2022年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題的策略理科

第八講運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題的策略第一節(jié)運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題的策略函數(shù)的主干知識(shí)、函數(shù)的綜合應(yīng)用以及函數(shù)與方程思想的考查，一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一.高考試題中，既有靈活多變的客觀性小題，又有一定能力要求的主觀性大題，難度有易有難，可以說是貫穿了數(shù)學(xué)高考整份試卷.高考中所占比重比較大，與函數(shù)相關(guān)的試題所占比例始終在20%左右，難度值一般控制在之間.考試要求：考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)換能力、空間想象能力、運(yùn)算能力、識(shí)別能力、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題能力.函數(shù)思想主要有：（1）引入變量，確定函數(shù)關(guān)系；（2）選定主元，揭示函數(shù)關(guān)系；(3)選取變元，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系；（4）實(shí)際問題，建立函數(shù)關(guān)系；（5）特殊函數(shù)，轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系.方程思想主要有：（1）待定系數(shù)求解方程；（2）分類思想討論方程；（2）變量代換構(gòu)造方程.題型一構(gòu)造函數(shù)和方程解題例1.已知，（、、），則有（）.A.B.C.D.點(diǎn)撥：方法一通過化簡，敏銳地抓住數(shù)與式的特點(diǎn)：看作是方程的一個(gè)實(shí)根，再利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根的充要條件求得；方法二轉(zhuǎn)化為是、的函數(shù)，運(yùn)用重要不等式解題．解：方法一：依題設(shè)有∴是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)實(shí)根；∴∴故選B.方法二：去分母，移項(xiàng)，兩邊平方得：∴故選B.易錯(cuò)點(diǎn)：不能合理地轉(zhuǎn)化為是、的函數(shù)或構(gòu)造來解題.變式與引申1：(2022年山東文科第12題)已知定義在上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間上是增函數(shù),則().A.B.C.D.題型二函數(shù)、方程、不等式三者之間的相互轉(zhuǎn)化例2.已知，，對于值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍．點(diǎn)撥：首先明確本題是求的取值范圍，這里注意另一個(gè)變量，不等式的左邊恰是的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決.在多個(gè)字母變量的問題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵．解：∵，∴，從而原題轉(zhuǎn)化為：恒成立，為的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要）當(dāng)時(shí)，不等式不成立．∴．令＝為的一次函數(shù)，，問題轉(zhuǎn)化為在上恒大于0，則，解得：或易錯(cuò)點(diǎn)：“主元”的選取容易選錯(cuò)，誤認(rèn)為是關(guān)于的二次函數(shù)，導(dǎo)致錯(cuò)誤.變式與引申2：設(shè)不等式對于滿足的所有的值都成立，求的取值范圍.題型三函數(shù)與方程在解析幾何中的應(yīng)用例3.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)為其右焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓有公共點(diǎn)，且直線與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.點(diǎn)撥：（1）由右焦點(diǎn)的坐標(biāo)求得，設(shè)左焦點(diǎn)為，由橢圓的定義求得，進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）假設(shè)直線存在，設(shè)出直線方程，并將直線方程和橢圓的方程聯(lián)立，表示出直線與的距離，由距離等于4列方程解得.解：（1）依題意，可設(shè)橢圓的方程為，且左焦點(diǎn)為，從而有，解得又，所以，故橢圓的方程為（2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為由得,因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以有解得另一方面，由直線與的距離為4，可得，從而由于，所以符合題意的直線不存在.易錯(cuò)點(diǎn)：忽略.變式與引申3：M已知的邊邊所在直線的方程為滿足,點(diǎn)在AC邊所在直線上，且滿足．M（=1\*ROMANI）求AC邊所在直線的方程；（=2\*ROMANII）求外接圓的方程；（=3\*ROMANIII）若動(dòng)圓過點(diǎn)，且與的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程．題型四應(yīng)用函數(shù)與方程研究實(shí)際問題例4.為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：）滿足關(guān)系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.（1）求的值及的表達(dá)式.（2）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，并求最小值.點(diǎn)撥：(1)利用賦值法,把特殊點(diǎn)代入,求出.由為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和,列出的表達(dá)式.(2)利用導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)求的最小值.