(完整版)高中立體幾何知識點總結(jié)

(完整版)高中立體幾何知識點總結(jié)高中立體幾何知識點總結(jié)一、空間幾何體（一）空間幾何體的類型1.多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體，其中圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。2.旋轉(zhuǎn)體：把一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體，其中這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。（二）幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征：1.1棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。1.2棱柱的分類：-底面是平行四邊形的棱柱-底面是矩形的四棱柱-底面是正方形的平行六面體-棱長都相等的直平行六面體、長方體、正四棱柱、正方體1.3棱柱的性質(zhì)：-側(cè)面都是平行四邊形，且各側(cè)棱互相平行且相等；-兩底面是全等多邊形且互相平行；-平行于底面的截面和底面全等。1.4棱柱的面積和體積公式：-直棱柱側(cè)面積：S=ch（c是底周長，h是高）-直棱柱表面積：S=c·h+2S底-棱柱體積：V=S底·h2.棱錐的結(jié)構(gòu)特征：2.1棱錐的定義：-棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。-正棱錐：如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。2.2正棱錐的結(jié)構(gòu)特征：-平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；-它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；-截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；-正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形。2.3棱錐的面積和體積公式：-正棱錐側(cè)面積：S=1/2ch'（c為底周長，h'為斜高）-正棱錐表面積：S=S底+S側(cè)-棱錐體積：V=1/3Sh（S為底面積，h為高）3.正四面體：對于棱長為a的正四面體的問題可將它補成一個邊長為2a的正方體問題。-對棱間的距離為a的正四面體的高為a（等于正方體的邊長的1/2√3）-正方體體對角線為2a（等于正四面體的高的3倍）-正四面體的體積為正方體體積的1/3-正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為1:3（等于正方體的體對角線與邊長之比）3、棱臺的結(jié)構(gòu)特征棱臺是由一個平行于底面的平面截取棱錐而成的幾何體。在正棱臺中，各側(cè)棱相等，每個側(cè)面都是等腰梯形，兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形，對角面也是等腰梯形，各側(cè)棱的延長線相交于一個點。4、圓柱的結(jié)構(gòu)特征圓柱是以矩形一邊為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體。圓柱的上下底和平行于底面的截面都是等圓，軸截面是全等的矩形。圓柱的側(cè)面展開圖是一個以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。圓柱的面積和體積公式分別為圓柱側(cè)面積等于2πrh，圓柱全面積等于2πrh+2πr^2，圓柱體積等于πr^2h。5、圓錐的結(jié)構(gòu)特征圓錐是以直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體。平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比。軸截面是等腰三角形，母線的平方等于底面半徑與高的平方和。圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。6、圓臺的結(jié)構(gòu)特征圓臺是由一個平行于底面的平面截取圓錐而成的幾何體。圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓，截面是等腰梯形。圓臺經(jīng)常被補成圓錐，然后利用相似三角形進(jìn)行研究。圓臺的面積和體積公式分別為圓臺側(cè)面積等于π(R+r)l，圓臺全面積等于πr^2+πR^2+π(R+r)l，圓臺體積等于1/3(πr^2+πR^2+πrR)h。7、球的結(jié)構(gòu)特征球體是由半圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)而成的幾何體，球面是球體表面的幾何形體。球心與截面圓心的連線垂直于截面。么它們的交線與這條直線平行。2、線線垂直的判斷：（1）、如果兩條直線相交且交角為90度，則這兩條直線互相垂直。（2）、如果一條直線和一個平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么它們的交線與這條直線垂直。3、線面垂直和線面平行的判斷：（1）、如果一條直線和一個平面相交，那么它所在的直線和平面上垂直的直線垂直。（2）、如果一條直線和一個平面平行，那么它所在的直線和平面上垂直的直線平行。4、面面平行和面面垂直的判斷：（1）、如果兩個平面相交，那么它們的交線與它們的法線垂直，如果兩個平面的法線平行，則這兩個平面平行。（2）、如果兩個平面的法線相交，那么這兩個平面垂直。以上是點、直線、平面之間的關(guān)系，掌握這些關(guān)系可以更好地理解和解決立體幾何問題。如果有一條線段垂直于這個平面，那么它的射影線段最短。⑵三垂線定理：在任意三角形ABC中，垂足連成的三條垂線交于一點O，稱為三角形ABC的垂心。⑶三垂線定理的逆定理：如果在平面內(nèi)的任意三條直線的垂線交于一點，那么它們可以構(gòu)成一個三角形，且這個點為這個三角形的垂心。1、線線平行的判斷：⑴如果一條直線和另一條直線的射影平行，那么這兩條直線平行。⑵如果兩個平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。⑶如果垂直于同一平面的兩條直線平行，則它們的交線也平行。2、線線垂直的判斷：⑷如果一條直線和平面內(nèi)的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。⑸如果一條直線和平面內(nèi)的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。⑹如果一條直線垂直于一平面，那么它垂直于平面內(nèi)所有直線。