北京香營(yíng)學(xué)校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

北京香營(yíng)學(xué)校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.圓心在軸上，半徑為2，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為（

）、

、

、、參考答案：A略2.若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．

B．

C．D．參考答案：C3.，若，則 A.0 B.3 C.-1 D.-2參考答案：A略4.三棱錐的棱長(zhǎng)均為4，頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為（）A．36π B．72π C．144π D．288π參考答案：C【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】正四面體補(bǔ)成正方體，通過(guò)正方體的對(duì)角線與球的半徑關(guān)系，求解即可．【解答】解：如圖，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同．∵三棱錐的棱長(zhǎng)均為4，∴正方體的棱長(zhǎng)是4，又∵球的直徑是正方體的對(duì)角線，設(shè)球半徑是R，∴2R=12，∴R=6，球的表面積為4π×62=144π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線，從而將問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化．若已知正四面體V﹣ABC的棱長(zhǎng)為a，求外接球的半徑，可以構(gòu)造出一個(gè)球的內(nèi)接正方體，再應(yīng)用對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑可求得．5.為了慶祝六一兒童節(jié)，某食品廠制作了種不同的精美卡片，每袋食品隨機(jī)裝入一張卡片，集齊種卡片可獲獎(jiǎng)，現(xiàn)購(gòu)買該種食品袋，能獲獎(jiǎng)的概率為A．

B．

C．

D．

參考答案：D6.已知集合，B=︱,則A∩B=（

）

A．

B．,

C．

D．參考答案：A略7.一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A．

B．2

C．4

D．6參考答案：B試題分析：由三視圖知該幾何體是四棱錐，如圖，則．故選B．考點(diǎn)：三視圖，體積．【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖，棱錐的體積，解題的關(guān)鍵是由三視圖還原出原來(lái)的幾何體，在由三視圖還原出原來(lái)的幾何體的直觀圖時(shí)，由于許多的幾何體可以看作是由正方體（或長(zhǎng)方體）切割形成的，因此我們可以先畫一個(gè)正方體（或長(zhǎng)方體），在正方體中取點(diǎn)，想圖，連線得出直觀圖，這樣畫出直觀圖后，幾何體中的線面關(guān)系、線段長(zhǎng)度明確清晰，有助于快速解題．8.“”是“”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A略9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其體積為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)三視圖得到原圖，再由割補(bǔ)法得到體積.【詳解】該幾何體是一個(gè)直三棱柱截去一個(gè)小三棱錐，如圖所示，由直三棱柱的體積減去小三棱錐的體積即可得到結(jié)果，則其體積為.故選C.【點(diǎn)睛】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.10.已知扇形的周長(zhǎng)是4cm，則扇形面積最大時(shí)候扇形的中心角弧度數(shù)是（）A．2 B．1 C． D．3參考答案：A【考點(diǎn)】扇形面積公式．【分析】設(shè)扇形的中心角弧度數(shù)為α，半徑為r，可得2r+αr=4，α=，因此S=αr2=（2﹣r）r，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：設(shè)扇形的中心角弧度數(shù)為α，半徑為r，則2r+αr=4，∴α=，∴S=αr2=××r2=（2﹣r）r≤（）2=1，當(dāng)且僅當(dāng)2﹣r=r，解得r=1時(shí)，扇形面積最大．此時(shí)α=2．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)，定義為的導(dǎo)數(shù)，即，N，若的內(nèi)角滿足，則的值是__________.參考答案：12.若，則

．參考答案：13.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為

參考答案：14.已知，則的值是

．參考答案：15.如圖中，已知點(diǎn)在邊上，，，，，則的長(zhǎng)為______________

參考答案：略16.定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：（1）當(dāng)時(shí)，f（x）=|；（2）f（2x）=2f（x），則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）﹣a的零點(diǎn)從小到大依次為x1，x2，…，xn…x2n，若，則x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=

