數(shù)列專題講義帶答案

個性化輔導(dǎo)授課教案學(xué)員姓名: 輔導(dǎo)類型（1對1、小班）： 年級： 輔導(dǎo)科目： 學(xué)科教師： 課題課型□預(yù)習(xí)課口同步課口復(fù)習(xí)課口習(xí)題課授課日期及時段 年一月—日 時間段 教學(xué)內(nèi)容數(shù)列的基本性質(zhì)和常用結(jié)論一、等差數(shù)列1.等差數(shù)列的判定方法（1）用定義：對任意的n，都有an+1-an=d（d為常數(shù)）O{an}為等差數(shù)列（定義法）（2）2a =a+a（nEN*）O{a}為等差數(shù)列（等差中項）n+1 n n+2 n（3）an=pn+q（p,q為常數(shù)且pW0）（即為關(guān)于n的一次函數(shù)）O{an}為等差數(shù)列（4）Sn—pn2+qn（p,q為常數(shù)）（即為關(guān)于n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)）O{an}為等差數(shù)列2.常用性質(zhì)（1）若數(shù)列{an},{bn}為等差數(shù)列，則數(shù)列{an+k},{kan},{an±bn},{kan+b}（k,b為非零常數(shù)）均為等差數(shù)列.（2）對任何m,n￡N*，在等差數(shù)列{a}中，有a=a+（n-m）d，特別的，當(dāng)m=1時，便得到等差數(shù)列的通n n ma一a a一a項公式。另外可得公差d=「一了，或d=『-mn一1 n一m（3）若m+n=p+q（m,n,p,q￡N*）,則a+a=a+a.特別的，當(dāng)n+m=2k時，得a+a=2an m p q n m k（4）{an}是有窮等差數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都相等，且等于首末兩項之和，即a+a=a+a=a+a= = a+a=???。（5）在等差數(shù)列{an}中，每隔k（k￡N*）項取出一項，按原來的順序排列，所得的數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為（k+1）d（例如：a1,a4,a7,彳。……仍為公差為3d的等差數(shù)列）（6）如果{an}是等差數(shù)列，公差為d,那么an,a—……a2,%也是等差數(shù)列，其公差為一d.⑺若數(shù)列｛"J為等差數(shù)列，則記Sra+a2+……+a/S2k—=ak+1+。人+2+……+a2kS3k-S2k-a2ki+a2k2++a3k，則Sk，S2k~SjS3k~S2k仍成等差數(shù)列，且公差為k2dTOC\o"1-5"\h\z.等差數(shù)列前n項和公式：S=n（ai+a“）=na+（n—~—d=—n2+（a--）nn2 1 2 2 12.等差數(shù)列前n項和Sn常用的基本性質(zhì)：— Sa（1）在等差數(shù)列｛a｝中，當(dāng)項數(shù)為2n（nEN*）時，S—S=nd,-奇=（即中間兩項之比），n 偶奇Sa偶 n+1Sn+1當(dāng)項數(shù)為2n+1（nEN*）時，S—S=a,-奇=——（即奇偶項數(shù)之比）

偶奇 n+1sna+a n（a+a）TOC\o"1-5"\h\z（2）.若等差數(shù)列｛a｝，｛b｝的前n項和為S,T（n為奇數(shù)），則a= 2 = 2 =4nn nn bb+b n（b+b）Tn1-2n-1 ——1-2n-1 2n-12 2n+m 一一一一一（3）在等差數(shù)列｛a｝中.S=a，S=b，則S= （a-b），特別地，當(dāng)S=S時，S=0，當(dāng)S=m，nnm n+mn-m nm n+m nS=n時S =-（n+m）（4）若S為等差數(shù)列｛a｝的前n項和，則數(shù)列｛S｝也為等差數(shù)列.n n n[a>0（5）記等差數(shù)列｛a｝的前n項和為S:①若a>0，公差d<0，則當(dāng)|n 時，則S有最大值；n n1 Ia<0nn+1②若a<0，公差d>0，則當(dāng)\an~0八時，則S有最小值。

1 Ia>0nn+1求Sn最值的方法也可先求出Sn，再用配方法求解。二、等比數(shù)列.等比數(shù)列的判定方法TOC\o"1-5"\h\z（1）用定義：對任意的n，都有a=qa（a豐0）O幻二q（q豐0）O｛a｝為等比數(shù)列（定義法）n+1 nn a nn（2）a2=aa（aa豐0）O｛a｝為等比數(shù)列（等比中項）n n+1n-1n+1n-1 n⑶若數(shù)列通項公式為：a=aqn-1（a,q是不為0的常數(shù)）O｛a｝為等比數(shù)列（通項公式法）

n n.常用性質(zhì)a、.若數(shù)列｛a｝，｛b｝為等比數(shù)列，則數(shù)列｛一｝，｛ka｝，｛a2｝，｛a｝，｛ab｝｛不｝（k為非零常數(shù)）均為n n a n n 2n-1 nnbn n等比數(shù)列.