解：（1）設(shè)隔熱層厚度為，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為由,得，因此，而建造費(fèi)用為故隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為（2），令，即解得（舍去）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故是的最小值點(diǎn)，對應(yīng)的最小值為當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元.易錯(cuò)點(diǎn)：不能正確領(lǐng)悟的含義；求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)易發(fā)生錯(cuò)誤.變式與引申4：某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西30°且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時(shí)與輪船相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在，使得小艇以海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定的取值范圍；若不存在，請說明理由.本節(jié)主要考查：（1）本節(jié)考查的是函數(shù)與方程的思想方法；（2）主觀題即選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算，解答題中，則是更深層次地在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處、從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進(jìn)行深入考查.點(diǎn)評：1.函數(shù)思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決.函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題.2.方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.方程思想是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題.方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.3.(1)函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程，也可以把函數(shù)式看做二元方程.函數(shù)問題（例如求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程，就是求函數(shù)的零點(diǎn).(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式，借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式.(3)數(shù)列的通項(xiàng)或前項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題十分重要.(4)函數(shù)（）與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的，利用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問題.(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論.(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.習(xí)題8-11.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于，都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值為()A．B．C．0D．12.設(shè)函數(shù)，對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．已知函數(shù).若,且,求的取值范圍.4.（2022年江蘇第14題）將邊長為1正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,求的最小值.5.已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若以F2為圓心，為半徑作圓F2，過橢圓上一點(diǎn)作此圓的切線，切點(diǎn)為，且|PT|的最小值不小于．（1）求橢圓的離心率的取值范圍；（2）設(shè)橢圓的短半軸長為，圓F2與x軸的右交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作斜率為k（k>0）的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l被圓F2截得的弦長s的最大值．第二節(jié)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的策略數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越.考試大綱的說明中強(qiáng)調(diào)：“在高考中，充分利用選擇題和填空題的題型特點(diǎn)，為考查數(shù)形結(jié)合的思想提供了方便，能突出考查考生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識(shí)，而在解答題中，考慮到推理論證的嚴(yán)密性，對數(shù)量關(guān)系問題的研究仍突出代數(shù)的方法而不提倡使用幾何的方法，解答題中對數(shù)形結(jié)合思想的考查以由‘形’到‘?dāng)?shù)’的轉(zhuǎn)化為主.”考試要求展望2022年高考考查數(shù)形結(jié)合思法，可能會(huì)與以下內(nèi)容為載體來命題：①函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；②曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；③以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如三角函數(shù)等；④所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.題型一數(shù)形結(jié)合在函數(shù)與方程中的應(yīng)用例1.