八年級四邊形與折疊、旋轉(zhuǎn)

四邊形與折疊、旋轉(zhuǎn)1、如圖，已知P是正方形ABCD內(nèi)的一點，且△ABP為等邊三角形，那么NDCP=。2、如圖，將一張邊長為12的正方形紙片ABCD的頂點A折疊至DC邊上的點E，使DE=5,折痕為PQ,則PQ的長為 。DECy /1t———■ ”（第1題圖） - （第2題圖）3、將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊（點E、F分別在邊AB、DC上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與DC交于點P,連接EP。如圖，若M為AD邊的中點。（1）AAEM的周長為；（2）求證：EP=AE+DPO知識點一四邊形與折疊【知識梳理】1、翻折：翻折是指把一個圖形按某一直線翻折180°后所形成的新的圖形的變化。2、翻折特征：平面上的兩個圖形，將其中一個圖形沿著一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線就是對稱軸。3、解題方法：解這類題抓住翻折前后兩個圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素。翻折在三大圖形運動中是比較重要的，考查得較多。另外，從運動變化的圖形的特殊位置探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對我們解決運動變化問題是極為重要的，值得大家留意。側(cè)重考察翻折問題中勾股定理的幾何計算。

【例題精講】例1?1、將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、EF為折痕，/BAE=30°,AB=J3，折疊后，點C落在AD邊上的C1處，并且點B落在EC1邊上的B1處。則BC的長為(1)(1)判斷四邊形ACED是什么圖形，并加以證明;2、如圖，EF為正方形ABCD的對折線，將NA沿DK折疊使它的頂點A落在EF上的G點，則NDKG3、如圖，將矩形ABCD沿AC翻折，使點B落在點E處，連接DE、CE,(2(2)(3)若AB=8,AD=6。求DE的長;四邊形ACED中，比較AE+EC與AC+EH的大小。

伊12.1、如圖，有一正方形的紙片ABCD,邊長為3,點E是DC邊上一點且DE=；口0把4ADE沿AE折疊使△ADE落在△AFE的位置，延長EF交BC邊于點G,連接AG。有以下四個結(jié)論①NGAE=45°；②BG+DE=GE；③點G是BC的中點；@S^ECG=45°；其中正確的結(jié)論序號是請選一個你認(rèn)為正確的結(jié)論進(jìn)行說理論證。C其中正確的結(jié)論序號是請選一個你認(rèn)為正確的結(jié)論進(jìn)行說理論證。C則EC則EC2、如圖，折疊直角梯形紙片的上底AD,^D落在底邊BC上點F處，已知DC=8cm,FC=4cmcm?！菊n堂練習(xí)】1、如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點D與點B重合，點C落在點C的位置上。折疊后，DC的對應(yīng)線段是,CF的對應(yīng)線段是若N1折疊后，DC的對應(yīng)線段是,CF的對應(yīng)線段是若N1=60°,求N2、Z3的度數(shù);若AB=4,AD=8,求折痕EF的長度。S2、如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=v;3+1,AD=<3。（1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的D'處，壓平折痕交CD于點E,則折痕AE的長為；（2）如圖③，再將四邊形BCED沿D舊向左翻折，壓平后得四邊形BCED，，BC交AE于點F，則四邊形BTED，的面積為；（3）如圖④，將圖②中的AAD'E繞點E順時針旋轉(zhuǎn)a角，得到AA'ED〃，使得EA'恰好經(jīng)過點B，求弧D'D〃的長度。3、矩形ABCD中，AD=5,AB=3,將矩形ABCD沿某直線折疊，使點A的對應(yīng)點A，落在線段BC上，再打開得到折痕EF。（1）當(dāng)A與B重合時，（如圖1）,EF=;當(dāng)折痕EF過點D時（如圖2）,求線段EF的長；（2）觀察圖3和圖4,設(shè)BA，=x，①當(dāng)x的取值范圍是時，四邊形AEAF是菱形；②在①的條件下，利用圖4證明四邊形AEAF是菱形。A 口w =厘）A FDA DE⑷ C￡一A1 C病 A'一七R式￡'圖1 圖。 圖3 斤圖4知識點二四邊形與旋轉(zhuǎn)【知識梳理】1、旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。2、旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一點旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角。3、動態(tài)幾何題已成為中考試題的一大熱點題型。動態(tài)幾何問題，是指以幾何知識和圖形為背景，滲入運動變化觀點的一類問題，常見的形式是：點在線段或弧線上運動、圖形的翻折、平移、旋轉(zhuǎn)等。4、以動點問題、平面圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、剪拼問題等為代表的動態(tài)幾何題頻頻出現(xiàn)在填空、選擇、解答等各種題型中，考查同學(xué)們對圖形的直覺能力以及從變化中看到不變實質(zhì)的數(shù)學(xué)洞察力。5、解決動態(tài)幾何題的策略是：把握運動規(guī)律，尋求運動中的特殊位置；在“動”中求“靜”，在“靜”中探求“動”的一般規(guī)律。通過探索、歸納、猜想，獲得圖形在運動過程中是否保留或具有某種性質(zhì)。6、旋轉(zhuǎn)模型（1）正三角形類型（2）正方形類型（3）等腰直角三角形類型【例題精講】例1?1、如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點，PA：PB：PC=1：2：3,則NAPB= 。2、已知，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且/B=/EAF=60°,/BAE=18°。求/CEF的度數(shù)?！菊n堂練習(xí)】【課堂練習(xí)】1、如圖1,在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD1、如圖1,在正方形ABCD中，(1)求證：CE=CF；(2)如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果GCE=45°,請你利用(1)的結(jié)論證明：GE=BE+GDO(3)運用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖3,在直角梯形ABCD中，AD〃BC(BC>AD),ZB=90°,AB=BC,E是AB上一點，且NDCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面積。2、在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF±AB交BD于點F,如圖1。(1)將圖1中的△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,取DF的中點G,連接EG,CG,如圖2,則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想；(2)將圖1中的△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°,取DF的中點G,連接EG,CG,如圖3,則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明；(3)將圖1中的△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度，取DF的中點G,連接EG,CG,如圖4,則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明。

