學(xué)生成績分析數(shù)學(xué)模型

#/18aQ①口aQ①口口6s1-3利用Q-Q圖檢驗其正態(tài)性得:-ElMlbOr-ElMlbOr：.li?FltVIn-mnWTil'J-iF洞護(hù)祖報KlHTfliC-Cllfltd耳典訕說明其具有良好的正態(tài)性，那么數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化和檢驗均告完成，這樣就去

除了試卷難度等客觀因素導(dǎo)致成績分布不合理產(chǎn)生的誤差。下面就可以根據(jù)已得到的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)對于學(xué)生成績進(jìn)行評估。以上所述為整體分析，我們又用Excel處理了原始數(shù)據(jù)一一B題附件，由于數(shù)據(jù)的龐大，為了簡化模型，利用系統(tǒng)抽樣隨機(jī)選取其中的十名同學(xué)進(jìn)行分析。系統(tǒng)抽樣步驟：1）共有612名學(xué)生，從學(xué)生編號為1的同學(xué)開始，每隔60名抽取一位同學(xué)；3）得到結(jié)果：選取第1、61、121、181、241、301、361、421、481、541、601位同學(xué)。如：表1：學(xué)生編號學(xué)期1平均成學(xué)期2平均成學(xué)期3平均成學(xué)期4平均成績綜合素質(zhì)評價

績績績179.074.874.377.0A6176.072.175.271.0B12179.377.872.963.5C18164.962.772.858.0C24168.368.868.170.5A30156.541.963.174.4B36183.082.870.880.4A42178.680.964.876.3A48175.076.571.377.0B54183.387.089.886.1A60181.578.369.071.7A注：綜合素質(zhì)評價為學(xué)生參與班級公共事務(wù)、幫助同學(xué)、遵守紀(jì)律等日常表現(xiàn)的總體評價。共分A,B,C,D四個等級，A級最咼。為了使結(jié)果數(shù)字化，利用VirsulFoxpro語言最基本的賦值語句結(jié)構(gòu)：變量名列表=表達(dá)式>>clearA=90B=80C=70D=60根據(jù)顯示結(jié)果,表2：綜合素質(zhì)評價9080707090809090809090為了更好的、全面的客觀分析每一位同學(xué)的全方面的綜合成績，在把每位同學(xué)的綜合素質(zhì)評價轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)后，為了得到更全面的學(xué)生評價，我們用下一種方法一一聚類分析法重新分析現(xiàn)有數(shù)據(jù)：聚類分析又稱群分析、點(diǎn)群分析，是定量研究分類問題的一種多元統(tǒng)計方法。人類認(rèn)識世界往往首先將被認(rèn)識的對象進(jìn)行分類，因此分類學(xué)便成為人類認(rèn)識世界的基礎(chǔ)科學(xué)。在社會生活的眾多領(lǐng)域中都存在著大量的分類問題。以前人

們主要靠經(jīng)驗和專業(yè)知識做定性分類處理，致使許多分類帶有主觀性和任意性，不能很好地揭示客觀事物內(nèi)在的本質(zhì)差別與聯(lián)系，特別是對于多因素、多指標(biāo)的分類問題，定性分類更難以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確分類。聚類分析包括很多種方法，系統(tǒng)聚類法是最基本、最常用的一種，此外還有有序樣品聚類法、動態(tài)聚類法、模糊聚類法、圖論聚類法、聚類預(yù)報法等，不同的方法適合解決不同類型的問題，本文主要采用的是最常用的系統(tǒng)聚類法。聚類分析用于系統(tǒng)類群相似性的研究，其實(shí)質(zhì)上是尋找一種能客觀反映樣品或變量之間親疏關(guān)系的統(tǒng)計量，然后根據(jù)這種統(tǒng)計量把樣品或變量分成若干類。常用的統(tǒng)計量有距離和相似系數(shù)。在距離中，我們主要使用間隔尺度：間隔尺度：是用連續(xù)的實(shí)值變量來表示的，是由測量或計數(shù)、統(tǒng)計所得到的量。如：經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計數(shù)字、抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)、身高、體重、年齡、速度、壓力等。不同類型的變量，其距離和相似系數(shù)的定義方法有很大差異。用得較多的是間隔尺度，因此只采用間隔尺度的距離和相似系數(shù)的定義。N位學(xué)生p學(xué)期形成形成的原始數(shù)據(jù)資料矩陣中，每一行表示一個學(xué)生，每一列表示一學(xué)期的成績。因此，兩個樣品的相似性可用矩陣中兩行的相似程度來刻劃；兩個變量的相似性可用矩陣中兩列的相似程度來刻劃1.距離定義：將n個學(xué)生看成p維空間中的n個點(diǎn)，兩個學(xué)生間相似程度可用p維空間中兩點(diǎn)的距離來度量。612|L=(xx)2i,j=?ij下面用matlap編程來求解function[sol,eval]=fitness(sol,options)L=sol(l)eval=squ((x-y)*2)initpop=initt=ializega(612,[02],fitness,[],initpop[1-612])maxgenterm612,normgeomselect,F面列舉了學(xué)號在前的十位同學(xué)之間的相互距離:2345678910207.6226.9910.2511.3114.6222.8072.2413.653021.239.0612.0913.1218.3756.3415.774023.3413.5420.1222.8774.5523.935012.0615.0129.0566.2418.396019.3423.3971.0626.177021.8261.2921.328063.2323.459057.71100根據(jù)以上表格可以得出各個距離段的人數(shù)分布表以及條形圖

