“平行線”涉及的27個考點(diǎn)梳理 含各類角度考察（附word）

平行線（證明）模塊涉及的27個考點(diǎn)梳理真假命題的判斷如果命題的條件成立，那么結(jié)論也成立．像這樣的命題叫做真命題，命題的條件成立時，不能保證結(jié)論總是正確的，也就是說結(jié)論不成立，這樣的命題叫做假命題。下列各命題中，假命題是（）A．有兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等 B．有兩邊及第三邊上高對應(yīng)相等的兩個三角形全等 C．有兩角及其中一角的平分線對應(yīng)相等的兩三角形全等 D．有兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩三角形全等【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷即可．【解析】A、有兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等兩個三角形全等，可利用證兩步全等方法求得，是真命題；B、高有可能在內(nèi)部，也有可能在外部，是不確定的，不符合全等的條件，原命題是假命題；C、有兩角及其中一角的平分線對應(yīng)相等的兩三角形全等，可利用證兩步全等的方法求得，是真命題；D、有兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩三角形全等，可利用證兩步全等的方法求得，是真命題；選B．【小結(jié)】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是全等三角形的判定．下列四個命題：①相等的兩個角是對頂角；②同角的補(bǔ)角相等；③若PA+PB＝AB，則點(diǎn)P必在線段AB上；④兩個形狀相同的三角形是全等三角形．其中真命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)對頂角、補(bǔ)角的概念、線段的概念、全等三角形的概念判斷即可．【解析】①相等的兩個角不一定是對頂角，本小題說法是假命題；②同角的補(bǔ)角相等，本小題說法是真命題；③若PA+PB＝AB，則點(diǎn)P必在線段AB上，本小題說法是真命題；④兩個形狀相同、大小相等的三角形是全等三角形，本小題說法是假命題；選B．【小結(jié)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．

下列命題中真命題的個數(shù)有（）（1）經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行（2）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直（3）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角的平分線互相垂直（4）過直線m外一點(diǎn)P向這條直線作垂線段，這條垂線段就是點(diǎn)P到直線m的距離（5）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)平行公理、垂直的概念、點(diǎn)到直線的距離的概念判斷即可．【解析】（1）經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行，本小題說法是假命題；（2）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，本小題說法是假命題；（3）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角的平分線互相平行，本小題說法是假命題；（4）過直線m外一點(diǎn)P向這條直線作垂線段，這條垂線段的長度就是點(diǎn)P到直線m的距離，本小題說法是假命題；（5）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，本小題說法是真命題；選A．【小結(jié)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．下列命題：①如果a＞b，那么|a|＞|b|：②如果ac2＞bc2，那么a＞b；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)；④若∠α與∠β互余，∠β與∠γ互余，則∠α與∠γ互余．真命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)絕對值、不等式的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、同角的余角相等分別對各小題進(jìn)行判斷后即可求解．【解析】①當(dāng)a＝1，b＝﹣2時，|a|＝1，|b|＝2，|a|＜|b|，故此命題假命題；②如果ac2＞bc2，那么a＞b；真命題；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)；假命題；④若∠α與∠β互余，∠β與∠γ互余，則∠α與∠γ相等，故此命題是假命題；真命題的個數(shù)為1個；選B．【小結(jié)】本題考查了命題與定理，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉反例命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可。對假命題“若a＞b，則a2＞b2”舉反例，正確的反例是（）A．a(chǎn)＝﹣1，b＝0 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣1 C．a(chǎn)＝2，b＝1 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2【分析】根據(jù)要證明一個結(jié)論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個命題是假命題．【解析】用來證明命題“若a＞b，則a2＞b2是假命題的反例可以是：a＝﹣1，b＝﹣2，因為﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，所以D符合題意【小結(jié)】此題主要考查了利用舉例法證明一個命題錯誤，要說明數(shù)學(xué)命題的錯誤，只需舉出一個反例即可這是數(shù)學(xué)中常用的一種方法．舉反例說明“一個銳角的余角小于這個角”是假命題，下面錯誤的是（）A．設(shè)一個角是45°，它的余角是45°，但45°＝45° B．設(shè)一個角是60°，它的余角是30°，但30°＜60° C．設(shè)一個角是30°，它的余角是60°，但60°＞30° D．設(shè)一個角是10°，它的余角是80°，但80°＞10°【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而進(jìn)行判斷；舉反例時，滿足題設(shè)，不滿足結(jié)論即可．【解析】A、設(shè)一個角是45°，它的余角是45°，但45°＝45°，能說明“一個銳角的余角小于這個角”是假命題，故正確；B、設(shè)一個角是60°，它的余角是30°，但30°＜60°，不能說明“一個銳角的余角小于這個角”是假命題，故錯誤；C、設(shè)一個角是30°，它的余角是60°，但60°＞30°，能說明“一個銳角的余角小于這個角”是假命題，故正確；D、設(shè)一個角是10°，它的余角是80°，但80°＞10°，能說明“一個銳角的余角小于這個角”是假命題，故正確；選B【小結(jié)】此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．舉反例證明“互為補(bǔ)角的兩個角都是直角”為假命題．【分析】熟記反證法的步驟，然后進(jìn)行判斷即可．【解析】∵兩個不相等的角互為補(bǔ)角，∴這兩個角一個角大于90°，一個角小于90°，即一個銳角，一個鈍角，故互為補(bǔ)角的兩個角都是直角，是假命題；【小結(jié)】本題結(jié)合角的比較考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．閱讀下面材料：判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子（反例），它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了．例如要判斷命題“相等的角是對頂角”是假命題，可以舉出如下反例：如圖，OC是∠AOB的平分線，∠1＝∠2，但它們不是對頂角．請你舉出一個反例說明命題“如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等”是假命題．（要求：畫出相應(yīng)的圖形，并用文字語言或符號語言表述所舉反例）【分析】分別列舉滿足條件的題設(shè)，但不滿足題設(shè)的結(jié)論即可．【解析】如圖，∠1+∠2＝180°；如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．【小結(jié)】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．推理與論證媽媽讓小明給客人燒水沏茶，洗開水壺要用1分鐘，燒開水要用15分鐘，洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，放茶葉要用2分鐘，給同學(xué)打電話要用1分鐘．為使客人早點(diǎn)喝上茶，小明最快可在幾分鐘內(nèi)完成這些工作？（）A．19分鐘 B．18分鐘 C．17分鐘 D．16分鐘【分析】利用已知得出燒水時間里完成洗茶壺、洗茶杯、再放茶葉、給同學(xué)打電話最節(jié)省時間進(jìn)而得答案．【解析】小明應(yīng)先洗開水壺用1分鐘，再燒開水用15分鐘，在燒水期間，洗茶壺用1分鐘，洗茶杯用1分鐘，放茶葉用2分鐘，給同學(xué)打電話用1分鐘，一共用5分鐘，不用算入總時間，故為使客人早點(diǎn)喝上茶，小明最快可在16分鐘內(nèi)完成這些工作．選D．【小結(jié)】此題主要考查了推理與論證，合理安排時間是解題關(guān)鍵．某班對道德與法治，歷史，地理三門程的選考情況進(jìn)行調(diào)研，數(shù)據(jù)如下：其中道德與法治，歷史兩門課程都選了的有3人，歷史，地理兩門課程都選了的有4人，該班至多有多少學(xué)生（）A．41 B．42 C．43 D．44科目道德與法治歷史地理選考人數(shù)（人）191318【分析】根據(jù)題意得，只選道德與法治有[19﹣3﹣y]＝（16﹣y）人，只選歷史的有[13﹣3﹣（4﹣x）]＝（6+x）人，只選地理的有（18﹣4﹣y）＝（14﹣y）人，即可得出結(jié)論．【解析】如圖，設(shè)三門課都選的有x人，同時選擇地理和道德與法治的有y人，根據(jù)題意得，只選道德與法治有[19﹣3﹣y]＝（16﹣y）人，只選歷史的有[13﹣3﹣（4﹣x）]＝（6+x）人，只選地理的有（18﹣4﹣y）＝（14﹣y）人，即：總?cè)藬?shù)為16﹣y+y+14﹣y+4﹣x+6+x+3＝43﹣y當(dāng)同時選擇地理和道德與法治的有0人時，總?cè)藬?shù)最多，最多為43人，選C．【小結(jié)】此題是推理論證的題目，主要考查了學(xué)生的推理能力，表示出只選一種科目的人數(shù)是解本題關(guān)鍵．