．參考答案：3×（2n﹣1）【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】f（x）=，此時(shí)f（x）∈[0，]，∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）時(shí)，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）時(shí)，f（x）∈[0，2]，…以此類推，則F（x）=f（x）﹣a在區(qū)間（1，2）有2個(gè)零點(diǎn)，分別為x1，x2，且滿足x1+x2=2×=3，依此類推：x3+x4=6，…，x2n﹣1+x2n=3×2n﹣1．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．【解答】解：f（x）=，此時(shí)f（x）∈[0，]，∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）時(shí)，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）時(shí)，f（x）∈[0，2]，…以此類推，則F（x）=f（x）﹣a在區(qū)間（1，2）有2個(gè)零點(diǎn)，分別為x1，x2，且滿足x1+x2=2×=3，依此類推：x3+x4=6，…，x2n﹣1+x2n=3×2n﹣1．如圖所示：則x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=3×（2n﹣1）．故答案為：3×（2n﹣1）．17.已知函數(shù)=x+sinx.項(xiàng)數(shù)為19的等差數(shù)列滿足，且公差.若，則當(dāng)=__________時(shí)，.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，△APB面積的最大值為2.

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線AP的傾斜角為，且與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．參考答案：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓的方程為，．由題意知解得.

………2分故橢圓的方程為.

………4分（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．

證明如下：由題意可知，，，直線的方程為.則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的半徑

………6分由得．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

………8分因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，直線的方程為：點(diǎn)到直線的距離．

………10分所以．

故以為直徑的圓與直線相切．

………12分

19.（本小題滿分12分）從棱長(zhǎng)為l的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，設(shè)隨機(jī)變量X是以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角

形的面積．

（1）求概率P（X）；

（2）求X的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（X）參考答案：20.(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：，過(guò)點(diǎn)P(－2，－4)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C分別交于M，N.(1)寫出C的平面直角坐標(biāo)系方程和l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化；參數(shù)方程的應(yīng)用

N3【答案解析】解：（Ⅰ）曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝2ax（a＞0）；直線l的普通方程為x－y－2＝0． …4分（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程與C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0

（*）△＝8a(4＋a)＞0．設(shè)點(diǎn)M，N分別對(duì)應(yīng)參數(shù)t1，t2，恰為上述方程的根．則|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．由題設(shè)得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．[由（*）得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，則有(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．因?yàn)閍＞0，所以a＝1． …10分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；用代入法消去參數(shù)t，把直線l的參數(shù)方程化為普通方程；（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程與C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，則點(diǎn)M，N.對(duì)應(yīng)的參數(shù)就是方程的根，根據(jù)|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，結(jié)合維達(dá)定理又得到一個(gè)關(guān)于的方程，解方程即得的值。21.（本題滿分12分）己知斜三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)面為菱形，，平面平面，是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．

參考答案：（Ⅰ）證明：方法一取的中點(diǎn),連結(jié)，,由題意知．又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．……………?分因?yàn)槠矫?/p>

所以因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以又因?yàn)椤?所以所以平面………………4分又平面，所以．…6分方法二取的中點(diǎn),連結(jié)，,由題意知，.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.……2分則,,，,，.

……4分因?yàn)?，所以…?分（Ⅱ）取的中點(diǎn),連結(jié)，,由題意知，.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.……7分則,,，,,.設(shè)平面的法向量為，則即令.所以.

…………9分又平面的法向量

…………………10分設(shè)二面角的平面角為，則.……………12分22.(本題滿分18分)函數(shù)f(x)=(a，b是非零實(shí)常數(shù))，滿足f(2)=1，且方程f(x)=x有且僅有一個(gè)解。(1)求a、b的值；(2)是否存在實(shí)常數(shù)m，使得對(duì)定義域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？為什么？(3)在直角坐標(biāo)系中，求定點(diǎn)A(–3,1)到此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)P的距離|AP|的最小值。參考答案：(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，所以=1無(wú)解或有解為0，