距離段0~1010~2020~4040~100人數(shù)212944140通過以上分析我們了解到，距離集中在20到40之間的是比較多的，而在兩端的人數(shù)明顯很少，從中可以看出不及格的人數(shù)和成績靠前的學(xué)生人數(shù)是很少的，成績越是集中，就越能說明著說明了成績分布比較穩(wěn)定且集中在某個數(shù)附近，這正好和上文中中SK分析得到的結(jié)果一致，也就是陡峭度越來越大。從柱狀圖圖中還可以看出，成績的分布漸漸朝著高分發(fā)展，這與SK分析中Sk值漸漸減小也是相一致的。顯然在這一步的分析中，造成這個結(jié)果的產(chǎn)生，可能因為試卷的原因，也可能是學(xué)生們通過學(xué)習(xí)進(jìn)步的結(jié)果。計算出任何兩個樣品之間的距離排成距離陣D,根據(jù)D可對612個學(xué)生進(jìn)行分類，距離近的學(xué)生歸為一類，距離遠(yuǎn)的學(xué)生歸為不同的類2.相似系數(shù)：將n個學(xué)生看成p維空間中的n個向量。（2）相關(guān)系數(shù)對整個表格用excel函數(shù)進(jìn)行計算其相關(guān)系數(shù)，可得如下表格：74.82574.2976.9874.825174.290.687677176.980.6511390.7745161以上是學(xué)生分類常用的距離和相似系數(shù)，它是在p維空間中來研究n個樣品間的相似；而對變量分類是在n維空間中來研究p列變量間的相似，其相似性也用距離和相似系數(shù)來度量獻(xiàn)Ec'nbJdLL在實(shí)際問題中，對樣品分類常用距離，對指標(biāo)分類常用相似系數(shù)；用距離時找最小的元素并類，用相似系數(shù)時找最大的元素并類獻(xiàn)Ec'nbJdLL系統(tǒng)聚類分析也叫分層聚類分析，是目前國內(nèi)外使用得最多的一種方法，有關(guān)它的研究極為豐富，聚類分析的方法也最多。(1)計算n個樣品兩兩之間的距離記為矩陣D；(2)首先構(gòu)造n個類，每一類中只包含一個樣品；(3)合并距離最近的兩類為新類；(4)計算新類與當(dāng)前類的距離，若類的個數(shù)已經(jīng)等于1,則轉(zhuǎn)入5,否則回到3；(5)畫譜系圖；(6)決定類的個數(shù)和類。系統(tǒng)聚類允許一類整個地包含在另一類內(nèi)，但在這兩類間不能有其他類與之重疊樣品之間可以用不同的方法定義距離，類與類之間的距離也有多種定義。用不同的方法定義類與類之間的距離，就產(chǎn)生了不同的系統(tǒng)聚類方法(1)最短距離法：定義類與類之間距離為兩類最近樣品的距離，使空間濃縮，形成鏈狀，分類效果不好；(2)最長距離法：定義類與類之間距離為兩類最遠(yuǎn)樣品的距離，受奇異值的影響大；(3)中間距離法：介于最長與最短距離之間的一種距離，當(dāng)B=-l/4時，即為三角形的中線，以它作為類與類間距離。(4)重心法：以兩類重心之間的距離作為兩類間的距離。重心即該類樣品的均值。每合并一次類，都要重新計算新類的重心。不具單調(diào)性，圖形逆轉(zhuǎn)，限制了其應(yīng)用，可能引起局部最優(yōu)，但在處理異常值方面較穩(wěn)健(5)類平均法：以兩類元素兩兩之間距離平方的平均作為類間距離的平方。(6)可變類平均法：與5相比，考慮了兩類Gp與Gq之間距離Dpq的影響。(7)可變法：其中B是可變的，分類效果與B的選擇關(guān)系極大，B常取負(fù)值。(8)離差平方和法：又稱Ward法，其基本思想是認(rèn)為同類樣品的離差平方和應(yīng)當(dāng)較小，類與類的離差平方和應(yīng)當(dāng)較大。首先n個樣品各自成一類，然后每次縮小一類，每縮小一類離差平方和就要增大，選擇使離差平方和增加最小的兩類合并，直到所有樣品歸為一類。它分類效果較好，應(yīng)用較廣泛，對異常值較敏感(1)類與類之間距離定義不同；(2)計算新類與其他類的距離所用的公式不同，因而并類距離不同；?各種方法并類步驟完全一樣。在采用歐氏距離時，可歸結(jié)為統(tǒng)一的遞推公式，對編制微機(jī)程序提供了很大的方便評價學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況方差分析法