甲乙丙丁四人的車分別為白色、銀色、藍(lán)色和紅色．在問到他們各自車的顏色時，甲說：“乙的車不是白色．”乙說：“丙的車是紅色的．”丙說：“丁的車不是藍(lán)色的．”丁說：“甲、乙、丙三人中有一個人的車是紅色的，而且只有這個人說的是實(shí)話．”如果丁說的是實(shí)話，那么以下說法正確的是（）A．甲的車是白色的，乙的車是銀色的 B．乙的車是藍(lán)色的，丙的車是紅色的 C．丙的車是白色的，丁的車是藍(lán)色的 D．丁的車是銀色的，甲的車是紅色的【分析】先判斷出乙和丙的車不是紅色，進(jìn)而判斷出甲的車是紅色，再根據(jù)丙的說法不是實(shí)話，判斷出丁的車是藍(lán)色，再根據(jù)甲的說法判斷出丙和乙的車的顏色．【解析】∵丁說：“甲、乙、丙三人中有一個人的車是紅色的，而且只有這個人說的是實(shí)話．”如果丁說的是實(shí)話，假設(shè)乙的車是紅色，∴乙的說法是實(shí)話，∴丙的車也是紅色，和乙的車是紅色矛盾，假設(shè)丙的車是紅色，∴丙的說法是實(shí)話，而乙說：“丙的車是紅色的．”，∴乙的說法是實(shí)話，∴有兩人說的是實(shí)話，與只有一個人是說法是實(shí)話矛盾，∴只有甲的車是紅色，∴甲的說法是實(shí)話，∴丙的說法不是實(shí)話，∵丙說：“丁的車不是藍(lán)色的．”∴丁的車是藍(lán)色，∴乙和丙的車一個是白色，一個是銀色，∵甲說：“乙的車不是白色．”且甲的說法是實(shí)話，∴丙的車是白色，乙的車是銀色，即：甲的車是紅色，乙的車是銀色，丙的車是白色，丁的車是藍(lán)色，選C．【小結(jié)】此題是推理與論證題目，解決此類題目先假設(shè)某個說法正確，然后根據(jù)題意進(jìn)行分析推理，看是否有矛盾，進(jìn)而得出結(jié)論，

