五年級奧數(shù)幾何勾股定理與弦圖（A級）學(xué)生版

勾股定理與弦圖勾股定理與弦圖課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)華盛頓的傍晚親愛的小朋友們：“在那山的那邊海那邊的的美國首都華盛頓，有一位中年人，他聰明又勤奮，他潛心探討，他反復(fù)思考與演算……，那是1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁矗瑫r而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使，加菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是加菲爾德便問他在干什么？那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”加菲爾德答道：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”加菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩說：“先生，你能說出其中的道理嗎？”加菲爾德一時語塞，無法解釋了，心里很不是滋味。加菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經(jīng)過反復(fù)思考與演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。具體方法如下：兩個全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，則梯形面積等于三個直角三角形面積之和。即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化簡整理得a2＋b2＝c2點評：此種解法主要利用了三角形的面積公式：底×高÷2，和梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2．而在我國對于勾股定理的證明又做出了那些貢獻哪？在我國古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的較短直角邊稱為“勾”，較長直角邊為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個定理稱為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關(guān)系。即：在直角三角形中倆條直角邊的平方和等于斜邊的平方。公元前11世紀的《周髀算經(jīng)》中提到:故折矩,以為句廣三,股修四、徑修五．既方之.外半卿一矩,環(huán)而共盤.得成三、四、五．三國時期的趙爽注解道:句股各自乘,并之為弦實,開方除之,即弦.案:弦圖又可以句股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以句股之差自相乘為中黃實,加差之,亦成弦實．漢朝張蒼、狄昌壽整理的《九章算術(shù)》第九卷為《句股》.其中解釋到:短面曰句，長面曰股，相與結(jié)角曰弦.句短其股，股短其弦．句股各自乘，并，而開方除之，即弦．勾股定理的證明：（1）方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形：_D_D_C_B_A（2）方法二:將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形：（3）方法三：“總統(tǒng)”法.如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形：知識框架知識框架勾股定理:直角三角形中的兩直角邊平方后的和等于斜邊的平方．注：勾——最短的邊、股——較長的直角邊、弦——斜邊。勾股定理實際上包含兩方面的內(nèi)容：eq\o\ac(○,1)如果一個三角形是直角三角形，那么兩條直角邊的平方之和等于斜邊的平方；②如果一個三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么它一定是直角三角形．勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．勾股數(shù)擴大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù)．常用勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17。弦圖：重難點重難點1.會用勾股定理解決簡單問題。2.會用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形例題精講例題精講【例1】五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（）ABCD【鞏固】如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是()A.7,24,25B.3,4,5C.3,4,5D.4,7,8【例2】已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距_________A25海里 B30海里 C35海里 D40海里北北南A東【鞏固】一個三角形的三邊之比為5∶12∶13，它的周長為60，則它的面積是＿＿＿.【例3】有一大一小的兩個正方形（如下圖），對應(yīng)邊之間的距離都是1厘米，如果夾在兩個正方形之間部分的面積為12平方厘米，那么大正方形的面積是多少？【鞏固】四個完全一樣的長方形木板，拼成如圖的正方形，大正方形周長32厘米，小正方形周長8厘米。求：每塊長方形木板的面積和周長。【例4】如圖，以一個直角三角形的三邊為邊長分別向外作三個正方形，如果兩個較大正方形的面積分別是和，那么最小的正方形的面積為【鞏固】如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為___________cm2。AABCD7cm【例5】已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四邊形ABCD的面積。AABCD【鞏固】剛剛從地平線升起，巴河姆就在草原上大步朝東方走去，他走了足足有10俄里才左拐彎，接著又走了許久許久，再向左拐彎，這樣又走了2俄里，這時，他發(fā)現(xiàn)天色不早了，而自己離出發(fā)點還足足有17俄里，于是改變方向，拼命朝出發(fā)點跑去，在日落前趕回了出發(fā)點。這是俄羅斯大作家托爾斯泰在作品《一個人需要很多土地嗎》中寫的故事的一部分。你能算出巴河姆這一天共走了多少路？走過的路所圍成的土地面積有多大嗎？【例6】下圖將矩形ABCD分成18個大小相等的正方形,E、F、G、H分別在AD、AB、BC、CD的邊上,且是某個小正方形的頂點,若四邊形EFGH的面積為1,則矩形ABCD的面積為()(A)(B)(c)(D)【鞏固】如圖小方格都是邊長為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是()【例7】四個完全一樣的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形（如圖）如果小正方形的面積是1平方米，大正方形的面積是5平方米，那么直角三角形中，最短的直角邊長度是米?！眷柟獭咳舭堰呴L為1的正方形ABCD的四個角剪掉,得一四邊形A1BlClDl,試問怎樣剪,才能使剩下的圖形仍為正方形,且剩下圖形的面積為原來正方形面積的,請說明理由.(寫出證明及計算過程)【例8】如右上圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點，求陰影部分與正方形ABCD的面積之比?！眷柟獭咳鬍、F、G、H 分別是四邊的三等分點(如圖)，那么所得的小正方形的面積占大正方形面積的幾分之？【例9】有一個長方形，它的長是寬的4倍，對角線長34cm。求這個長方形的面積?！眷柟獭咳糸L方形的長是寬的2倍，對角線的長度為10，求這個長方形的面積是多少平方厘米？請用弦圖法完成【例10】如圖32-3所示,直角三角形PQR的兩個直角邊分別為5厘米,9厘米問下圖中3個正方形面積之和比4個三角形面積之和大多少?【鞏固】以三角形ABC的兩條邊為邊長，做兩個正方形BDEC和ACFG．已知三角形ABC與正方形BDEC的面積比，以及正方形BDEC和ACFG的邊長的比都是3：5，求三角形CEF與整個圖形面積的最簡整數(shù)比是多少？課堂檢測課堂檢測1、等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形的面積為______________A56 B48 C40 D3212、若干名戰(zhàn)士排成8列長方形隊列，若增加120人或者減少120人都能組成一個新的正方形隊列，那么，原有戰(zhàn)士多少名？3、如圖所示的一塊地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求這塊地的面積.AADCB復(fù)習(xí)總結(jié)復(fù)習(xí)總結(jié)根據(jù)直角三角形計算出三角形中第三邊的長度，在計算時可以借助分解質(zhì)因數(shù)，或者根據(jù)三遍關(guān)系判斷是直角三角形；有直角的通過加輔助線構(gòu)造直角三角形；通過對弦圖進行觀察分析得出構(gòu)成弦圖的直角三角形兩直角邊的關(guān)系，始終要有方程意識家庭作業(yè)家庭作業(yè)1、一個正方形花圃，由四塊種著不同花的長方形地組成，如圖7，已知圖7中虛線表示的正方形的面積為35平方米，長方形的長比寬多3米，則每塊長方形地_______平方米。2、如下圖所示，紅、黃、綠三塊大小一樣的正它們方形紙片，放在一個正方形盒內(nèi)，它們之間相互疊合，已知露在外面的部分中，紅色的面積是20，黃色的面積是14，綠色的面積是10，那么，正方形盒子的底面積是__________．(2003年一零一培訓(xùn)學(xué)校期末考試題(2003年12月)第17題)3、如圖:長方形的面積是小于100的整數(shù)，他的內(nèi)部由三個邊長是整數(shù)的正方形，正方形①的邊長是長方形長的，正方形②的邊長是長方形寬的，那么圖中陰影部分的面積是多少？4、如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）5、