根據(jù)上文中我們發(fā)現(xiàn)評定學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的依據(jù)有，學(xué)生的平均分，學(xué)習(xí)波動度，進(jìn)步度。下面從三個方面對學(xué)生進(jìn)行綜合評定。設(shè)：第M個同學(xué)的因素集U=｛平均分u,學(xué)恩習(xí)波動度（標(biāo)準(zhǔn)差）ii1u，平均進(jìn)步率u｝，評語集V=｛優(yōu)v，良v，中v，差v｝i2i3ii1i2i3i4對于每名學(xué)生基于其四個學(xué)期成績及成績變化做單因素評價：首先我們確定優(yōu)良中差的比例固定為1：4：4：1,這樣就能使學(xué)生評價處于平均，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力。1、對于平均分ui1因為不同基礎(chǔ)的同學(xué)對某一得分同學(xué)的評價不同，所以當(dāng)一名學(xué)生得60分時，得分大于80分的同學(xué)會認(rèn)為其基礎(chǔ)差。所以對學(xué)生的分?jǐn)?shù)進(jìn)行優(yōu)良中差的比例分類：評者被評者、、、1.12?2.500?1.12-1.07?0-3.65?-1.071.12?2.50良0.1優(yōu)0.4優(yōu)0.4優(yōu)0.10?1.12中0.1良0.4優(yōu)0.4優(yōu)0.1-1.07?0差0.1中0.4良0.4優(yōu)0.1-3.65?-1.07差0.1差0.4中0.4良0.1得到u的單因素評價向量為:i1r(rr,r,r)，rr,r,r分別為優(yōu)良中差的權(quán)重i1i1y,ill訂zilci1y,ill訂zilc2、對于標(biāo)準(zhǔn)差u得:i2、、、評者被評者0?0.2060.206?0.4130.413?0.7500.750?2.0000?0.206良0.1優(yōu)0.4優(yōu)0.4優(yōu)0.10.206?0.413中0.1良0.4優(yōu)0.4優(yōu)0.10.413?0.750差0.1中0.4良0.4優(yōu)0.10.750?2.000差0.1差0.4中0.4良0.1

得到u的單因素評價向量為：i2r=(rr,r,r),rr,r,r分別為優(yōu)良中差的權(quán)重i2i2y,i2li2zi2ci2y,i21i2zi2c3、對于平均進(jìn)步率u得:i3評者被評者0.317?0.90.009?0.317-0.317?0.009-1.14?-0.3170.317?0.9良0.1優(yōu)0.4優(yōu)0.4優(yōu)0.10.009?0.317中0.1良0.4優(yōu)0.4優(yōu)0.1-0.317?0.009差0.1中0.4良0.4優(yōu)0.1-1.14?-0.317差0.1差0.4中0.4良0.1得到u的單因素評價向量為:i3r=(rr,r,r)，rr,r,r分別為優(yōu)良中差的權(quán)重i3i3y,i31i3zi3ci3y,i31i3zi3crr)rr)(、rr,r,ri1訂y,i1l訂z訂cR-r—rr,r,rii2i2y,i2li2zi2cl匚J、rr,r,r丿、i3"'i3y,i3li3zi3c丿考慮到對于差生的鼓勵作用，我們認(rèn)為平均進(jìn)步率和平均成績甚至比平均成績更加重要，這樣我們將三個因素分配權(quán)重為：C=(0.4,0.1,0.5)做模糊變換:B二做模糊變換:B二CRii二(0.4,0.1,0.5)(、rr,r,r訂y,ill訂z訂crr,r,ri2y,i2li2zi2c、rr,r,r丿*i3y,i3li3zi3c丿-(b,b,b,b)iyilizic這樣就能得到特定同學(xué)的評價向量了。在對其總分進(jìn)行加權(quán)分析得：學(xué)生總評價分D-3*b+2*b+biiyiliz由于總評價分是在區(qū)間[0,3]上的，所以可以劃分為4類：

