三角形全等之手拉手模型、倍長中線、截長補(bǔ)短法、旋轉(zhuǎn)、尋找三角形全等方法歸納總結(jié)

三角形全等之手拉手模型、倍長中線、截長補(bǔ)短法、旋轉(zhuǎn)、尋找三角形全等方法歸納總結(jié)手拉手模型是由兩個等頂角的等腰三角形組成，它們的頂點(diǎn)是公共頂點(diǎn)。根據(jù)這個模型，可以得出三個結(jié)論：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC。例如，在直線ABC的同一側(cè)作兩個等邊三角形△ABD與△BCE，連結(jié)AE與CD，可以證明：（1）△ABE?△DBC（2）AE=DC（3）AE與DC之間的夾角為60°（4）△AGB?△DFB（5）△EGB?△CFB（6）BH平分∠AHC（7）GF//AC。另一種與中線有關(guān)的線段是倍長中線，它可以用來旋轉(zhuǎn)等長度的線段，從而將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例如，在△ABC中，如果AM是中線，可以證明AM<(AB+AC)。點(diǎn)D，連接BD、AC。求證：BD=BC-AD。2.在△ABC中，AB=5，AC=9，求BC邊上的中線AD的長的取值范圍。3.已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF。4.在△ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF∥AD交CA的延長線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，若BG=CF，求證：AD為△ABC的角平分線。5.已知△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，DE=CD，EF=AC，求證：EF∥AB。6.在Rt△ABC中，F(xiàn)是斜邊AB的中點(diǎn)，D、E分別在邊CA、CB上，滿足∠DFE=90°，若AD=3，BE=4，則線段DE的長度為5。7.在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為AB、AC上的點(diǎn)，且MD⊥ND。（1）若∠A=90°，以線段BM、MN、CN為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？（2）如果BM2+CN2=DM2+DN2，求證AD2=(AB2+AC2)/4。8.如圖所示，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，E為AB的中點(diǎn)，連接CE、CD，求證CD=2EC。截長補(bǔ)短法是解決角平分線問題的一種特殊方法。在這些題目中，我們需要利用角平分線定理，即平分線所在的角相等。同時，我們還需要利用截長補(bǔ)短的方法，即將線段截成若干段，然后利用已知條件補(bǔ)全缺失的部分，最終得到所需的結(jié)論。這些題目需要我們熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形的各種定理，才能夠順利解決。D。求證：AB=AC+CD。在三角形ACD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：∠ACD=180°-∠A-∠B=∠C，即∠ACD=∠C。又因?yàn)椤螦CD和∠CBD是共頂角，所以∠ACD=∠CBD。因此，三角形ABC和三角形BCD是等腰三角形，即AB=AC，BD=CD。所以，AB=AC+CD，證畢。2.求證：AE+CD=AC。在三角形ABC中，根據(jù)角平分線定理可得：∠BAE=∠CAE，∠ACE=∠BCE。因此，三角形ABE和三角形CBE是相似三角形，即AE/CE=AB/CB。又因?yàn)槿切蜛CD和三角形BCD是等腰三角形，即AC=BC，CD=BD。所以，AE+CD=CE×(AB/CB)+CD=CE+BD=AC，證畢。3.求證：BD=2CE。在三角形ABD和三角形CBD中，因?yàn)锳B=AC，∠ABD=∠CBD，所以它們是全等三角形，即BD=CD。又因?yàn)镃E⊥BD，所以∠BCE=90°，因此三角形BCE是直角三角形。根據(jù)勾股定理可得：CE2+BE2=BC2。因?yàn)椤螧CE=90°，所以BE=BD-DE=BD-CE。代入上式可得：CE2+(BD-CE)2=BC2，即2CE2-2CEBD+BD2-BC2=0。因?yàn)锽D=CD，所以BD2=BC2+CD2=2BC2。代入上式可得：2CE2-4BC2+2CD2=0，即CE2=BC2-CD2/2。因?yàn)槿切蜛CD和三角形BCD是等腰三角形，即AC=BC，CD=BD，所以CE2=BC2-BD2/2=BD2/2。因此，BD=2CE，證畢。5.求證：AC-AB=2BE。在三角形ABE和三角形ACD中，根據(jù)角平分線定理可得∠BAE=∠CAE，∠ACE=∠BCE。因此，三角形ABE和三角形CBE是相似三角形，即AE/CE=AB/CB。又因?yàn)椤螦ED=∠BEC，所以三角形AED和三角形BEC是相似三角形，即AE/BE=DE/CE。聯(lián)立以上兩式可得：AE2=CE×AB+DE×BE，即AE2=AC×AB/BC×AB+2BE2。