平面幾何證明題的一般思路及方法簡(jiǎn)述

平面幾何證明題的一般思路及方法簡(jiǎn)述【摘要】惠特霍斯曾說(shuō)過(guò)，“一般地，解題之所以成功，在很大程度上依賴(lài)于選擇一種最適宜的方法?！`活、恰當(dāng)?shù)剡x擇解題方法是求解平面幾何問(wèn)題的良好途徑。解決任何一道平面幾何證明題，都要應(yīng)用這樣或那樣的方法,而選擇哪一種方法,就取決于我們用什么樣的解題思路。本文試對(duì)平面幾何證明題中常用的幾種解題思路及方法進(jìn)行分析?！娟P(guān)鍵詞】平面幾何證明題思路方法平面幾何難學(xué)，是很多初中生在學(xué)習(xí)中的共識(shí)，這里面包含了很多主觀和客觀因素,而學(xué)習(xí)不得法，沒(méi)有適當(dāng)?shù)慕忸}思路則是其中的一個(gè)重要原因。波利亞曾說(shuō)過(guò),“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘。為了辨別哪一條思路正確，哪一個(gè)方向可接近它,就要試探各種方向和思路。〃由此可見(jiàn)，掌握證明題的一般思路、探索證題過(guò)程中的數(shù)學(xué)思維、總結(jié)證題的基本規(guī)律是求解幾何證明題的關(guān)鍵。常見(jiàn)的證題思路有直接式思路和間接式思路。一、直接式思路證題時(shí)，首先應(yīng)仔細(xì)審查題意，細(xì)心觀察題目，分清條件和結(jié)論,并盡量挖掘題目中隱含的一些解題信息，以在縝密審題的基礎(chǔ)上，根據(jù)定義、公式、定理進(jìn)行一系列正面的邏輯推理，最后得出命題的證明，這種證題的思路被稱(chēng)為直接式思路。由于思維方式的逆順，在證題時(shí)運(yùn)用的方法主要有"分析法〃和"綜合法〃。分析法。分析法是從命題的結(jié)論入手，先承認(rèn)它是正確的，執(zhí)果索因,尋求結(jié)論正確的條件，這樣一步逆而推之，直到與題設(shè)會(huì)合，于是就得出了由題設(shè)通往結(jié)論的思維過(guò)程。在由結(jié)論向已知條件的尋求追溯過(guò)程中，則由于題設(shè)條件的不同，或已知條件之間關(guān)系的隱含程度不同等，尋求追溯的形式會(huì)有一定差異，因而常把分析法分為以下四種類(lèi)型。⑴選擇型分析法。選擇型分析法解題，首先要從題目要求解的結(jié)論A出發(fā)，逐步把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分析要得出結(jié)論A需要哪些充分條件。假設(shè)有條件B,就有結(jié)論A,那么B就成為選擇找到的使A成立的充分條件，然后再分析在什么條件下能選擇得到B〃〃最終追溯到命題中的某一題設(shè)條件。⑵可逆型分析法。如果再?gòu)慕Y(jié)論向已知條件追溯的過(guò)程中，每一步都是推求的充分必要條件,那么這種分析法又叫可逆型分析法，因而，可逆型分析法是選擇型分析法的特殊情形。用可逆型分析法證明的命題用選擇型分析法一定能證明，反之用選擇型分析法證明的命題，用可逆型分析不一定能證明。構(gòu)造型分析法。如果在從結(jié)論向已知條件追溯的過(guò)程中，在尋找新的充分條件的轉(zhuǎn)化“三岔口〃處,需采取相應(yīng)的構(gòu)造型措施：如構(gòu)造一些條件，作某些輔助圖等，進(jìn)行探討、推導(dǎo)，才能追溯到原命題的已知條件的分析法叫做構(gòu)造型分析法。⑷設(shè)想型分析法。在向已知條件追溯的過(guò)程中,借助于有根據(jù)的設(shè)想、假定,形成“言之成理〃的新構(gòu)思,再進(jìn)行“持之有據(jù)〃的驗(yàn)證,逐步地找出正確途徑的分析法稱(chēng)為設(shè)想型分析法。綜合法。綜合法則是由命題的題設(shè)條件入手，由因?qū)Ч?，通過(guò)一系列的正確推理，逐步靠近目標(biāo),最終獲得結(jié)論。再?gòu)囊阎獥l件著手，根據(jù)已知的定義、公式、定理，逐步推導(dǎo)出結(jié)論。