路線以1cm/s的速度運動，運動時間為t秒，將△APE路線以1cm/s的速度運動，運動時間為t秒，將△APE以EP為折痕折疊，點A的對應(yīng)點記為M。如圖1,當(dāng)點P在邊AB上，且點M在邊BC上時，求運動時間t；(1)如圖2，當(dāng)點P在邊BC上，且點M也在邊BC上時，求運動時間t；（2）直接寫出點P在運動過程中線段BM長的最小值(3)1、如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=20cm,E是AD的中點，動點P從A點出發(fā)，沿A—B—C2、已知正方形ABCD中，F(xiàn)為對角線BD（不含B點）上任意一點，4ABE為正三角形，若BF=BG且NFBG=60°,連接NFBG=60°,連接EG、AF、CF。（1）當(dāng)F點在何處時，AF+CF+BF的值最小，并說明理由;（2）AF+CF+BF的值最小為“31時，求正方形的邊長。1、如圖，把矩形ABCD沿直線AC折疊，點B落在E處，連接DE。則順次連接四邊形ADEC各邊中點，得到的圖形一定是（ ）A.正方形 B.矩形C.菱形 D.梯形2、如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm。點E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點A1、D1處，則整個陰影部分圖形的周長為。

3、如圖，四邊形ABCD中，AB〃CD,ND=2NB,若AD=a,AB=b，貝UCD的長是 TOC\o"1-5"\h\z4、如圖，直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB±BC,AD=4,BC=6。以D為直角頂點在梯形外部作等腰直角△DEC。連AE，U^ADE的面積是（ ）A.12 B.8 C.6 D.45、如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，將△ABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)能與△CBP，重合，若PB=3,則PP，6、在Rt△ABC中，NA=90°,AB=3cm,（C=30°,以斜邊BC的中點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到Rt△AB'。'，則旋轉(zhuǎn)前后兩個直角三角形重疊部分的面積為 cm2。47>S

<4,7、（1）動手操作：如圖①，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點C，處，折痕為EF，若NABE=20°，那么NEFC'的度數(shù)為；（2）觀察發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC（AB>AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD,展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF,展平紙片后得到△AEF（如圖③）.小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由。（3）實踐與運用：將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF,折痕與AD邊交于點E,與BC邊交于點F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都與點F重合，展開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ（如圖④），求NMNF的大小。108、已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EFXBD交BC于F,連DF,G為DF中點，連接EG,CG。（1）求證：EG=CG；（2）將圖①中4BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG。問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）將圖①中^BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？圖田 圖② 喉119、平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0)B(0,