初中數(shù)學(xué)湘教版九上4.1 第3課時(shí) 余弦 課件

4.1

正弦和余弦

第4章銳角三角函數(shù)第3課時(shí)余弦問題引入ABC

如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，當(dāng)銳角A確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比就隨之確定.

此時(shí)，其他邊之間的比是否也確定了呢？余弦合作探究

如圖，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，則

成立嗎？為什么？ABCDEF我們來試著證明前面的問題：∵∠A=∠D，∠C

=∠F

=90°，∴∠B

=∠E．從而sinB=sinE，因此ABCDEF

在有一個(gè)銳角等于

α

的所有直角三角形中，角

α的鄰邊與斜邊的比值是一個(gè)常數(shù)，與直角三角形的大小無關(guān)．如右圖所示，在直角三角形中，我們把銳角

α

的鄰邊與斜邊的比叫作角

α

的余弦，記作

cos

α，即歸納：ABC斜邊鄰邊角

α

的鄰邊斜邊cosα

=α

從上述探究和證明過程看出，對(duì)于任意銳角

α，有cosα=sin(90°－α)．從而有sinα=cos(90°－α)．2.

求cos

30°，cos

45°，cos

60°

的值．解：cos30°

=sin(90°－30°)=sin60°=；cos60°

=sin(90°－60°)=sin30°

=cos45°

=sin(90°－45°)=sin45°=例1在Rt△ABC中，∠C

=

90°，如圖，已知

AC=3，AB=6，求sinA和cosB.┌BCA36想一想:我們發(fā)現(xiàn)sinA=cosB，其中有沒有什么內(nèi)有的關(guān)系?解：在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=3，

求：AB，sinB.10┐ABC變式：如圖：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，思考：我們?cè)俅伟l(fā)現(xiàn)sinA=cosB，其中的內(nèi)在聯(lián)系你可否掌握?從上述探究和證明過程看出，對(duì)于任意銳角

α，有

cosα=sin(90°－α)從而有

sinα=cos(90°－α)如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，歸納總結(jié)sinA=cosB例2

計(jì)算：cos

30°－

cos

60°

+cos245°解:原式

典例精析解析：圖中無直角三角形，需構(gòu)造直角三角形，然后結(jié)合勾股定理，利用銳角三角函數(shù)的定義求解．過點(diǎn)

P

作

PH⊥x

軸，垂足為點(diǎn)

H，如圖.在

Rt△OPH

中，∵

PH＝b，OH＝a，例3如圖，已知點(diǎn)

P

的坐標(biāo)是

(a，b)，則

cos

α

等于(

)C

也可以過點(diǎn)

P

作

PM⊥y

軸于點(diǎn)

M，注意點(diǎn)

P

(a，b)到

x

軸的距離是

|

b

|，到

y

軸的距離是

|

a

|，若點(diǎn)

P

不在第一象限，則要注意字母的符號(hào)．方法總結(jié)如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，知識(shí)拓展1.sinA、cosA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形).2.sinA、cosA是一個(gè)比值（數(shù)值）.3.sinA、cosA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無關(guān).用計(jì)算器求銳角余弦值或根據(jù)余弦值求銳角

對(duì)于一般銳角

α（30°，45°，60°除外）的余弦值，我們可用計(jì)算器來求.例如求

50°角的余弦值，可在計(jì)算器上依次按鍵，顯示結(jié)果為

0.6427…如果已知余弦值，我們也可以利用計(jì)算器求出它的對(duì)應(yīng)銳角.例如，已知

cos

α

=0.8661，依次按鍵，顯示結(jié)果為29.9914…，表示角

α

約等于30°.1.如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為m，∠A

=

35°，則直角邊BC的長(zhǎng)是

()A.B.C.D.AABC2.隨著銳角α的增大，cosα的值()A.增大B.減小

C.不變

D.不確定B當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，cosα的值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)3.如圖，在Rt△ABC中，銳角

A

的對(duì)邊和鄰邊同時(shí)擴(kuò)大100倍，sinA的值（

）A.擴(kuò)大100倍B.縮小100倍C.不變

D.不能確定4.已知∠A，∠B為銳角(1)若∠A=∠B，則sinA

sinB；(2)若sinA=sinB，則∠A

∠B.ABC┌C==5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)

A的坐標(biāo)為(10，0)，點(diǎn)

B在第一象限內(nèi)，BO=5，sin∠BOA＝(1)求點(diǎn)

B的坐標(biāo)；

(2)求cos∠BAO的值．ABH解：(1)如圖所示，作

BH⊥OA，垂足為

H．在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝，∴BH＝3，OH＝4，∴點(diǎn)

B的坐標(biāo)為(4，3)．5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)

A的坐標(biāo)為(10，0)，點(diǎn)

B在第一象限內(nèi)，BO=5，sin∠BOA＝

(2)求cos∠BAO的值．

(2)∵