0.25π整數(shù)12

ht

H 4

1

頻率為0.25π yt2

2

8642yt

4

Yj01Yj01線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，任意信號x(t)作用ytxtht?-1XjH但是很多常見的信號都不滿足絕對可積條件，因此其?utπj

因此變換求解系統(tǒng)響應(yīng)，運算比較，但是物理概念清晰。一般情況下，用法求系統(tǒng)響應(yīng)比較簡單，但是物理概念不如變換清晰。例題：如圖所示RC低通電路，在輸入端1-1′加入矩形

脈沖

(t)，利 分

方法分析2-2′端電壓v2(t)

Hj ，令R j

e 2

jH

j ej

2 輸出信號

tE1etutE1etut

1

系統(tǒng)具有低通特性，改變α可v1t

v2t

2 信號上升、下降劇烈，EOtV1信號上升、下降劇烈，EOt

E

輸出與輸入的波形不同，即失真，包括線性和非線性失真兩大類幅度失真：系統(tǒng)對各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減，使響相位失真特點：線性失真不產(chǎn)生新的頻率成分

線性元器件引起線 oTtoTt

o

響應(yīng)與激勵只有幅度與出現(xiàn)時間不同，而rtKet響應(yīng)與激勵只有幅度與出現(xiàn)時間不同，而ett

rt

rtt由rtKett0可 幅頻響應(yīng)—常數(shù)( H RjKEje

Hj

E為一通過 Hj 相頻響應(yīng)為一通過

0ht0 d K延遲時間t0為直線斜率t0

感性π20感性π20系統(tǒng)群時延特性用于描述窄帶濾2波器的相移特性，在該窄帶內(nèi)，

e2t1costcos3t解 1costt0cos3t3t0按照幅頻特性不同，分為低通、高通、帶通、帶阻等類型，虛線表示理想濾波特性，實線為實際濾波特性。?c為截止(cut)頻率。 c

e

H

e

1H1Hc

H

cc

cc

=-t0,

c在(-?c~?c)的頻帶內(nèi)，信號傳輸無失真。ht?-1H11

Hjejt0

c2πc

Satt 比較輸入輸出，可知失真非常嚴(yán)重：δ(t)頻帶無限寬，理想低通通頻帶有限(-?c~?c)。當(dāng)δ(t)經(jīng)過理想低通時，?c以理想低通是物理不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)h

1 1V1 jL

12LCj令c

R 12j

H

ejHj

11 22 ππ2πO ππ2πO2Oπ 1 ht

?-

c

22 ht

htut2

H

dlnHlnHj 1 d物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，允許|H(j?)|在不連續(xù)的頻率點等于0，但不允許在有限頻帶上等于0。因此，理想低通、理想高幅度特性衰減太快的網(wǎng)絡(luò)不可實現(xiàn)，如函數(shù)根 變換的頻域卷積定理可知：1Hj

Hj

π

jX

1RjX

2π[RjX]πj R1X11

Xd

逆變換Xπ

R

π

Rd?

π

c 系統(tǒng)H

cRjHjEj

1

ejt0,

crt

R

1

1

0e

t1212

yy

sinxdsin1sin1 3π π2y Siy

=SiπSiy

=Si-π

rt11Sit

2

1 c

到最大值所需要的時間，與00112112CtC

C Sit

約為跳變值的8.95%，增加理想低通帶寬?c，能夠減少上升時間r 2 1r 周期性沖激序列及其變ETETxtdt余弦、正弦信號的變換?cos0t?sin0t

π0jπ0

00xtxtt k 變

Aejkt

jk?

?

1

1k k已

2πk

2πk

Ak 式中A是x(t) T1 -jkk k T1

xTt d周期信號xT(t)的級數(shù) A jk1t k式中系0txt tT0txt

1X

xte-

dt

te-jtd A

T1

- d

XT 2xT T

周期信號 級數(shù) 變

T1

-jkxt

xt

k

d k xt

2π

X?

k

T1k11111k

變 k

t如圖所示，求其級數(shù)與變換

t k

oo

AAk式中

A

T1

te T

dt

級數(shù)

t

e

X1 變換X? t2πAkk1 k 1 1

k11

k1

1

E3T12T1E3T12T1寬為τ，周期為T1，角頻率?1=2π/T1， 求級數(shù) 變換x(t)的時域與

Eut

ut

XESa 2

2 2 1

Ak

TSa e112kk

換2πESa換2πESakkT121k1X2π