已知且,試求使方程有解的實(shí)數(shù)的取值范圍.點(diǎn)撥:利用對數(shù)相等的意義,同時(shí)構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),通過函數(shù)的圖象有沒有交點(diǎn)進(jìn)而得出方程有沒有解,從而確定出的取值范圍.解：原方程等價(jià)于xyol3l2l1圖8-2構(gòu)造曲線,直線從而使問題轉(zhuǎn)化為直線和雙曲線()在軸上半部分有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍xyol3l2l1圖8-2有三條臨界直線、、①當(dāng)在和之間時(shí)，直線在軸上的截距滿足時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)，解之可得②當(dāng)在上方時(shí)，直線在軸上的截距滿足時(shí),與有一個(gè)交點(diǎn)，解之可得綜合①②可得，所求的取值范圍是易錯(cuò)點(diǎn):解方程時(shí)很可能擴(kuò)大的取值范圍,另外數(shù)形結(jié)合不會(huì)利用雙曲線漸近線.變式與引申1:求函數(shù)的值域.題型二數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用例2.若不等式的解集為區(qū)間,且,則.點(diǎn)撥：通過數(shù)形結(jié)合的思想把一個(gè)解不等式的問題轉(zhuǎn)化為求一條直線與半圓何時(shí)有交點(diǎn).xy21-1-22xy21-1-22圖8-3若,要滿足,則,此時(shí).從而.若,要滿足,則.則,從而不存在.易錯(cuò)點(diǎn)：如不能聯(lián)想到直線與圓的圖象,則思維很容易受阻.變式與引申2：已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則有（）A. B. C. D.題型三數(shù)形結(jié)合在平面向量中的應(yīng)用ABGCO圖8-4例3.在中，，GABGCO圖8-4點(diǎn)撥:結(jié)合圖形，利用平面向量基本定理和平面向量的三角形法則解題.解：如圖8-4所示，設(shè)的中點(diǎn)為，則，且.易錯(cuò)點(diǎn)：不能將表示成，不能發(fā)現(xiàn)與的垂直關(guān)系.AOMPB圖8-5變式與引申3：（1）如圖8-5，，點(diǎn)在由射線、線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng),且,則的取值范圍是；當(dāng)時(shí),的取值范圍是.AOMPB圖8-5CAOMBND圖8-6（2）如圖8-6，是半圓的直徑，是三等分點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn).若,則的值是（）CAOMBND圖8-6.26C題型四數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用例4.求函數(shù)最小值.點(diǎn)撥：由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋魪拇鷶?shù)角度考慮，確實(shí)比較復(fù)雜；若借助兩點(diǎn)間的距離公式，轉(zhuǎn)化為幾何問題，則非常容易解決xyAxyA(0,1)B(2,2)圖8-7令,,則問題化為:在軸求一點(diǎn),使得取最小值關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為易錯(cuò)點(diǎn)：如果用代數(shù)方法（如兩邊平方等）去求解問題，往往會(huì)陷入其中，不得其解.而將代數(shù)問題幾何化則使問題變得容易解決.變式與引申4：(1)平面直角坐標(biāo)系中，若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）.A.B.C.D.(2)已知，則的大小關(guān)系是（）.A.B.C.D.本節(jié)主要考查：數(shù)形結(jié)合思想一方面考查學(xué)生對數(shù)學(xué)的符號(hào)語言、圖形語言的理解能力，另一方面考查學(xué)生的構(gòu)圖能力以及對圖形的想象能力、綜合應(yīng)用知識(shí)等能力.點(diǎn)評:（1）數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,它可以使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化,“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).（2）函數(shù)的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是“以形示數(shù)”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標(biāo)表示則是“以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了“數(shù)形結(jié)合”的知識(shí)平臺(tái).（3）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程中，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣，解題先想圖，以圖助解題.用好數(shù)形結(jié)合的方法，能起到事半功倍的效果，“數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休”.（4）是否選擇應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的原則是：是否有利于解決問題，用最簡單的辦法解決問題為最終目的.習(xí)題8-21.若對一切恒成立，則的取值范圍是（）.A.B.C.D.2.則的最小值為.3.已知為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，為橢圓左焦點(diǎn),為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值.ABDxOy圖8-84.已知曲線與拋物線的交點(diǎn)分別為（如圖8-8），曲線與拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且的斜率分別為.ABDxOy圖8-8(1)求證:;(2)若直線與軸的交點(diǎn)為,當(dāng)取得最小值9時(shí),求曲線曲線與的方程.5.已知二次函數(shù),滿足且的最小值是．