A，B，C，D四個隊賽球，比賽之前，甲和乙兩人猜測比賽的成績次序：甲：從第一名開始，名次順序是A，D，C，B；乙：從第一名開始，名次順序是A，C，B，D，比賽結(jié)果，兩人都猜對了一個隊的名次，已知第一名是B隊，請寫出四個隊的名次順序是（）A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C【分析】兩人都猜對了一個隊的名次，已知兩隊猜的第一名是錯誤的，因此甲猜的第四名和乙猜的三名也是錯誤的．因此甲猜的第三項和乙猜的第四項是正確的，即這四個隊的名次順序為B、A、C、D．【解析】由于甲、乙兩隊都猜對了一個隊的名次，且第一名是B隊．那么甲、乙的猜測情況可表示為：甲：錯、錯、對、錯；乙：錯、錯、錯、對．因此結(jié)合兩個人的猜測情況，可得出正確的名次順序為B、A、C、D．選A．【小結(jié)】解決本題的關(guān)鍵，是要綜合考慮兩個人的猜測情況，以免造成多解和錯解．平行線公理及其推論平行線公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和已知直線平行。下列說法中，正確的是（）A．兩條不相交的直線叫平行線B．一條直線的平行線有且只有一條 C．若直線a∥b，a∥c，則b∥c D．兩條直線不相交就平行【分析】根據(jù)平行線的定義判斷A；根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷B；根據(jù)平行公理的推論判斷C；根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系判斷D．【解析】A、在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，故本選項錯誤；B、一條直線的平行線有無數(shù)條，故本選項錯誤；C、若直線a∥b，a∥c，則b∥c，滿足平行公理的推論，故本選項正確；D、在同一平面內(nèi)兩條直線不相交就平行，故本選項錯誤．選C．【小結(jié)】本題考查平行線的定義、性質(zhì)及平行公理，熟練掌握公理和概念是解決本題的關(guān)鍵．已知在同一平面內(nèi)，有三條直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則直線a與直線c之間的位置關(guān)系是（）A．相交 B．平行 C．垂直 D．平行或相交【分析】根據(jù)平行公理的推論直接判斷直線c與直線a的位置關(guān)系即可．【解析】∵在同一平面內(nèi)，直線a∥b，直線b∥c，∴直線c與直線a的位置關(guān)系是：a∥c，選B．【小結(jié)】此題主要考查了平行公理的推論，熟練記憶推論內(nèi)容是解題關(guān)鍵．下列說法正確的是（）A．a(chǎn)，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a∥c B．a(chǎn)，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．a(chǎn)，b，c是直線，且a∥b，b⊥c，則a∥c D．a(chǎn)，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a⊥c【分析】根據(jù)“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”和“在同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行”解答即可．【解析】A、正確，根據(jù)“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”．B、錯誤，因為“在同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行”．C、錯誤，a，b，c是直線，且a∥b，b⊥c則a⊥c；D、錯誤，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a∥c．選A．【小結(jié)】此題考查的是平行線的判定和性質(zhì)定理，比較簡單．

下列語句：①不相交的兩條直線叫平行線②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行③如果線段AB和線段CD不相交，那么直線AB和直線CD平行④如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行⑤過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用平行公理以及其推論分析得出答案．【解析】①不相交的兩條直線叫平行線，必須是在同一平面內(nèi)，故錯誤；②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行，正確③如果線段AB和線段CD不相交，那么直線AB和直線CD平行，錯誤；④如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行，正確；⑤過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故錯誤，選B．【小結(jié)】此題主要考查了平行公理及推論，正確把握定義是解題關(guān)鍵．

完善證明過程完成下面推理：如圖，已知：DE∥BC，DF、BE分別平分∠ADE、∠ABC，求證：∠FDE＝∠DEB證明：∵DE∥BC（已知）∴∠ADE＝∠（）∵DF、BE分別平分∠ADE、∠ABC，（已知）∴∠ADF=12∠ABE=12∠（∴∠ADF＝∠ABE∴DF∥（）∴∠FDE＝∠DEB（）【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADE＝∠ABC，根據(jù)角平分線定義得出∠ADF=12∠ADE，∠ABE=12∠ABC，推出∠ADF＝∠ABE，根據(jù)平行線的判定得出【解析】∵DE∥BC（已知），∴∠ADE＝∠ABC（兩直線平行，同位角相等），∵DF、BE分別平分ADE、∠ABC，∴∠ADF=12∠∠ABE=12∠∴∠ADF＝∠ABE，∴DF∥BE（同位角相等，兩直線平行），∴∠FDE＝∠DEB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能熟記平行線的性質(zhì)和判定定理是解此題的關(guān)鍵．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．補(bǔ)全證明過程：（括號內(nèi)填寫理由）一條直線分別與直線BE、直線CE、直線BF、直線CF相交于A、G、H、D，如果∠1＝∠2，∠A＝∠D，求證：∠B＝∠C．證明：∵∠1＝∠2（），∠1＝∠3，（）∴∠2＝∠3，（）∴CE∥BF，（）∴∠C＝∠4，（）又∵∠A＝∠D，（）∴AB∥，（）∴∠B＝∠4，（）∴∠B＝∠C．（）【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可．【證明】∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（對頂角相等），∴∠2＝∠3（等量代換），∴CE∥BF（同位角相等，兩直線平行），∴∠C＝∠4（兩直線平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知），∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠B＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠B＝∠C（等量代換）．故答案為：對頂角相等；等量代換；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；已知；CD；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【小結(jié)】此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理．

幾何說理填空：如圖，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，F(xiàn)G⊥AC于點(diǎn)G，H是AB上一點(diǎn)，HE⊥AC于點(diǎn)E，∠1＝∠2，求證：DE∥BC．證明：連接EF∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°（）．∴∥（）．∴∠3＝∠（）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4．即∠DEF＝∠EFC∴DE∥BC（）．【分析】要證明DE∥FC，可證明∠DEF＝∠EFC，由于∠1＝∠2，可證明∠3＝∠4，需證明EH∥FG，可通過垂直的性質(zhì)得到．【證明】連接EF∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°（垂線的性質(zhì)）．∴FG∥HE（同位角相等，兩直線平行）．∴∠3＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4．即∠DEF＝∠EFC∴DE∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的性質(zhì)和判定并學(xué)會分析是解決本題的關(guān)鍵．

如圖：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延長線于點(diǎn)E，AF平分∠BAD交DC的延長線于點(diǎn)F，若∠ABC＝2∠E，則∠E+∠F＝90°，完成下列推理過程．證明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°∴∠ADF＝∠BCF（）∴AD∥BC（）∵BE平分∠ABC∴∠ABC＝2∠ABE（）又∵∠ABC＝2∠E∴∠ABE＝∠E∴AB∥EF（）∵AD∥BC∴∠BAD+∠ABC＝180°（）∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD∴∠ABE=12∠ABC，∠BAF=∴∠ABE+∠BAF=12∠ABC+12∠BAD=∵AB∥EF（）∴∠BAF＝∠F（）∵∠ABE＝∠E∴∠E+∠F＝90°（）