[9/4,3],[3/2,9/4],[3/4,3/2],[0,3/4]分別為優(yōu)良中差。下面計算前10名同學(xué)的評價向量和總評價分：數(shù)據(jù)為：

第一學(xué)期第二學(xué)期第三學(xué)期笫四字期平均值極準(zhǔn)差平均進(jìn)步度1.65246-.14519-.01969.04971.13432.35471-.200912.19651-.29375.89342-.20989.14657.54198-.135473-1.15220-1.45022-.67912-.83416-1.02893.34302.1060141.25425.94940.27313.59153.76710.42639-.220915.25672.93537.42435.9BB28.E5110.3E5B1.243B66.54862-1.01356.20926-.47184-.18188.6981B-.34015.2856E-.07246-1.16356-1.04B02-.49960.71663-.444568-1.24528-1.51459-177200-372172-2.063401.12627-.825489-.52419.02465-.40460-.34685-.31275.23675.0591110.14055-.66180.11531-70687-.27820.46944-.28247‘0.5,0.4,0.1,0'可以得到第一名學(xué)生的氣=0.5,0.4,0.1,0[0.1,0.4,0.4,0.1丿這樣B=(0.3,0.4,0.25,0.05)D=1.95所以第一名學(xué)生的評價應(yīng)該為良11利用Matlab通過以上方法對所有數(shù)據(jù)進(jìn)行求解得：(僅列出前10名同學(xué)的數(shù)據(jù))學(xué)生序號biybilbizbicDi評價10.30.40.250.051.9520.260.40.2S0.061.86艮30.340.40.220.042.04良40.260.40.2E0.061.86良50.50.40.102.4優(yōu)60.050.250.40.31.05良70.050.250.40.31.05良800.10.40.50.6差90.340.40.220.042.04良100.10.40.40.11.5良學(xué)號前十的學(xué)生的綜合評價排名為：D>D,D>D>D,D>D>D>D>D53912410678我們可以發(fā)現(xiàn)，由于構(gòu)造加權(quán)系數(shù)的時候，我們在學(xué)生的優(yōu)良中差的比例設(shè)置中將良和中的比例設(shè)置的比較高，這樣導(dǎo)致了我們得出的分類評價中良和中比例比較高。這樣也符合教師評價學(xué)生的一般規(guī)律?；趯哟位治龅哪：u價的改進(jìn)模型在5.3.1中我們發(fā)現(xiàn)上述的模型建立會出現(xiàn)如下問題:

1、在5.3.1中，對于數(shù)據(jù)的結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，雖然我們求出了學(xué)生總評價分D，但是D是一個類似量子化得值，這是由于我們在模型建立的第ii一步就已經(jīng)將各種成績的數(shù)據(jù)進(jìn)行了分類。這樣由于D的值的影響，i我們會發(fā)現(xiàn)很多通過已給的成績可以比較相互之間差異的同學(xué)，我們通過D的值發(fā)現(xiàn)兩者的學(xué)習(xí)狀況是一樣的，這顯然是有問題的。那么i我們可以很容易的想到直接利用所得到的標(biāo)準(zhǔn)化的成績進(jìn)行分析。2、在5.3.1中我們了解到所給的權(quán)值都是我們自己預(yù)設(shè)的，這樣的科學(xué)根據(jù)顯然是不精確的，這樣我們想到了利用層次分析法對權(quán)值進(jìn)行估計。3、在5.3.1中，我們對于每個學(xué)期成績的影響視為完全相同的，這顯然是不精確的，在實(shí)際問題中，對于當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)成績的評估，最近一次的成績當(dāng)然是更加重要的。首先對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，由于評分的原因，不論是哪一學(xué)期的成績還是進(jìn)步度，抑或標(biāo)準(zhǔn)差，他們的單位首先是要統(tǒng)一的，我們將每組數(shù)據(jù)都除以改組數(shù)據(jù)的最大值，這樣就能將他們的數(shù)據(jù)的滿分設(shè)為1,這樣總體評價分的滿分也設(shè)置為1了。得到處理后的數(shù)據(jù)為：