(1)求的解析式；(2)設(shè)直線,若直線與的圖象以及軸所圍成封閉圖形的面積是,直線與的圖象所圍成封閉圖形的面積是,設(shè),當(dāng)取最小值時(shí),求的值．(3)已知,求證:．第三節(jié)運(yùn)用分類討論思想解題的策略分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置，在選擇題、填空題、解答題中都會(huì)涉及到分類討論的思想方法，其難度在～之間.考試要求：《考試說明》強(qiáng)調(diào)，對于數(shù)學(xué)思想和方法的考查要與數(shù)學(xué)知識(shí)的考查結(jié)合進(jìn)行，通過數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，反映考生對數(shù)學(xué)思想和方法理解和掌握的程度．考查時(shí)，要從學(xué)科整體意識(shí)和思想含義上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度．題型一由概念引起的分類討論例1.平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)．求證：“如果直線過點(diǎn)，那么”是真命題.點(diǎn)撥：（1）聯(lián)立直線和拋物線，根據(jù)向量數(shù)量積定義，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可求得；（2）設(shè)直線方程時(shí)須考慮直線斜率是否存在.證明：設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn).（1）當(dāng)直線的鈄率不存在時(shí),直線的方程為,此時(shí),直線與拋物線相交于.∴.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，由得又∵，∴，綜上所述，命題“如果直線過點(diǎn)，那么”是真命題；易錯(cuò)點(diǎn)：（1）在本例中，非常容易遺漏當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)對命題的論證，習(xí)慣性地設(shè)直線的方程為，直接求得，從而證明命題是真命題.顯然這種證法是不嚴(yán)密的.（2）此題是由概念引起的分類討論，相關(guān)的題目很多，如集合是否為空集的討論；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)底數(shù)的討論；公比、斜率的討論等.變式與引申1：（1）已知集合，若時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.（2）在等比數(shù)列中，，，，求證：.題型二由參數(shù)引起的分類討論例2.（2022全國課標(biāo)卷理科第21題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍。點(diǎn)撥：（1）此題是與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的一類問題，思路為：求導(dǎo)函數(shù)，再利用和求出的值；（2）由于該題存在參數(shù)，因此應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論.解：（Ⅰ） 由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即 解得，。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ?？紤]函數(shù)，則。(i)設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，.而，故當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）<0，可得h（x）>0從而當(dāng)x>0,且x1時(shí)，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設(shè).由于當(dāng)x（1，）時(shí)，（k-1）（x2+1）+2x>0,故,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時(shí)，，可得,與題設(shè)矛盾.（iii）設(shè).此時(shí),而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，，可得,與題設(shè)矛盾.綜合得，k的取值范圍為（-，0]易錯(cuò)點(diǎn)：（1）易遺漏這個(gè)隱含條件；（2）在（Ⅱ）中，不會(huì)構(gòu)造函數(shù)，充分利用單調(diào)性和h（1）=0，對進(jìn)行討論，從而作出判斷.變式與引申2：（1）解關(guān)于的不等式：.（2）設(shè)為實(shí)常數(shù)，問方程表示的曲線是何種曲線？題型三由自變量引起的分類討論例3.若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.點(diǎn)撥：該題是恒成立問題，其實(shí)就是求最值問題，由于，的符號(hào)不確定，因此在參變量分離時(shí)應(yīng)對范圍進(jìn)行分類討論.解：令，則（1）當(dāng)時(shí)，，則，而此時(shí)，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，則，而此時(shí)，∴；（3）當(dāng)時(shí)，原不等式化為恒成立.綜上所述，的取值范圍是.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）該題在參變量分離時(shí)經(jīng)常會(huì)不考慮自變量的取值范圍，直接化為，求得；（2）在分類討論后，往往沒有把最后結(jié)果取交集.審題時(shí)一定要分清討論的目標(biāo)是自變量還是參數(shù)，當(dāng)討論自變量時(shí)結(jié)果取交集，當(dāng)討論參數(shù)時(shí)注意分情況寫出.變式與引申3：（1）設(shè),則不等式的解集為（）A.B.C.D.（2）已知是不為零的實(shí)數(shù)，,則.題型四由運(yùn)算引起的分類討論例4.數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為，求.點(diǎn)撥：因?yàn)椋允且?為周期的數(shù)列，因此，在數(shù)列求和時(shí)應(yīng)分三類進(jìn)行討論.