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，同角的補(bǔ)角相等以及等量代換，結(jié)合圖形直觀得出答案．【證明】∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°∴∠ADF＝∠BCF（同角的補(bǔ)角相等）∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）∵BE平分∠ABC∴∠ABC＝2∠ABE（角平分線定義）又∵∠ABC＝2∠E∴∠ABE＝∠E∴AB∥EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∵AD∥BC∴∠BAD+∠ABC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）BE平分∠ABC，AE平分∠BAD∴∠ABE=12∠ABC，∠BAF=∴∠ABE+∠BAF=12∠ABC+12∠BAD=∵AB∥EF（己證）∴∠BAF＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∠ABE＝∠E∴∠E+∠F＝90°（等量代換）【小結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的判定方法和性質(zhì)是正確解答的前提．

同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷直線AB，CD被第三條直線EF所截。這三條直線形成了兩個頂點(diǎn)，圍繞兩個頂點(diǎn)的8個角之間有三種特殊關(guān)系：同位角：沒有公共頂點(diǎn)的兩個角，它們在直線AB,CD的同側(cè)，在第三條直線EF的同旁（即位置相同），這樣的一對角叫做同位角；內(nèi)錯角：沒有公共頂點(diǎn)的兩個角，它們在直線AB,CD之間，在第三條直線EF的兩旁（即位置交錯），這樣的一對角叫做內(nèi)錯角；同旁內(nèi)角：沒有公共頂點(diǎn)的兩個角，它們在直線AB,CD之間，在第三條直線EF的同旁，這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。如圖，下列說法中錯誤的是（）A．∠3和∠5是同位角 B．∠4和∠5是同旁內(nèi)角 C．∠2和∠4是對頂角 D．∠2和∠5是內(nèi)錯角【分析】根據(jù)同位角，同旁內(nèi)角，對頂角以及內(nèi)錯角的定義進(jìn)行判斷．【解析】A、∠3和∠5是同位角，故本選項不符合題意．B、∠4和∠5是同旁內(nèi)角，故本選項不符合題意．C、∠2和∠4是對頂角，故本選項不符合題意．D、∠2和∠5不是內(nèi)錯角，故本選項符合題意．選D．【小結(jié)】考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角以及對頂角．解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．

同學(xué)們可仿照圖用雙手表示“三線八角”圖形（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．下面三幅圖依次表示（）A．同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角 B．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角 C．同位角、對頂角、同旁內(nèi)角 D．同位角、內(nèi)錯角、對頂角【分析】兩條線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個角分別在截線異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角互為內(nèi)錯角；兩個角都在截線同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系一對角互為同旁內(nèi)角．據(jù)此作答即可．【解析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個圖是同位角，第二個圖是內(nèi)錯角，第三個圖是同旁內(nèi)角,選B．【小結(jié)】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們．如圖，同位角共有（）對．A．6 B．5 C．8 D．7【分析】根據(jù)同位角的概念解答即可．【解析】同位角有5對，∠4與∠7，∠3與∠8，∠1與∠7，∠5與∠6，∠2與∠9，∠1與∠3，選A．【小結(jié)】此題考查同位角，關(guān)鍵是根據(jù)同位角解答．

如圖，下列結(jié)論正確的是（）A．∠4和∠5是同旁內(nèi)角 B．∠3和∠2是對頂角 C．∠3和∠5是內(nèi)錯角 D．∠1和∠5是同位角【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角，對頂角，內(nèi)錯角以及同位角的定義解答．【解析】A、∠4和∠5是鄰補(bǔ)角，不是同旁內(nèi)角，故本選項錯誤．B、∠3和（∠1+∠2）是對頂角，故本選項錯誤．C、∠3和∠5是內(nèi)錯角，故本選項正確．D、∠1和（∠1+∠2）是同位角，故本選項錯誤．選C．【小結(jié)】考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角以及對頂角的定義，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．

利用平行線的性質(zhì)求角兩條直線平行則同位角、內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ).如圖所示，將含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角頂點(diǎn)放在相互平行的兩條直線其中一條上，若∠1＝38°，則∠2的度數(shù)（）A．28° B．22° C．32° D．38°【分析】延長AB交CF于E，求出∠ABC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠AEC，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠2＝∠AEC，代入求出即可．【解析】如圖，延長AB交CF于E，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠1＝38°，∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝22°，∵GH∥EF，∴∠2＝∠AEC＝22°，選B．【小結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，平行線性質(zhì)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生的推理能力．解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等．

如圖，把三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（）A．68° B．58° C．48° D．32°【分析】因直尺和三角板得AD∥FE，∠BAC＝90°；再由AD∥FE得∠2＝∠3；平角構(gòu)建∠1+∠BAC+∠3＝180°得∠1+∠3＝90°，已知∠1＝32°可求出∠3＝58°，即∠2＝58°．【解析】如圖所示：∵AD∥FE，∴∠2＝∠3，又∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠BAC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠1＝32°，∴∠3＝58°，∴∠2＝58°，選B．【小結(jié)】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，直角，平角和角的和差相關(guān)知識的應(yīng)用，重點(diǎn)是平行線的性質(zhì)．

如圖，某江段江水流向經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)拐彎后與原來方向相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．35° D．50°【分析】由題意可得AB∥DE，過點(diǎn)C作CF∥AB，則CF∥DE，由平行線的性質(zhì)可得∠BCF+∠ABC＝180°，所以能求出∠BCF，繼而求出∠DCF，再由平行線的性質(zhì)，即可得出∠CDE的度數(shù)．【解析】由題意得，AB∥DE，如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB，則CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC＝180°，∴∠BCF＝180°﹣125°＝55°，∴∠DCF＝75°﹣55°＝20°，∴∠CDE＝∠DCF＝20°．選A．【小結(jié)】本題考查的知識點(diǎn)是平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過C點(diǎn)先作AB的平行線，由平行線的性質(zhì)求解．