顧猿1頃頸2成議3頃漬4頃漬迸歩亟猿迅步頃頸迅步標(biāo)準(zhǔn)差123.24-.05-.01.02.0S.05.02.18.07-.11.27-.0&.14.43-.37.28-.42-.5&-.21-.38.05.28-.06.17.37.OS.26.00-.2511.22.09.3G.13.05-.19.19.19.20-.39.0G-.20.23.44-.23.10-.03-.3E-.44.24-.40.04.3E-.58-.55-1.S6.59-.09-.66.57-.19.01-.12-.1￡.03-.15.02.12.05-.25.04-.30.10.28-2S.24.55.31.33-.33.51.09-.6E.53-.39-.28-.1S-.37.02.04-.10.10下面根據(jù)層次分析法進(jìn)行權(quán)值分析：設(shè)第i名學(xué)生的j個學(xué)期的成績?yōu)閙..,第k次成績進(jìn)步度為*，標(biāo)準(zhǔn)差為u?IJik?首先是第一層：同樣是為了鼓勵學(xué)生，我們設(shè)學(xué)生進(jìn)步情況比學(xué)生成績情況稍強(qiáng)，設(shè)為2；學(xué)

生成績情況比成績波動性明強(qiáng)，設(shè)為5，學(xué)生進(jìn)步情況比成績波動性設(shè)為6；這廠1,1/2,5、樣可得到比例矩陣為；Ri=2,1,6(1/5,1/6,1丿這樣通過matlab可得最大特征根入max=3.0291得到第一層權(quán)值向量為W1二(0.34200.57690.0811)通過檢驗得：CR二CI/RI=0.01042<0.1檢驗正確可行其次對第二層進(jìn)行分析：設(shè)每學(xué)期對于學(xué)生總體成績評價的影響度逐步提升，得到：‘1,1/2,1/3,1/4、2,1,1/2,1/3R二23,2,1,1/2(4,3,2,1丿同樣可得：最大特征根入max=4.0310得到第二層成績權(quán)值向量為W2=(0.09540.16010.2772

0.4673)檢驗可行性成立同樣成績進(jìn)步度對于成績進(jìn)步情況的影響逐步提升，得到:’1,1/2,1/3、

R二2丄1/23(3,2,1丿同樣可得：最大特征根入max=3.0092得到第二層成績權(quán)值向量為W3=(0.16340.29690.5396)檢驗可行性成立綜上所述：準(zhǔn)則層成績進(jìn)步程度基礎(chǔ)單排序0.34200.57690.0811子準(zhǔn)則層成績1成績2成績3成績4進(jìn)步1進(jìn)步2進(jìn)步3單排序0.09540.16010.27720.46730.16340.29690.5396設(shè)612位同學(xué)的成績向量，進(jìn)步向量，波動性向量分別為:M=(m,m,m,m),S=(s,s,s),U1234123總成績評價為：D=(M*W2T,S*W3T,U)*WJ得到評價如下表，通5.3.1的流量中差比例為1：4：4：1進(jìn)行分類得到:學(xué)號總體評價分類學(xué)號總體評價分類學(xué)號總體評價分類10.042611-0.092521-0.015220.001312-0.1179220.18653-0.0693130.1696230.011540.099614-0.022924-0.014650.1499150.0802250.105660.0141160.190926-0.21257-0.106170.041727-0.10628-0.466718-0.13128-0.21449-0.049219-0.028329-0.087910-0.065420-0.02830-0.0864

得到學(xué)號前十的同學(xué)的排名為：D>D>D>D>D>D>D>D>D>D54162910378并發(fā)現(xiàn)學(xué)號為539的學(xué)生學(xué)習(xí)情況最好，調(diào)出其原始數(shù)據(jù)：學(xué)生序號學(xué)期1成績學(xué)期2成績學(xué)期3成績學(xué)期4成績53986.58382.74179.55389.625可以發(fā)現(xiàn)其平均成績較好，而且在第四學(xué)期成績有了很好的提升，這使得其在綜合評價的過程中，由于第四學(xué)期的成績和進(jìn)步的權(quán)重較高，這樣該生的學(xué)習(xí)狀況非常好。與5.3.1中的模型結(jié)果加以比較，可以發(fā)現(xiàn)：兩者的分類情況基本是一致的，對比前10名同學(xué)的情況，發(fā)現(xiàn)2,3,6，7,9,10的同學(xué)，在