解:（1）當(dāng)，時(shí)，,（2）當(dāng)，時(shí)，（3）當(dāng)，時(shí)，綜上所述，()易錯(cuò)點(diǎn)：（1）首先該題不容易發(fā)現(xiàn)該如何進(jìn)行分類討論；（2）其次，當(dāng)，時(shí)，，誤認(rèn)為；（3）最后，的結(jié)論要么沒有整合，要么不知該如何整合？正確的整合方法如下：當(dāng)時(shí)，，，以此類推，可求得其他情況的.變式與引申4：（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（2）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和.求數(shù)列的前項(xiàng)和.本節(jié)主要考查：（1）本節(jié)考查的是分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都可能成為分類討論考查的對象，因此牢固掌握各章的基本知識(shí)點(diǎn)和基本原理是分類討論的基礎(chǔ).（2）分類討論的原則有：同一性原則、互斥性原則、層次性原則.同一性原則簡言之即“不遺漏”；互斥性原則強(qiáng)調(diào)的是“避免重復(fù)”；層次性原則是指分類討論必須按同一標(biāo)準(zhǔn)的層次進(jìn)行,不同標(biāo)準(zhǔn)的不同層次的討論不能混淆.（3）分類討論的思想方法是把要解決的數(shù)學(xué)問題,分解成可能的各個(gè)部分,從而使復(fù)雜問題簡單化,使“大”問題轉(zhuǎn)化為“小”問題,便于求解.它的思維策略是“化整為零，各個(gè)擊破”.點(diǎn)評：（1）分類討論思想是數(shù)學(xué)思想方法中最基本、最常見的一種思想方法，在近幾年的高考試題中都把分類討論思想方法列為重要的思想方法來考查，體現(xiàn)出其重要的位置.分類討論的思想方法不僅具有明顯的邏輯性、題型覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，而且還有利于對學(xué)生知識(shí)面的考查、需要學(xué)生有一定的分析能力、一定分類技巧，對學(xué)生能力的考查有著重要的作用.（2）引入分類討論的主要原因=1\*GB3①由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：如絕對值的定義、直線的斜率等；=2\*GB3②由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零、對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求等；=3\*GB3③由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論；=4\*GB3④由圖形的不確定引起的分類討論；=5\*GB3⑤由參數(shù)的變化引起的分類討論；=6\*GB3⑥按實(shí)際問題的情況而分類討論.（3）分類討論的思想方法的步驟：(1)確定標(biāo)準(zhǔn)；(2)合理分類；(3)逐類討論；(4)歸納總結(jié)（4）解題時(shí)把好“四關(guān)”=1\*GB3①要深刻理解基本知識(shí)與基本原理，把好“基礎(chǔ)關(guān)”；=2\*GB3②要找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn)，把好“分類關(guān)”；=3\*GB3③要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關(guān)”；=4\*GB3④要注意對照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗(yàn)關(guān)”.習(xí)題8-31.用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．324B．328C．360D．6482.數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則=_________3.已知集合,，若,求的取值范圍.4.已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與｜MQ｜的比等于常數(shù).求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.5.已知函數(shù),.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：若，則對任意，，有.第四節(jié)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想解題的策略等價(jià)轉(zhuǎn)換是四大數(shù)學(xué)思想之一，在研究和解決中較難數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，將復(fù)雜的問題等價(jià)轉(zhuǎn)換為簡單的問題，將難解的問題通過等價(jià)轉(zhuǎn)換為容易求解的問題，將未解決的問題等價(jià)轉(zhuǎn)換為已解決的問題.近幾年來高考試題要求學(xué)生要有較強(qiáng)的等價(jià)轉(zhuǎn)換意識(shí)，等價(jià)轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用在近幾年來高考試題中處處可見，是解高考試題常用的數(shù)學(xué)思想，難度值一般控制在.考試要求：（1）了解等價(jià)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想和遵循的基本原則；（2）了解等價(jià)轉(zhuǎn)換思想在解題中的作用；（3）掌握等價(jià)轉(zhuǎn)換的主要途徑、方法；（4）掌握幾種常見的等價(jià)轉(zhuǎn)換思路，靈活運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想解決數(shù)學(xué)難題.題型一利用數(shù)學(xué)定義、公式構(gòu)造數(shù)學(xué)模型進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換例1.（1）求的值;（2）求函數(shù)的最大值.點(diǎn)撥:（1）利用所求式與余弦定理類似，再結(jié)合正弦定理的推論求值；（2）將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)換為向量數(shù)量積問題，由數(shù)量積的不等式性質(zhì)，求出最大值.解：（1）注意到所求式與余弦定理類似，由∴原式=.（2）構(gòu)造向量則，由知，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)與共線且方向相同時(shí)，即時(shí)等號(hào)取得.