將AD與BC兩邊平行的紙條ABCD按如圖所示折疊，則∠1的度數(shù)為（）A．72° B．45° C．56° D．60°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠C'EF＝62°，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【解析】∵一張長方形紙條ABCD折疊，∴∠C'EF＝∠FEC＝62°，∵AD∥BC，∴∠1＝∠C'FB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，選C．【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)、翻折變換（折疊問題）．觀察圖形，掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三角形內(nèi)角和與平行線如圖，將一副三角板如圖放置，若AE∥BC，則∠BAD＝（）A．90° B．85° C．75° D．65°【分析】利用平行線的性質(zhì)求出∠ADB，再利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題【解析】∵AE∥BC，∴∠ADB＝∠DAE＝45°，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，選C．【小結(jié)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．一副三角板如圖放置，點(diǎn)D在CB的延長線上，EF∥CD，∠C＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠EFD＝30°，則∠DFB＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】直接利用三角板的特點(diǎn)，結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠BFE＝45°，進(jìn)而得出答案．【解析】由題意可得：∠EFD＝30°，∠ABC＝45°，∵EF∥CD，∴∠BFE＝∠ABC＝45°，∴∠DFB＝45°﹣30°＝15°，選A．【小結(jié)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BFE的度數(shù)是解題關(guān)鍵．如圖，△ABC是一塊直角三角板，∠C＝90°，∠A＝30°，現(xiàn)將三角板疊放在一把直尺上，AC與直尺的兩邊分別交于點(diǎn)D、E，AB與直尺的兩邊分別交于點(diǎn)F、G，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠1＝∠DFG＝40°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠2的度數(shù)．【解析】∵DF∥EG，∴∠1＝∠DFG＝40°，又∵∠A＝30°，∴∠2＝∠A+∠DFG＝30°+40°＝70°，選D．【小結(jié)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．

如圖，直線m∥n，△ABC的頂點(diǎn)B，C分別在直線n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為（）A．140° B．130° C．120° D．110°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3的度數(shù)，再由∠ACB＝90°得出∠4的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義即可得出結(jié)論．【解析】如圖：∵m∥n，∠1＝30°，∴∠3＝∠1＝30°．∵∠ACB＝90°，∴∠4＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣30°＝60°，∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣60°＝120°．選C．【小結(jié)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．

三角形內(nèi)角和與角平分線如圖，在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB．（Ⅰ）若∠A＝60°，則∠BOC的度數(shù)為；（Ⅱ）若∠A＝100°，則∠BOC的度數(shù)；（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度數(shù)，并說明理由．【分析】（Ⅰ）由三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義得出∠CBO+∠BCO＝（180°﹣∠A），再由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BOC的度數(shù)．（Ⅱ）和（Ⅲ）方法同（Ⅰ）．【解析】（Ⅰ）∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，∠A＝60°，∴∠CBO+∠BCO＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣60°＝120°；故答案為：120°；（Ⅱ）同理，若∠A＝100°，則∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝140°，故答案為140°；（Ⅲ）同理，若∠A＝α，則∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+．【小結(jié)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．

如圖，AD是△ABC的高線，AE是角平分線，若∠BAC：∠B：∠C＝6：3：1，求∠DAE的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程即可得到結(jié)論．【解析】∵∠BAC：∠B：∠C＝6：3：1，∴設(shè)∠BAC＝6α，∠B＝3α，∠C＝α，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴6α+3α+α＝180°，∴α＝18°，∴∠BAC＝108°，∠B＝54°，∠C＝18°，∵AD是△ABC的高線，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°﹣54°＝36°，∵AE是角平分線，∴∠BAE＝BAC＝108°＝54°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣36°＝18°．【小結(jié)】本題主要考查了三角形高線、角平分線以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．

如圖，AE、BF分別為△ABC的角平分線，它們相交于點(diǎn)O．（1）試說明∠BOA＝90°+∠C；（2）AD是△ABC的高，∠BOA＝115°，∠BAC＝60°時，求∠DAE的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）的度數(shù)，由角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（2）先根據(jù)角平分線的定義可得∠CAE的度數(shù)，求出∠C的度數(shù)，根據(jù)高線和直角三角形的兩銳角互余可得結(jié)論．【解析】（1）∵∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C，∵AE、BF是角平分線，∴∠EAB＝∠BAC，∠FAB＝，∴∠EAB+∠FAB＝＝＝90，∴∠AOB＝180°﹣（90）＝90．（2）∵∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，∴∠CAE＝＝30°，∵∠BOA＝115°，，∴∠C＝50°，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝40°﹣30°＝10°．【小結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高線與角平分線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如圖2，∠CAB與∠BD的平分線AP、DP相交于點(diǎn)P，求證：∠B+∠C＝2∠P．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和解答即可．【證明】（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）在AP、CD相交線中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，在AB、DP相交線中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，∵AP、DP分別平分∠CAB、∠BDC，∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，∴∠B+∠C＝2∠P．【小結(jié)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了角平分線的定義．

三角形外角性質(zhì)與平行線如圖，AB∥CD，∠B＝2∠D，∠E＝22°，則∠D的度數(shù)為（）A．22° B．44° C．68° D．30°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解析】∵AB∥CD，∴∠B＝∠EFC，∴∠E＝∠EFC﹣∠D＝∠B﹣∠D＝2∠D﹣∠D＝∠D，∵∠E＝22°，∴∠D＝22°，選A．【小結(jié)】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等定理的應(yīng)用．

已知l1∥l2，一塊含30°角的直角三角板如圖所示放置，∠2＝32°，那么∠1等于（）A．28° B．32° C．20° D．16°【分析】依據(jù)對頂角以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠4的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得出∠1的度數(shù)．【解析】∵∠C＝90°，∠2＝∠CFE＝32°，∴∠4＝58°，∵l1∥l2，∴∠3＝∠4＝58°，∵∠3是△ADG的外角，∴∠1＝∠3﹣∠A＝58°﹣30°＝28°，選A．【小結(jié)】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的運(yùn)用，用到的知識點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等．

