全微分方程的解法課件

恰當(dāng)方程（全微分方程）

一、概念

二、全微分方程的解法恰當(dāng)方程（全微分方程）一、概念1全微分方程的解法課件2

一、概念若有全微分形式則稱為全微分方程。定義:例1：所以是全微分方程.方程是否為全微分方程？解：通解則為（C為任意常數(shù)）。一、概念若有全微分形式則稱為全微分方程。定義:例1：所以3全微分方程的解法課件4問題:（1）如何判斷全微分方程？（2）如何求解全微分方程？（3）如何轉(zhuǎn)化為全微分方程？定理1設(shè)函數(shù)

和

在一個矩形區(qū)域是全微分方程中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則

（1）證明必要性

證明：

因?yàn)槭侨⒎址匠?，問題:（1）如何判斷全微分方程？（2）如何求解全微分方程？（5則存在原函數(shù)，使得

所以

將以上二式分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得到

又因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)連續(xù)，

，即

所以

則存在原函數(shù)，使得

所6（2）證明充分性

設(shè)

，求一個二元函數(shù)使它滿足

即由第一個等式，應(yīng)有

代入第二個等式，應(yīng)有

這里（2）證明充分性

設(shè)

，求一個二元函數(shù)使它滿足

7因此，則因此可以取此時

這里由于，故曲線積分與路徑無關(guān)。因此因此，則因此可以取此時這里由于8

二、全微分方程的解法(1)線積分法:或(2)偏積分法第一個等式對積分

二、全微分方程的解法(1)線積分法:或(2)偏積分法9代入第二個等式求

，即可得

(3)湊微分法直接湊微分得

例2：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它的通解。由于

解：代入第二個等式求

，即可得

(3)湊微分法直接湊微分得

例210所以方程為全微分方程。(1)線積分法:故通解為所以方程為全微分方程。(1)線積分法:故通解為11(2)偏積分法:假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有代入可得因此從而即(2)偏積分法:假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有代入可得因12(3)湊微分法:由于

方程的通解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗(yàn),原方程可寫為(3)湊微分法:由于方程的通解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)13例3：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它的通解。

由于

解：

所以方程為全微分方程。(1)線積分法:例3：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它的通解。由于解：所以14故通解為(2)偏積分法:假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有

所以從而即故通解為(2)偏積分法:假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有所以15(3)湊微分法:方程的通解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗(yàn),原方程可寫為練習(xí)：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它的通解。方程的通解為：

(3)湊微分法:方程的通解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗(yàn),原16積分因子法

一、概念

二、積分因子的求法積分因子法一、概念17一、定義:0),(1yxm連續(xù)可微函數(shù)，使方程0),(),(),(),(=m+mdyyxQyxdxyxPyx成為全.微分方程則稱),(yxm為方程的積分因子.例1驗(yàn)證是方程的積分因子，并求方程的通解。

解：是全微分方程。方程通解為一、定義:0),(1yxm連續(xù)可微函數(shù)，使方程0),(),(181.公式法:求解不容易特殊地:(兩邊同除)a.當(dāng)只與有關(guān)時，

二、積分因子的求法1.公式法:求解不容易特殊地:(兩邊同除)a.當(dāng)19b.當(dāng)只與有關(guān)時，b.當(dāng)只與有關(guān)時，202.觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分表達(dá)式2.觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分表達(dá)式21一般可選用的積分因子有等?？蛇x用的積分因子有可選用的積分因子有一般可選用的積分因子有等?？蛇x用的積分因子有可選用的積分因子22例2解則原方程成為.的通解求微分方程1.公式法:原方程的通解為例2解則原方程成為.的通解求微分方程1.公式法:原方程的通解232.觀察法:將方程左端重新組合,有可選用