易錯(cuò)點(diǎn)：在本例的兩個(gè)小題中：（1）若利用三角恒等變形，過程較為復(fù)雜，思路容易受阻；（2）容易想到用換元法和三角恒等變形求函數(shù)的最大值，不能聯(lián)想到平面向量的數(shù)量積，計(jì)算容易出錯(cuò)，解題思路容易受阻.變式與引申1：已知，且，求證：.題型二函數(shù)、方程及不等式解題中的等價(jià)轉(zhuǎn)換例2.（1）若、是正數(shù)，且滿足，求的取值范圍.(2)已知奇函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，且在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使對所有的均成立？若存在，求出所有適合條件的實(shí)數(shù)；若不存在，請說明理由.點(diǎn)撥:(1)將一個(gè)等式轉(zhuǎn)換為不等式，是求變量取值范圍的重要的方法，通常利用函數(shù)的單調(diào)性解答此類問題，或者利用基本不等式解答這類問題.(2)本題是一道抽象函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合運(yùn)用的問題，由函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性得出關(guān)于和的不等式，既然需求的取值，不防把此問題轉(zhuǎn)換為關(guān)于的函數(shù)和不等式的問題.解：(1)方法一（看成函數(shù)的值域），，而，，即或，又，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)取得.方法二（看成不等式的解集）為正數(shù)，，又，，即，解得或（舍去），（2）由是上的奇函數(shù)可得，再利用的單調(diào)性，則可把原不等式轉(zhuǎn)換成為關(guān)于的三角不等式，是上的奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)，故是上為增函數(shù).是上的增函數(shù)，即令，，.于是問題轉(zhuǎn)換為對一切的，不等式恒成立，，即恒成立.又存在實(shí)數(shù)滿足題設(shè)的條件，.易錯(cuò)點(diǎn)：(1)不能將等式轉(zhuǎn)換為函數(shù)或者不等式進(jìn)行研究；（2）由已知不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性找不到和的不等式；錯(cuò)誤理解自變量只為，不能把問題轉(zhuǎn)換為和的函數(shù)或不等式問題；不能想到用復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)來研究的取值，并且容易把問題看成是關(guān)于的不等式問題，從而用根的分布來解決此問題，較為繁瑣，容易出錯(cuò).變式與引申2：（1）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)椋舸嬖?，使成立，則稱以為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)圖像上的不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)圖像上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動(dòng)點(diǎn)，求、應(yīng)滿足的條件.(2)(2022年湖北理科第19題)已知一條曲線在軸右邊，上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差是.(Ⅰ)求曲線的方程；(Ⅱ)是否存在正數(shù)，對于過點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的任一直線，都有?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.題型三引入相關(guān)參數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換例3.（1）設(shè)，且，求的范圍.（2）已知橢圓，其長軸兩端點(diǎn)為，如果上存在一點(diǎn)，使.求橢圓離心率的取值范圍.點(diǎn)撥:(1)本題的解法有多種，數(shù)形結(jié)合，三角換元都是比較容易想到的方法，我們也可以引入相關(guān)參數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換（2）本題從條件入手求解，而點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，引入合理的參數(shù),由參數(shù)的范圍從而求解.解：（1）由得，設(shè)，則，代入已知等式得：，即，其對稱軸為，由，則得，所以的范圍是.（2）設(shè)（為與相關(guān)的參數(shù)）由對稱性，不妨設(shè)∴，故易錯(cuò)點(diǎn)：(1)忽視參數(shù)的取值范圍，將解得范圍擴(kuò)大；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，不容易消去參量求范圍,參量的范圍容易弄錯(cuò).變式與引申3：設(shè)兩個(gè)向量和其中為實(shí)數(shù).若則的取值范圍是() A.B.C.D.題型四正向與反向思考中的等價(jià)轉(zhuǎn)換例4.試求常數(shù)的范圍，使曲線的所有弦都不能被直線垂直平分.點(diǎn)撥：在解答問題時(shí)，正難則反是轉(zhuǎn)換的一種有效手段，問題的反面是存在一條弦能被直線垂直平分，解出問題反面的范圍，則原問題就出來了.解：假設(shè)拋物線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，顯然，于是有，，因?yàn)榇嬖谑股鲜胶愠闪?，，即因?yàn)楹愠闪?，所以，所以，即?dāng)時(shí)，拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以當(dāng)時(shí)，曲線的所有弦都不能被直線垂直平分.易錯(cuò)點(diǎn):不能從問題的反面作為切入點(diǎn)，對于垂直平分認(rèn)識(shí)不夠深刻，找不出關(guān)于的方程和不等式.變式與引申4：已知三個(gè)方程：中至少有一個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．本節(jié)主要考查：（1）等價(jià)轉(zhuǎn)換思想在解題中的應(yīng)用，幾種常見的等價(jià)轉(zhuǎn)換思路；（2）數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想以及邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力.