因?yàn)椤螩=30°，所以BC=2ACsin30°=AC，代入上式可得：AE2=AB+2BE2。因?yàn)锳E+CD=AC，所以AE=AC-CD，代入上式可得：(AC-CD)2=AB+2BE2，即AC2-2ACCD+CD2=AB+2BE2。因?yàn)锳C=BC=2AB，所以AC2=4AB2。代入上式可得：4AB2-2ABCD+CD2=AB+2BE2，即3AB2-2ABCD+CD2=2BE2。因?yàn)锳B+CD=BC=2AB，所以CD=AB，代入上式可得：BE2=AB2/2，即BE=AB/√2。因此，AC-AB=2BE，證畢。三、截長補(bǔ)短問題1：垂直平分線（性質(zhì)）定理是：垂直平分線將一條線段垂直平分，即將一條線段分成兩個相等的部分，并且在線段中點(diǎn)處垂直于線段。問題2：角平分線（性質(zhì)）定理是：角平分線將一個角分成兩個相等的部分，即將一個角分成兩個相等的角，并且角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。問題3：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱底角；如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等，簡稱對邊。問題4：當(dāng)見到線段的長度不好處理時，考慮截長補(bǔ)短，構(gòu)造全等或等腰三角形，轉(zhuǎn)移線段的長度，然后和其他線段重新組合解決問題。三角形全等之截長補(bǔ)短（一）一、單選題(共4道，每道25分)1.答案為B。根據(jù)題目中的條件，可以得到∠1=∠2，∠BAP=∠CAP，∠BCP=∠DCP，∠BPD=∠APB，∠CPD=∠CPB。因此，三角形ABP和三角形ACP是相似三角形，即AP/CP=AB/AC。又因?yàn)槿切蜝CD和三角形ABP是相似三角形，即BP/CD=AB/BC。將上述兩式聯(lián)立可得：AP/CP=BP/CD，即AP×CD=BP×CP。因?yàn)锽D=AB+CD，所以BP=BD×AP/(AP+BP)，CP=BD×CP/(AP+BP)。代入上式可得：AP×CD=BD2×AP/(AP+BP)+BD2×CP/(AP+BP)，即AP×CD=BD2×(AP+CP)/(AP+BP)。因?yàn)椤螧PD=∠APB，所以三角形BPD和三角形APB是相似三角形，即BP/PD=AB/BP。又因?yàn)椤螩PD=∠CPB，所以三角形CPD和三角形CPB是相似三角形，即CP/PD=CB/CP。將上述兩式聯(lián)立可得：BP/CP=AB/CB，即BP=AB×CP/CB。代入上式可得：AP×CD=BD2×(AP+AB×CP/(CB×(AP+CP)))/(AP+AB×CP/(CB×(AP+CP)))，即AP×CD=BD2×(AP×CB+AB×CP)/(AP×CB+AB×CP+CP2)。因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，所以∠D=180°-∠A-∠B-∠C=∠BPD+∠CPD=∠APB+∠CPB。因此，三角形ABP和三角形DCP是相似三角形，即BP/CP=AB/DC。代入上式可得：AP×CD=BD2×(AP×DC+AB×CD)/(AP×DC+AB×CD+CD2)。因此，BD2×(AP×CB+AB×CP)/(AP×CB+AB×CP+CP2)=BD2×(AP×DC+AB×CD)/(AP×DC+AB×CD+CD2)。移項(xiàng)化簡可得：AP×CB×CD2+AB×CP×CD2+BD2×CP2=AP×CB×DC2+AB×CP×DC2+BD2×CD2。因?yàn)锳B+BC=2BD，所以BC=2BD-AB。代入上式可得：AP×CD2+AB×CP×CD2+4BD2×CP2=AP×DC2+AB×CP×DC2+4BD2×CD2。因?yàn)锽P/CD=AB/BC，所以BP=AB×CD/BC。代入上式可得：AP×CD2+AB2×CD2/(BC)2+4BD2×AB2/(BC)2=AP×DC2+AB2×DC2/(BC)2+4BD2×CD2/(BC)2。因?yàn)锳B=BC，所以AP×CD2+AB2×CD2+4BD2×AB2=AP×DC2+AB2×DC2+4BD2×CD2。因?yàn)锳B+CD=AC，所以AP×CD+AB2=AP×DC+AB×CD。代入上式可得：AP×CD2+AB×CD×AP+AB2×CD+4BD2×AB2=AP×DC2+AB×DC×AP+AB2×DC+4BD2×CD2。因?yàn)锳B2=BC2+AC2/4，所以BD2=BC2-AC2/4。代入上式可得：AP×CD2+AB×CD×AP+CD2×BC2-CD2×AC2/4+AB×CD×BC2+AC2×AB2/4+4BC2×AC2/16=AP×DC2+AB×DC×AP+DC2×BC2-DC2×AC2/4+AB×DC×BC2+AC2×AB2/4+4BC2×AC2/16。移項(xiàng)化簡可得：AP×(CD-DC)2+AB×(CD-DC)×(BC+DC)/2+AC2×AB2/16+BC2×AC2/16=0。因?yàn)锳C=BC，所以AP×(CD-DC)2+AB×(CD-DC)×(AC+DC)/2+AC2×AB2/16+AC2×BC2/16=0。因此，∠BAP+∠BCP=180°，證畢。2.答案為A。根據(jù)題目中的條件，可以得到∠BAC=90°，∠ABD=∠CBD，CE⊥BD，BD=2CE。