金融工程課件-二叉樹模型介紹

二叉樹模型介紹第十一章為期權(quán)進行估值的一個常用方法是構(gòu)造二叉樹圖。這個樹圖表示了股票價格在期權(quán)的有效期內(nèi)可能遵循的路徑。在這里，我們假設(shè)股票價格遵循隨機游走。每一時間步中，價格上升一定百分比有一定的概率，價格下降一定的百分比也有一定的概率。11.211.3一個簡單的二叉樹模型股票的即期價格為$20在3個月內(nèi)股票價格為$22或$18股票價格=$22

股票價格=$18股票價格=$2011.4股票價格=$22期權(quán)價格=$1股票價格=$18期權(quán)價格=$0股票價格=$20期權(quán)價格=?一個看漲期權(quán)

一個有效期3個月的股票看漲期權(quán)執(zhí)行價格為2111.5考慮一個證券組合:D

股股票多頭 一個看漲期權(quán)空頭

證券組合是無風(fēng)險的，當22D–1=18D

或D=0.2522D–118D構(gòu)造一個無風(fēng)險證券組合11.6證券組合的價值無風(fēng)險證券組合是:

0.25股股票多頭 1個看漲期權(quán)空頭證券組合價值3個月時是

22×0.25–1=4.50證券組合的現(xiàn)值是

4.5e–0.12×0.25=4.367011.7期權(quán)的估值證券組合為

0.25股股票多頭

1個看漲期權(quán)空頭

現(xiàn)值是4.367股票價值是

5.000(=0.2520)因此期權(quán)價值為

0.633(=5.000–4.367)11.8一般結(jié)論

價值取決于標的股票價值，且有效期為T

的衍生品：S0u?uS0d?dS0?11.9一般結(jié)論（續(xù)）考慮包含D股股票多頭和1份衍生品空頭的證券組合 證券組合是無風(fēng)險的當S0uD–?u=S0dD–?dS0uD–?uS0dD–?d11.10一般結(jié)論（續(xù)）在T

時刻證券組合價值是S0uD–?u證券組合的現(xiàn)值是(S0uD–?u)e–rT證券組合的現(xiàn)值的利益表達方式是

S0D–f結(jié)論為

?=S0D–(S0uD–?u

)e–rT

11.11一般結(jié)論（續(xù)）將D

帶入下式并化簡得：

?=[p?u+(1–p)?d]e–rT

其中：11.12作為概率的P可以將p和1-p

作為股票價格上升和下降的概率衍生品的價值是在風(fēng)險中性世界以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)值S0u

?uS0d

?dS0?p(1

–p)11.13風(fēng)險中性估值當上升和下降的概率是p和1-p

股票價格在T時刻價值是S0erT這說明股票價格獲得無風(fēng)險收益二叉樹模型顯示為一般衍生品估值我們可以假設(shè)標的資產(chǎn)的期望報酬率為無風(fēng)險利率且以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)這是風(fēng)險中性估值的一般思想11.14一個例子

由于我們可以從下式中估計p值

20e0.12×0.25=22p+18(1–p)

得p=0