點(diǎn)評：等價(jià)轉(zhuǎn)換是把未知解的問題轉(zhuǎn)換到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法，通過不斷的轉(zhuǎn)換，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題，不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)換意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧，等價(jià)轉(zhuǎn)換要求轉(zhuǎn)換過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)換后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果，等價(jià)轉(zhuǎn)換思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性，在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行，它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，如在分析和解決實(shí)際問題的過程中，普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形，消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，可以說，等價(jià)轉(zhuǎn)換是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變，由于其多樣性和靈活性，要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)換的途徑和方法，避免死搬硬套題型，在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)換時(shí)，要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把遇到的問題，通過轉(zhuǎn)換變成比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)換為比較直觀的問題，以便精確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者正面難，則從反面進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即反證法，按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)換過程省時(shí)省力，有如順?biāo)浦?，?jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，可以提高解題的水平和能力.習(xí)題8-41.函數(shù)在內(nèi)有極小值，則的取值范圍是().A.B.C.D.2.某房間有個(gè)人，那么至少有兩個(gè)人生日是同一個(gè)月的概率是_______.（列式表示）3.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4.設(shè)是雙曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）如果線段的垂直平分線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，那么、、、四點(diǎn)是否共圓？5.已知函數(shù)，其中為常數(shù).如果是增函數(shù)，且的導(dǎo)函數(shù)存在正零點(diǎn).（1）求的值；（2）設(shè)是函數(shù)的圖像上兩點(diǎn)，（為的導(dǎo)函數(shù)）求證：.第五節(jié)推理證明與算法初步推理證明與算法初步是我們高考關(guān)注的幾個(gè)新課標(biāo)中重點(diǎn)話題，主要涉及到合情推理和演繹推理，直接證明和間接證明，以及算法初步中的框圖知識(shí)和算法案例等.題型可能是選擇題、填空題，主要考查類比或歸納推理、循環(huán)結(jié)構(gòu)為主的框圖等；也可能是解答題，結(jié)合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行命題的綜合試題.其中推理與證明部分常與數(shù)列、不等到式問題綜合，難度一般在之間.考試要求（1）合情推理與演繹推理①了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用;②了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理;③了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異;（2）直接證明與間接證明①了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn);②了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)；（3）了解算法的含義；理解程序框圖的三種基本結(jié)構(gòu)：順序、選擇、循環(huán)；理解幾種基本算法語句.題型一：合情推理例1（1）若?ABC內(nèi)切圓半徑為r，三邊長為a、b、c，則?ABC的面積S＝EQ\F(1,2)r(a+b+c)類比到空間，若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個(gè)面的面積為S1、S2、S3、S4，則四面體的體積＝．（2）觀察下列等式：，，，，………由以上等式推測到一個(gè)一般的結(jié)論：對于，．【點(diǎn)撥】（1）類比推理是指兩類對象具有一些類似特征，由其中一類的某些已知特征推出另一類對象的某些特征；（2）這是一種歸納推理方法，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為要善于發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)字間的特征才能找到規(guī)律，得到一般形式．