3、線面平行的判斷：⑴如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。⑵如果兩個平面平行，其中一個平面必平行于另一個平面。4、線面垂直的判斷：⑼如果一條直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，那么這條直線就垂直于這個平面。⑾如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。⒁一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。⒃如果兩個平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面。5、三垂線定理及其逆定理：⑴斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的所有線段中，如果有一條線段垂直于這個平面，那么它的射影線段最短。⑵三垂線定理：在任意三角形ABC中，垂足連成的三條垂線交于一點O，稱為三角形ABC的垂心。⑶三垂線定理的逆定理：如果在平面內(nèi)的任意三條直線的垂線交于一點，那么它們可以構(gòu)成一個三角形，且這個點為這個三角形的垂心。斜線越長，射影越長，垂線段最短。根據(jù)圖2-7斜線定理，已知PO⊥α，斜線PA在平面α內(nèi)的射影為OA，a是平面圖中的一條直線。根據(jù)三垂線定理，若a⊥OA，則a⊥PA，即垂直射影則垂直斜線；若a⊥PA，則a⊥OA，即垂直斜線則垂直射影。三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用包括證明異面直線垂直、作出和證明二面角的平面角、作點到線的垂線段。同時，面面平行的判斷規(guī)則為一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，則這兩個平面平行；垂直于同一條直線的兩個平面平行。面面垂直的判斷規(guī)則為一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面互相垂直。判定定理包括確定平面的條件：①不共線的三點；②直線和直線外一點；③相交直線；直線與平面的位置關(guān)系：在平面內(nèi)；平行；相交（垂直是它的特殊情況）；平面與平面的位置關(guān)系：相交；平行。等角定理指出，如果兩個角的兩邊分別平行且方向相同，則這兩個角相等；如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等。射影定理（斜線長、射影長定理）規(guī)定，在平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等；射影較長的斜線段也較長；反之，斜線段相等的射影相等；斜線段較長的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短。最小角定理指出，斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角。異面直線的判定有兩種方法：反證法和過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線。過已知點與一條直線垂直的直線都在過這點與這條直線垂直平面內(nèi)。如果一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線平行于兩個平面的交線。唯一性定理指出，過已知點，有且只能作一直線和已知平面垂直；過已知平面外一點，有且只能作一平面和已知平面平行；過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。四、求解空間角的方法：(1)異面直線所成的角：通過直線的平移，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角。異面直線所成角的范圍為0°<α≤90°。(2)線面所成的角：①線面平行或直線在平面內(nèi)：線面所成的角為0°；②線面垂直：線面所成的角為90°；③斜線與平面所成的角：范圍0°<α<90°，即斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。線面所成的角的范圍為0°≤α≤90°。(3)二面角：關(guān)鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法。二面角的平面角的范圍為0°≤α<180°。五、距離的求法：(1)點點、點線、點面距離：點與點之間的距離就是兩點之間線段的長度，點與線、面間的距離是點到線、面垂足間線段的長度。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計算。注意：求點到面的距離的方法：①直接法：直接確定點到平面的垂線段長度（垂線段一般在二面角所在的平面上）；②轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點到該平面的距離（利用線面平行的性質(zhì)）；③體積法：利用三棱錐體積公式。(2)線線距離：關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：①定義法，關(guān)鍵是確定出a,b的公垂線段；②轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為a與過b而平行于a的平面之間的距離，關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出這個平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離。(3)線面、面面距離：線面間距離和面面間距離常常相互轉(zhuǎn)化。六、常用的結(jié)論：(1)若直線l在平面α內(nèi)的射影是直線l'，直線m是平面α內(nèi)經(jīng)過l的斜足的一條直線，l與l'所成的角為θ1，l'與m所成的角為θ2，l與m所成的角為θ，則這三個角之間的關(guān)系是cosθ=cosθ1cosθ2。(2)如何確定點在平面的射影位置：①若一個角所在平面外一點到角兩邊距離相等，那么這點在平面上的射影在這個角的平分線上；②經(jīng)過一個角的頂角引這個角所在平面的斜線，如果斜線和這個角的兩邊夾角相等，那么斜線上的點在平面上的射影在這個角的平分線所在的直線上；③如果平面外一點到平面上兩點的距離相等，則這一點在平面上的射影在以這兩點為端點的線段的垂直平分線上。④垂線法：如果過平面外一點的斜線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么這一點在這平面上的射影在過斜足且垂直于平面內(nèi)直線的直線上（三垂線定理和逆定理）。垂面法：如果兩平面互相垂直，那么一個平面內(nèi)任一點在另一平面上的射影在這兩面的交線上。整體法：確定點在平面的射影，可先確定過一點的斜線這一整體在平面內(nèi)的射影。在四面體ABCD中，如果AB垂直于CD且BC垂直