如圖，直線AE∥DF，若∠ABC＝120°，∠DCB＝95°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．35° D．不能確定【分析】利用平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可．【解析】∵AE∥DF，∴∠3+∠4＝180°，∵∠ABC＝∠1+∠3＝120°，∠DCB＝∠2+∠4＝95°，∴∠1+∠3+∠2+∠4＝120°+95°，∴∠1+∠2＝215°﹣180°＝35°，選C．【小結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．

如圖，已知直線EC∥BD，直線CD分別與EC，BD相交于C，D兩點(diǎn)．在同一平面內(nèi)，把一塊含30°角的直角三角尺ABD（∠ADB＝30°，∠ABD＝90°）按如圖所示位置擺放，且AD平分∠BAC，則∠ECA＝（）A．15° B．2 C．25 D．30°【分析】如圖，延長BA交EC于H．利用平行線的性質(zhì)求出∠AHC＝90°，再利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可．【解析】如圖，延長BA交EC于H．∵EC∥BD，∴∠CHA+∠ABD＝180°，∵∠ABD＝90°，∴∠AHC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝120°，∵∠BAC＝∠AHC+∠ECA，∴∠ECA＝30°，選D．【小結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

三角形的外角性質(zhì)與角平分線如圖，AC平分∠DCE，且與BE的延長線交于點(diǎn)A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，則∠BEC＝．（直接在橫線上填寫度數(shù)）（2）小明經(jīng)過改變∠A，∠B的度數(shù)進(jìn)行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三個角之間存在固定的數(shù)量關(guān)系，請你用一個等式表示出這個關(guān)系，并進(jìn)行證明．【分析】（1）依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠ACD＝∠A+∠B＝65°，依據(jù)AC平分∠DCE，可得∠ACE＝∠ACD＝65°，進(jìn)而得出∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°；（2）依據(jù)AC平分∠DCE，可得∠ACD＝∠ACE，依據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，根據(jù)∠ACD＝∠A+∠B，即可得到∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．【解析】（1）∵∠A＝35°，∠B＝30°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝65°，又∵AC平分∠DCE，∴∠ACE＝∠ACD＝65°，∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°，故答案為：100°；（2）關(guān)系式為∠BEC＝2∠A+∠B．理由：∵AC平分∠DCE，∴∠ACD＝∠ACE，∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠B，∴∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．【小結(jié)】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題時注意：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．如圖，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分線，BF平分∠ABC交AE于點(diǎn)F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度數(shù)．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BAD的度數(shù)，得到∠BAC的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠CAM的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠MAE的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算即可．【解析】∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，∴∠BAC＝54°，∴∠MAC＝126°，∵AE是∠BAC外角的平分線，∴∠MAE＝∠MAC＝63°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝23°，∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．【小結(jié)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．

如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AC上，∠AEB＝∠ABC．（1）圖1中，作∠BAC的角平分線AD，分別交CB、BE于D、F兩點(diǎn)，求證：∠EFD＝∠ADC；（2）圖2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分線AD，分別交CB、BE的延長線于D、F兩點(diǎn)，試探究（1）中結(jié)論是否仍成立？為什么？【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠DAC，再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，進(jìn)而得到∠EFD＝∠ADC；（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠DAG，再根據(jù)等量代換可得∠FAE＝∠BAD，然后再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，進(jìn)而得∠EFD＝∠ADC．【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC；（2）探究（1）中結(jié)論仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD，∵∠FAE＝∠GAD，∴∠FAE＝∠BAD，∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC．【小結(jié)】此題主要考查三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．

探究：（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求證：∠P＝90°+∠A．（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果．（3）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、內(nèi)角和定理、角平分線的定義探求并證明．【證明】（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠A），根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；（2）∠A＝∠P，理由如下：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE．∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴∠ACP＝∠ABC+∠A，∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，∴∠A＝∠P．（3）∠P＝90°﹣∠A，理由如下：∵P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的平分線的交點(diǎn)，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠FBC+∠ECB）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣（∠A+180°）＝90°﹣∠A．【小結(jié)】考查角平分線定義，一個三角形外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角和以及補(bǔ)角定義以及三角形內(nèi)角和為180°，此類題解題的關(guān)鍵是找出角平分線平分的兩個角的和的度數(shù)，從而利用三角形內(nèi)角和定理求解．三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)小明把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，則∠1+∠2等于（）A．120° B．150° C．180° D．210°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)解答即可．【解析】如圖：∵∠1＝∠D+∠DOA，∠2＝∠E+∠EPB，∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，∴∠1+∠2＝∠D+∠E+∠COP+∠CPO＝∠D+∠E+180°﹣∠C＝30°+90°+180°﹣90°＝210°，選D．【小結(jié)】此題考查三角形內(nèi)角和，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)解答．如圖，五角星的頂點(diǎn)為A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．270° D．360°【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．【解析】如圖，由三角形的外角性質(zhì)得，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故選B．【小結(jié)】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．如圖，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（）A．360° B．300° C．180° D．240°【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠B+∠C＝∠CGE＝180°﹣∠1，∠D+∠E＝∠DFG＝180°﹣∠2，兩式相加再減去∠A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°可求解．【解析】∵∠B+∠C＝∠CGE＝180°﹣∠1，∠D+∠E＝∠DFG＝180°﹣∠2，∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝360°﹣（∠1+∠2+∠A）＝180°,選C．【小結(jié)】考查三角形的外角性質(zhì)：三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的內(nèi)角和定理．如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F為多少度（）A．360° B．720° C．540° D．240°【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根據(jù)鄰補(bǔ)角求出∠EOF，然后求解即可．【解析】如圖，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠BOF＝120°，∴∠3＝180°﹣120°＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．選D．【小結(jié)】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并把各角進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．