(2)對任何m,nGN*，在等比數(shù)列｛〃｝中，有a=aqn-機，特別的，當(dāng)m=i時，便得到等比數(shù)列的通項公式n nm因此，此公式比等比數(shù)列的通項公式更具有一般性.(3)若m+n=p+q(m，n，p，qgN*)，則aa=aa.特別的，當(dāng)n+m=2k時，得aa=a2nmPq nmk(4)｛an｝是有窮等比數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之積都相等，且等于首末兩項之積，即aa=aa=aa= = aa=???。⑸在等比數(shù)列｛an｝中，每隔k(kgN*)項取出一項，按原來的順序排列，所得的數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為qk+i(例如：ai，a4,a7,aio……仍為公比q3的等比數(shù)列) _,t 1(6)如果｛an｝是等比數(shù)列，公比為q，那么a」an1，…a2，a1也是等比數(shù)列，其公比為一｛a1〉0，則｛a｝為遞減數(shù)列°<q<1且a1<0，則｛a：｝為遞增數(shù)列｛a｛a1〉0，則｛a｝為遞減數(shù)列°<q<1且a1<0，則｛a：｝為遞增數(shù)列當(dāng)q=1時，該數(shù)列為常數(shù)列(此時數(shù)列也為等差數(shù)列)；當(dāng)q<0時，該數(shù)列為擺動數(shù)列。aa^nl=。*i).等比數(shù)列前n項和公式： 3=[l-q i-qna (q=i)LiSi.等比數(shù)列前n項和S.常用的基本性質(zhì)：Si(i)在等比數(shù)列｛an｝中，當(dāng)項數(shù)為2n(nGN*)時,若數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，則記Sk=ai+a2+……+a^ , S2k -5女=a^討+ak+2 +……+a2k ,S3k—S2卜=a2k+i+a2k+2 +……+a3k，則Sk, S2k -S「 S3k -S2k仍成等比數(shù)列，且公差為三.數(shù)列通項公式的求法類型i、Sn=f(an)fS (n=i)a=<i解法：利用nISn~Sn-i (n-2)與an=Sn~Sn-i=,n'- n”消去n (n-2)或與Sn=f(Sn-Sn/(n-2)消去an進(jìn)行求解。例i已知無窮數(shù)列,)的前n項和為Sn，并且VSn=MnGN*L求｛”的通項公式?an+an+i=Sn+i-V丫a+i，ia=—an+i 2ni(iY又丫2，,121變式訓(xùn)練:解：可設(shè)an+1+A(n+1)+B—k(a+An+B)a1=ka+(k—1)An+(k—1)B—A(k—1)A=a "一一 一 A二a(k―1)B—A-b 解得：Ak—1baB= 1 k—1(k—1)2..｛an+An+B)是以a1+A+B為首項k為公比的等比數(shù)列a+An+B=(a1+A+B)-kn—1a=(a+A+B)?kn―1—An—Bn11 ) 將A、B代入即可例1.a=1a+2n—1 1)已知：a1=1,n-2時，n2n-1 ，求｛an｝的通項公式。解：,c1 +An+B=—[a+A(n—1)+B]2n―1 '1, 1,1——An—A——BA——4解得:a1—4+6—31??{an_4n+6}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列a-4n+6=3?(—)n—1類型4.an+1Aa+BqnA、B、q為常數(shù)，下同）型，an+1可化為+九?qn+1—A(a+九?qn)

nan+1可化為彳}a--1,a-2a+4-3n-1 a例1.在數(shù)列n'中，1 n+1 n ，求通項公式n解：原遞推式可化為：a+九.3n=2(a+X?3n))n+1 n①入4 an+14?3n=2環(huán)-4?3n-1)比較系數(shù)得人--4,①式即是：其首項a144.31-1=-其首項a144.31-1=-5，公比是2.則數(shù)列n 是一個等比數(shù)列，a-4?3n-1--5?2n-1n-4?3n-1-5?2n-1｛a｝a =2a+3x2n a=2 ｛a｝心一工八變式1.已知數(shù)列n」?jié)M足n+1 n， 1，求數(shù)列n」的通項公式。變式2.已知數(shù)列｛an｝滿足an+1=2,乂5求數(shù)列“n)的通項公式。變式3.已知數(shù)列｛an｝滿足an+1+4,a1=1，求數(shù)列｛5｝的通項公式。類型5a-n+1qn等式兩邊同時除以qn+1得qn+qna-nqnCn+1則--C