在這一過(guò)程中，由于思考角度不同，立足點(diǎn)不同，綜合法常分為四種類(lèi)型：(1)分析型綜合法。我們把分析法解題的敘述倒過(guò)來(lái)，稍加整理而得到的解法稱(chēng)為分析型綜合法。⑵奠基型綜合法。當(dāng)由已知條件著手較難,或沒(méi)有熟悉的模式可供歸納推導(dǎo),就可轉(zhuǎn)而尋找簡(jiǎn)單的模式，然后再將一般情形化歸到這個(gè)簡(jiǎn)單的模式中來(lái)，這樣的綜合法稱(chēng)為奠基型綜合法。⑶媒介型綜合法。當(dāng)問(wèn)題給出的已知條件較少，且看不出與所求結(jié)論的直接聯(lián)系時(shí)，或條件關(guān)系松散且難以利用時(shí),就要去有意識(shí)地尋找、選擇并應(yīng)用媒介實(shí)現(xiàn)過(guò)渡，這樣的綜合法就稱(chēng)之為媒介型綜合法。解析型綜合法。解題時(shí)，運(yùn)用解析法的思想制定解題的大體計(jì)劃和方向，然后并不真用解析法來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)計(jì)劃，而用綜合法來(lái)實(shí)現(xiàn)，這種綜合法被稱(chēng)為解析型綜合法。在具體證題時(shí)，這兩種方法可單獨(dú)運(yùn)用,也可配合運(yùn)用，在分析中有綜合，在綜合中有分析，以進(jìn)行交叉使用。二、間接式思路有些命題往往不易甚至不能直接證明，這時(shí)，不妨證明它的等效命題，以間接地達(dá)到目標(biāo),這種證題思路就稱(chēng)為間接式思路。我們常運(yùn)用的反證法、同一法證題就是兩種典型的用間接式思路證題的方法。反證法。具體地說(shuō)，在證明一個(gè)命題時(shí)，如正面不易入手，就要從命題結(jié)論的反面入手，先假設(shè)結(jié)論的反面成立,如果由此假設(shè)進(jìn)行嚴(yán)格推理，推導(dǎo)出的結(jié)果與已知條件、公式、定理、定義、假設(shè)等的其中一個(gè)相矛盾，或者推出兩個(gè)相互矛盾的結(jié)果，就證明了“結(jié)論反面成立〃的假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而得出結(jié)論的正面成立，這種證題方法就叫做反證法。當(dāng)結(jié)論的反面只有一個(gè)時(shí)，否定了這一個(gè)便完成證明，這種較單純的反證法又叫做歸謬法;而當(dāng)結(jié)論的反面有若干個(gè)時(shí)，就必須駁倒其中的每一個(gè)，這種較繁瑣的反證法又稱(chēng)為窮舉法。反證法證題通常有如下三個(gè)步驟：⑴反設(shè)。作出與結(jié)論相反的假設(shè)，通常稱(chēng)這種假設(shè)為反證假設(shè)。⑵歸謬。利用反證假設(shè)和已知條件，進(jìn)行符合邏輯的推理，推出與某個(gè)已知條件、公理、定義等相矛盾的結(jié)果。根據(jù)矛盾律，在推理和論證的過(guò)程中,在同時(shí)間、同關(guān)系下,不能對(duì)同一對(duì)象作出兩個(gè)相反的論斷，可知反證假設(shè)不成立。⑶得出結(jié)論。根據(jù)排除率,即在同一論證過(guò)程中，命題C與命題非C有且僅有一個(gè)是正確的，可知原結(jié)論成立。同一法。欲證某圖形具有某種性質(zhì)而又比較繁雜或不易直接證明時(shí)，有時(shí)可以作出具有所示性質(zhì)的圖形，然后證明所作的圖形與所給的某圖形就是同一個(gè),由此把它們等同起來(lái)，這種證法叫做同一法。例如，同一法證平面幾何問(wèn)題的步驟如下：作出符合命題結(jié)論的圖形;證明所作圖形符合已知條件;根據(jù)唯一性，確定所作的圖形與已知圖形吻合;斷定命題的真實(shí)性。同一法和反證法都是間接式思路的方法。其中，同一法的局限性較大,通常只適合于符合同一原理的命題;反證法的適用范圍則廣泛一些,能夠用反證法證明的命題，不一定能用同一法論證，但對(duì)于能夠用同一法證明的命題，一