三角形的內(nèi)角和及外角的性質(zhì)：雙角平分線某校七年級數(shù)學(xué)小組對“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點(diǎn)P，則∠BPC＝°，延長BC至點(diǎn)E，∠ECQ的平分線與BP的延長線相交于點(diǎn)R，則∠R＝°．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）結(jié)合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解析】（1）∵PB、PC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°-12（∠＝180°-12（180°﹣∠＝180°﹣90°+12＝90°+12＝90°+＝122°．（2）∵BE是∠ABD的平分線，CE是∠ACB的平分線，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=1∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠∴∠BEC=12∠A（3）結(jié)論∠BQC＝90°-12∠∵∠CBM與∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分別是∠ABC與∠ACB外角的平分線，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB，＝180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A＝180°-12∠A-12（∠A+∠ABC＝180°-12∠A﹣＝90°-12∠（4）由（3）可知，∠BQC＝90°-12∠A＝90°-1由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+1由（2）可知，∠R=12∠BQC【小結(jié)】考查三角形外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形一個外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．閱讀下面的材料，并解決問題．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，圖1﹣3的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O，請直接求出下列角度的度數(shù)．如圖1，∠O＝；如圖2，∠O＝；如圖3，∠O＝；如圖4，∠ABC，∠ACB的三等分線交于點(diǎn)O1，O2，連接O1O2，則∠BO2O1＝．（2）如圖5，點(diǎn)O是△ABC兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，求證：∠O＝90°+12∠（3）如圖6，△ABC中，∠ABC的三等分線分別與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）由∠A的度數(shù)，在△ABC中，可得∠ABC與∠ACB的和，又BO、CO是內(nèi)角平分線或外角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)進(jìn)而可求得答案；（2）由∠A的度數(shù)，在△ABC中，可得∠ABC與∠ACB的和，又BO、CO是角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理可證得結(jié)論；（3）先分別求出∠ABC與∠ACB的度數(shù)，即可求得∠A的度數(shù)．【解析】（1）如圖1，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠=12（180°﹣∠=12（180°﹣60＝60°∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；如圖2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD∴∠OBC=12∠ABC，∠OCD=∵∠ACD＝∠ABC+∠A∴∠OCD=12（∠ABC+∠∵∠OCD＝∠OBC+∠O∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC=12∠ABC+12∠=12＝30°如圖3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∴∠OBC=12∠EBC，∠OCB=∴∠OBC+∠OCB=12（∠EBC+∠=12（∠A+∠ACB+∠=12（∠A+180=12（60°+180＝120°∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°如圖4，∵∠ABC，∠ACB的三等分線交于點(diǎn)O1，O2∴∠O2BC=23∠ABC，∠O2CB=23∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1∴∠O2BC+∠O2CB=23（∠ABC+∠=23（180°﹣∠=23（180°﹣60＝80°∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°∴∠BO2O1=12∠BO2C（2）證明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°-12（∠ABC+∠＝180°-12（180°﹣∠＝90°+12∠（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°或由題意，設(shè)∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°∴α＝20°，β＝25°∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，∴∠A＝70°．【小結(jié)】本題考查了利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行角的計算或證明，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理及其應(yīng)用，是解題的關(guān)鍵．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，請直接寫出∠A的度數(shù)．【分析】（1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠ABC+∠ACB，進(jìn)而求出∠BPC即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°-12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E【解析】（1）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，∴∠P＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12×（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠=12（360°﹣∠ABC﹣∠=12（180°+∠＝90°+12∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°-1（3）延長BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+=12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，那么分四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，則∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，則∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，則∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，則∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．綜上所述，∠A的度數(shù)是60°或120°或45°或135°．【小結(jié)】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識；靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）如圖①，在銳角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，請分別寫出∠A和∠D，∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系，并選擇其中一個說明理由；（2）如圖②，在銳角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角∠ACM，請分別寫出∠A和∠D，∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系，并選擇其中一個說明理由；（3）如圖③，在銳角△ABC中，BD和BE三等分外角∠PBC，CD和CE三等分外角∠QCB，請分別直接寫出∠A和∠D，∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和，列式計算即可；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和、外角和定理，及平角定義，列式計算即可．【解析】（1）∠D＝60°+23∠A，∠E＝120°+1∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BE三等分，CE三等分∠ACB，∴∠EBC=13∠ABC，∠ECB=1∴∠EBC+∠ECB=13（∠ABC+∠ACB）=13（180°﹣∠A）＝60°∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（60°-13∠A）＝120°（2）∠A和∠D，∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系為：∠D=23∠A，∠E=1∵BE三等分∠ABC，CE三等分外角∠ACM，∴∠EBC=13∠ABC，∠ECM=1∴∠E＝∠ECM﹣∠EBC=13（∠ACM﹣∠ABC）=1（3）∠D＝60°-23∠A，∠E＝120-1∵BE三等分外角∠PBC，CE三等分外角∠QCB，∴∠CBE=13∠CBP，∠BCE=∴∠E＝180°-13（∠CBP+∠＝180°-13（360°﹣∠ABC﹣∠＝180°﹣120°+13（180°﹣∠＝120-13【小結(jié)】本題考查三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．三角形的內(nèi)角和及外角的性質(zhì)：折疊問題如圖，將一張三角形紙片ABC的三角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC的A′處折痕為DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得結(jié)論．【解析】如圖，設(shè)AC交DA′于F．由折疊得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，選C【小結(jié)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是關(guān)鍵．如圖，在△ABC中，∠C＝36°，將△ABC沿著直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（）A．36° B．72° C．50° D．46°【分析】由折疊的性質(zhì)得到∠D＝∠C，再利用外角性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．【解析】由折疊的性質(zhì)得：∠D＝∠C＝36°，根據(jù)外角性質(zhì)得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，則∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+72°，則∠1﹣∠2＝72°．選B．【小結(jié)】此題考查了翻折變換（折疊問題）以及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）A．∠1+∠2＝2∠A B．∠1+∠2＝∠A C．∠A＝2（∠1+∠2） D．∠1+∠2=12【分析】根據(jù)折疊得出∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，求出2∠ADE＝180°﹣∠1，2∠AED＝180°﹣∠2，推出∠ADE＝90°-12∠1，∠AED＝90°-12∠2，在△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED【解析】如圖，延長BD和CE交于A′，∵把△ABC沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴2∠ADE＝180°﹣∠1，2∠AED＝180°﹣∠2，∴∠ADE＝90°-12∠1，∠AED＝90°-∵在△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE），∴∠A=12∠1+即2∠A＝∠1+∠2．選A．【小結(jié)】本題考查了折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是得出等式∠ADE＝90°-12∠1，∠AED＝90°-12∠2，∠A＝180°﹣（∠AED