qn?{Ca可歸為n+1=ka+b刑例1.已知｛J中=2an-1a(n-2)求nTOC\o"1-5"\h\z=2a +2nn-1

aa—n n得2n 2n-1{—n-} —n-=—+(n—1)2n成等差數(shù)列，2n 2類型6、an+1-an—f(n)型，f)可求前n項和),a=a+(a—a)+???(a—a)利用n1 22 / 'n n-1求通項公式的方法稱為累加法。例1.已知{an}的首項"1=1，an+1=an+2n(nGN*)求通項公式。解：a—a=2(n—1)a -a =2(n—2)a —a =2(n—3)a—a=2x2+a—a=2x1a—a=2[1+2+ +(n—1)]=n2—n?a=n2—n—1{a} a=a+2n+1,a=1 {a},,、*工八_變式1.已知數(shù)列n滿足n+1 n 1 ，求數(shù)列n的通項公式。變式2.已知數(shù)歹/an｝滿足an+1=L223n+^ =，求數(shù)歹^^｝的通項公式。變式3.已知數(shù)歹U｛，｝中，V1,V37+%-1(n-2)求數(shù)列^)的通項公式a=f(n)?a類型7、n+1」n型。(1)若f(n)是常數(shù)時，可歸為等比數(shù)列。aa(aa(2)若f(n)可求積，利用恒等式n1a1a2a，八?—l(aw0,n>2)anan-1 求通項公式的方法稱為累乘法。例1：已知：1a

n—

a

解：n-11 2n-1-—例1：已知：1a

n—

a

解：n-11 2n-1-—n-a- a—n:-2）求數(shù)列3n 2n+1，n-1(a aa2n-12n-32n-5 n2L Ja aa2n+12n-12n-3n-3 2 13 12n+1―2n+1{an}的通項。53 3 75 2n+1a——n1?an-2變式1.變式2.{a已知，an+1n一、caC一。n+2n且a12求數(shù)列通項公式。類型8、an+1ca

n—

a+d=n（，+1-叩（nEN）求數(shù)列Ln）通項公式.U+1a取倒數(shù)變成n+1的形式的方法叫倒數(shù)變換.例1a取倒數(shù)變成n+1的形式的方法叫倒數(shù)變換.例1已知數(shù)列"n）（n&N中,an+1+L求數(shù)列'n）的通項公式.an+1【解析】：將取倒數(shù)得：an+1-a■ n+1--1是以a1 為首項，公差為2的等1-二1+2(n-1)差數(shù)列."n四.數(shù)列求和的問題.利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，直接運用等差或等比數(shù)列的前n項和公式求得。n(a+a) n(n-1),等差數(shù)列求和公式：、 1n--na+ 等差數(shù)列求和公式：、2 1 22、等比數(shù)列求和公式:k=17 1 /八k=—n(n+1)2k=1k=1例2、等比數(shù)列求和公式:k=17 1 /八k=—n(n+1)2k=1k=1例1.na=<a(1—qn)(q=1)(q豐1)， 1 …八k2=n(n+1)(2n+1)6， 1 八k3=[-n(n+1)]221logx10g23，求x+x2+x3+…+xn+…的前n項和。解：由log—1x= n3log32logx=-log2nx=13 3 2由等比數(shù)列求和公式得1 1(1——)2 2nX(1-Xn)S=S=x+x2+x3+ +xn=1—2n（利用常用公式）例2求-12+22—32+42—52+62——992+1002:原式=(22-12)+(42-32)+(62-52)++(1002-992)=3+7+11++199解由等差數(shù)列求和公式，得原式解由等差數(shù)列求和公式，得原式=:⑸X(3+199)=5050再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1-x)S再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1-x)S=1+2x?1—Xn-1一(2n—1)xn（設(shè)制錯位）（錯位相減）2、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列｛an?bn｝的前n項和，中｛an｝、｛bn｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例3,求和：S〃=1+3x+5*x2+7x3+…+(2〃-1)xn—1解：由題可知，｛（2n-1）xn-1｝的通項是等差數(shù)列U｛2n—1｝的通項與等比數(shù)列U｛xn-1｝的通項之積設(shè)xS=1x+3x2+5x3+7x4+ +(2n-1)xn①②得(1-x)S-1+2x+2x2+2x3+2x4+ +2xn-1-(2n-1)xn例4.求x+3x2+5x3+ +(2n-1)xn的和解：X 2X2(1-Xn-1)(2n-1)Xn+1一+ 1 (1-元)2小結(jié):錯位相減法的步驟是：①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列｛"〃｝的公比；②將兩個等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項和公式求和。3、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相力口，就可以得到n個（a1+an）12 22 32 1 1 +例5,求12+10222+9232+82102+ 102+12的和分析：由于數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和為常數(shù)1,故采用倒序相加法求和0 12 22 32S= + 1 +解解設(shè) 12+10222+9232+82102+ 102+120 102 92 82S- 1 1 +則 102+1222+9232+8212+ 102+12兩式相加，得2S=1+1++1=10LS*=5小結(jié)：對某些具有對稱性的數(shù)列，可運用此法。4、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列.，?也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。一1 /1r1c「1+1,—+4,—+7,,,,, +3n-2例7.求數(shù)列的前n項和:an-1解：設(shè)nS=(1+1)+(，+4)+(―+7)+-??+(上+3n-2)an-1將其每一項拆開再重新組合得+—