【解】（1）比較兩個(gè)對象，三邊對四面，面積對體積，內(nèi)切圓對內(nèi)切球，三邊長對四個(gè)面的面積，由S＝EQ\F(1,2)r(a+b+c)等式兩邊的量，類比對應(yīng)到體積、系數(shù)EQ\F(1,3)、半徑R、面積S1＋S2＋S3＋S4，答：EQ\F(1,3)R(S1＋S2＋S3＋S4)（2）在給出的一系列的等式中，右邊為兩項(xiàng)，形成加減輪換的規(guī)律，其中一個(gè)的指數(shù)由構(gòu)成，第二個(gè)的指數(shù)由構(gòu)成，故等式的右邊為：【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）類似特征不明確，類比結(jié)論錯(cuò)誤；（2）不善于尋找數(shù)字間的規(guī)律，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤．變式與引申1：（1）在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1，DO圖則；類比此性質(zhì)，如圖，在四面體P—ABCDO圖若PA，PB，PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為____.（2）在古臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形圖圖1361015則第個(gè)三角形數(shù)為 （）A．B．C．D．題型二：演繹推理例2如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.ABCA1B1CABCA1B1C1EFD圖A1（2）.【點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)的證明主要是通過演繹推理來進(jìn)行的，證明線面平行時(shí)一定要注意注明直線在平面內(nèi)及直線在平面外這兩個(gè)條件．【解】證明：（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又，，所以∥；（2）因?yàn)橹比庵?，，又，所以，又，所以．【易錯(cuò)點(diǎn)】三段論是演繹推理的一般形式，包括大前提、小前提、結(jié)論三部分，在書寫證明的過程中，很多學(xué)生會(huì)出現(xiàn)跳步現(xiàn)象，邏輯關(guān)系不清楚是常見的錯(cuò)誤．變式與引申2：（1）已知①正方形的對角相等；②平行四邊形的對角相等；③正方形是平行四邊形．根據(jù)三段論推理得到一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論的序號(hào)是;（2）如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).ABCDEF圖（1ABCDEF圖（2）求證：平面BCE⊥平面CDE.題型三：直接證明與間接證明例3（1）已知求證：（2）已知函數(shù)y=ax+(a＞1).（Ⅰ）證明：函數(shù)f(x)在（－1,+∞)上為增函數(shù)；（Ⅱ）用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.【點(diǎn)撥】（1）綜合法著力分析已知和求證之間的差異和聯(lián)系，并合理運(yùn)用已知條件進(jìn)行有效的變換是證明的關(guān)鍵，綜合法可以使證明過程表述簡潔，但必須首先考慮從哪開始，這一點(diǎn)比較困難，分析法就可以幫助我們克服這一點(diǎn)，運(yùn)用分析法比較容易探求解題的途徑，但過程不及綜合法簡單，所以應(yīng)把它們結(jié)合起來．（2）用反證法證明把握三點(diǎn)：①必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；②必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；③導(dǎo)致的矛盾可能多種多樣，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的．【解】（1）證法1：（綜合法），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即證法2：（分析法）要證，只要證即證，即證即由得，所以原不等式成立（2）證明（Ⅰ）任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1＜x2,則x2-x1＞0,由于a＞1,∴a＞1且a＞0,∴a-a=a(a-1)＞0.又∵x1+1＞0,x2+1＞0,∴-==＞0,于是f(x2)-f(x1)=a-a+-＞0,故函數(shù)f(x)在(-1,+∞）上為增函數(shù).（Ⅱ）方法一假設(shè)存在x0＜0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,則a=-.∵a＞1,∴0＜a＜1,∴0＜-＜1,即＜x0＜2，與假設(shè)x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.方法二假設(shè)存在x0＜0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,①若-1＜x0＜0，則＜-2,a＜1,∴f(x0)＜-1,與f(x0)=0矛盾.②若x0＜-1,則＞0,a＞0,∴f(x0)＞0,與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）用綜合法證明時(shí)難找到突破口，解題受阻；（2）分析法是尋找使不等式成立的充分條件，最后要充分說明推出的結(jié)論為什么成立．（3）不是把求證結(jié)論的反面作為條件，證題（2）不寫明與什么相矛盾．變式與引申3：設(shè)(），比較、、的大小，并證明你的結(jié)論.題型四：數(shù)學(xué)歸納法例4已知函數(shù)，數(shù)列滿足遞推關(guān)系式：（），且.（1）求、、的值；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；（3）證明：當(dāng)時(shí)，有.【解】（1）由及計(jì)算得：，，（2）（?。┘串?dāng)時(shí)，結(jié)論成立.（ⅱ）假設(shè)結(jié)論對（）成立，即.∵，函數(shù)在上遞增∴，即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立.由（?。áⅲ┲坏仁綄σ磺卸汲闪?（3）∵當(dāng)時(shí)，由（2）得：，∴.又由得：，且.∴.【易錯(cuò)點(diǎn)】在證明結(jié)論成立時(shí)，不用數(shù)學(xué)歸納法，不按要求做題.變式與引申4：已知函數(shù)．（1）若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且，已知a1=4，求證：an2n+2；（3）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說明你的理由．題型五：算法初步例5若程序框圖如圖輸出的S是126，則①應(yīng)為（）A．n≤5?B