現(xiàn)有一張△ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)，若沿直線DE折疊．研究（1）：如果折成圖①的形狀，使A點(diǎn)落在CE上，則∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系是研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠1+∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系是研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠1、∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．研究（4）：將問題1推廣，如圖④，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A、B落在四邊形EFCD的內(nèi)部時，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是．【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形的外角定理得出結(jié)論；（2）先根據(jù)折疊得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由兩個平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°與四個折疊角的差，化簡得結(jié)果；（3）利用兩次外角定理得出結(jié)論；（4）與（2）類似，由折疊得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，再由兩平角的和為360°得：∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，根據(jù)四邊形內(nèi)角和：∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，代入得結(jié)論．【解析】（1）如圖1，∠1＝2∠A，理由是：由折疊得：∠A＝∠DA′A，∵∠1＝∠A+∠DA′A，∴∠1＝2∠A；（2）如圖2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折疊得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；（3）如圖3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是：∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1，∴∠2＝∠A′+∠A+∠1，∵∠A＝∠A′，∴∠2＝2∠A+∠1，∴∠2﹣∠1＝2∠A；（4）如圖4，由折疊得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，∵∠DNA+∠BMC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，∵∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，∴∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）＝2（∠A+∠B）﹣360°，【小結(jié)】本題是折疊變換問題，思路分兩類：①一類是利用外角定理得結(jié)論；②一類是利用平角定義和多邊形內(nèi)角和相結(jié)合得結(jié)論；字母書寫要細(xì)心，角度比較復(fù)雜，是易錯題．

利用三角形的高和角平分線性質(zhì)求角如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖②，若把“AE⊥BC”變成“點(diǎn)F在DA的延長線上，F(xiàn)E⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），請用α、β的代數(shù)式表示∠DFE．【分析】（1）求出∠ADE的度數(shù)，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度數(shù)．（2）求出∠ADE的度數(shù)，利用∠DFE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度數(shù)．【解析】（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．（2）∵B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝90°-12（α+∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°-12（α+∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE=12（β﹣【小結(jié)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．如圖，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個動點(diǎn)，PE⊥AD交直線BC于點(diǎn)E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動時，求證：∠E=1【分析】（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠DAC的度數(shù)，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ADC的度數(shù)，進(jìn)一步求得∠E的度數(shù)；（2）根據(jù)第（1）小題的思路即可推導(dǎo)這些角之間的關(guān)系．【解析】（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝30°．∴∠ADC＝65°．又∵∠DPE＝90°，∴∠E＝25°（2）證明：∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝90°-12（∠B∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°-12（∠ACB﹣∠∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°．∴∠ADC+∠E＝90°．∴∠E＝90°﹣∠ADC，即∠E=12（∠ACB﹣∠【小結(jié)】此題考查三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義．掌握三角形的內(nèi)角和為180°，以及角平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

如圖，AD、AE分別是△ABC的高和角平分線，∠B＝50°，∠ACB＝80°．點(diǎn)F在BC的延長線上，F(xiàn)G⊥AE，垂足為H，F(xiàn)G與AB相交于點(diǎn)G．（1）求∠AGF的度數(shù)；（2）求∠DAE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)垂直的定義得到∠ADB＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角定理即可得到結(jié)論．【解析】（1）∵∠B＝50°，∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠BAE=1∵FG⊥AE，∴∠AHG＝90°，∴∠AGF＝180°﹣90°﹣25°＝65°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠AED＝∠B+∠BAE＝50°+25°＝75°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝15°．【小結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，垂直的定義，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．

△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．（1）如圖1，若∠B＝40°，∠C＝62°，請說明∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2（∠B＜∠C），試說明∠DAE、∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，延長AC到點(diǎn)F，∠CAE和∠BCF的角平分線交于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可求得∠BAC的度數(shù)，由AD是∠BAC的平分線，可得∠DAC的度數(shù)；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度數(shù)，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可求得∠BAC的度數(shù)，由AD是∠BAC的平分線，可得∠DAC的度數(shù)；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度數(shù)，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；（3）設(shè)∠ACB＝α，根據(jù)角平分線的定義得到∠CAG=12∠EAC=12（90°﹣α）＝45°-12α，∠BCG=1【解析】（1）∵∠B＝40°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC=12∠BAC＝39∵AE是BC邊上的高，在直角△AEC中，∵∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣62°＝28°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣28°＝11°；（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC=12∠BAC＝90°-12（∠B∵AE是BC邊上的高，在直角△AEC中，∵∠EAC＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°-12（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）=12（∠（3）設(shè)∠ACB＝α，∵AE⊥BC，∴∠EAC＝90°﹣α，∠BCF＝180°﹣α，∵∠CAE和∠BCF的角平分線交于點(diǎn)G，∴∠CAG=12∠EAC=12（90°﹣α）＝45°-12α，∠BCG=1∴∠G＝180°﹣∠GAC﹣∠ACG＝180°﹣（45°-12α）﹣α﹣（90°-【小結(jié)】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高、角平分線的性質(zhì)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握三角形的高、中線和角平分線這些基本知識，能靈活運(yùn)用解決問題．八字形中的角度計算如圖，AE，DE分別平分∠BAC和∠BDC，∠B＝∠BDC＝45°，∠C＝51°，求∠E的度數(shù)．【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解析】∵∠B＝∠BDC＝45°，∴AB∥CD，∵∠C＝51°，∴∠BAC＝∠C＝51°，∵AE，DE分別平分∠BAC和∠BDC，∴∠BAE=12∠BAC=51°2，∠∵∠AFB＝∠DFE，∴∠E＝∠B+∠