因?yàn)椤螧AC=90°，所以AB2=BC2+AC2。代入上式可得：BD2=2BC2+2AC2。因?yàn)椤螦BD=∠CBD，所以三角形ABD和三角形CBD是相似三角形，即BD/AB=BC/BD。代入上式可得：BD3=2AB2BC。因?yàn)镃E⊥BD，所以三角形BCE和三角形BDE是相似三角形，即CE/BD=BD/DE。代入上式可得：CE2=BD2/2。因此，AB2=BC2+BD2/2+CE2=BC2+BD2/2+BD2/8=3BD2/8+BC2。因?yàn)锽D=2CE，所以AB2=3CE2+BC2。又因?yàn)镃E⊥BD，所以三角形BCE和三角形BDE是相似三角形，即CE/BD=BD/DE。代入上式可得：CE3=BD2DE/2=BD2(BD+2CE)/2=BD3+BD2CE。因?yàn)锽D=2CE，所以CE3=8CE3/2+4CE3/2，即CE3=6CE3。因此，CE=0，與題意不符，排除選項(xiàng)B、C、D。因?yàn)锽D=2CE，所以BD≠0，所以CE≠0，所以選項(xiàng)A正確。3.答案為C。根據(jù)題目中的條件，可以得到AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD=∠CBD，CE垂直于BD的延長線于E，BD=2CE。因?yàn)锳B=AC，所以∠ABC=∠ACB=45°。因?yàn)椤螦BD=∠CBD，所以三角形ABD和三角形CBD是相似三角形，即BD/AB=BC/BD。代入上式可得：BD2=AB×BC。因?yàn)镃E垂直于BD的延長線于E，所以三角形BCE和三角形BDE是相似三角形，即CE/BD=BD/DE。代入上式可得：CE2=BD2/2。因此，AB2=AC2=2BD2=4CE2+2CE2=6CE2。因?yàn)镃E垂直于BD的延長線于E，所以三角形BCE和三角形BDE是相似三角形，即CE/BD=BD/DE。代入上式可得：CE3=BD2DE/2=BD2(BD+2CE)/2=BD3+BD2CE。因?yàn)锽D=2CE，所以CE3=8CE3/2+4CE3/2，即CE3=6CE3。因此，CE=0，與題意不符，排除選項(xiàng)A、B，所以選項(xiàng)C正確。4.答案為D。根據(jù)題目中的條件，可以得到AB//CD，∠A=∠C，∠BED=90°，EC⊥BD。因?yàn)锳B//CD，所以∠ABC=∠CDB，∠ACB=∠CBD。因此，三角形ABC和三角形CBD是相似三角形，即AB/CD=BC/已知，如圖，BM平分∠ABC，點(diǎn)P為BM上一點(diǎn)，PD⊥BC于點(diǎn)D，BD=AB+DC．求證：∠BAP+∠BCP=180°．證明：如圖所示，連接AP，交BC于點(diǎn)E，連接BE。由題意可知，BD=AB+DC，即BE=CE。又因?yàn)锽M平分∠ABC，所以∠ABM=∠CBM，而∠BME=∠BCE，所以△BME≌△BCE（SAS），因此∠BEM=∠BCE，即∠BAP+∠BCP=180°。證畢。3.已知，如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，AD平分∠CDE，∠BAE=2∠CAD，求證：BC+DE=CD．證明：如圖所示，連接AF，交CD于點(diǎn)G，連接BG。由于AB=AE，∠BAE=2∠CAD，所以∠BAF=∠DAF，∠BAG=∠CAG，又因?yàn)锳D平分∠CDE，所以∠GDE=∠GCD，所以△GDE≌△GCD（ASA），因此DE=CD-BG，又因?yàn)锳B=AE，所以BC=BG，因此BC+DE=CD。證畢。4.已知，如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，∠BAE=2∠CAD，∠ABC+∠AED=180°，求證：BC+DE=CD．證明：如圖所示，延長DE到F，使EF=BC，連接AF。由于AB=AE，∠BAE=2∠CAD，所以∠BAF=∠DAF，∠BAG=∠CAG，又因?yàn)椤螦BC+∠AED=180°，所以∠BAC+∠DAE=180°，所以△BAG≌△DAF（ASA），因此BG=DF，又因?yàn)镋F=BC，所以BC+DE=BG+DE=DF=CD。證畢?！纠?】如圖，P是正△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若將△PBC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到△P＇BA，則∠PBP＇的度數(shù)是()解析：根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)△PBC與△P'BA是旋轉(zhuǎn)關(guān)系，而且是以B為旋轉(zhuǎn)中心的。所以，∠PBP'的度數(shù)就是旋轉(zhuǎn)角度，即∠ABC。答案為B．【例2】如圖，正方形BAFE與正方形ACGD共點(diǎn)于A，連接BD、CF，求證：BD＝CF并求出∠DOH的度數(shù)。解析：根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)正方形BAFE與正方形ACGD是旋轉(zhuǎn)關(guān)系，而且是以A為旋轉(zhuǎn)中心的。所以，BD=CF，且∠DOH=90°。證畢?！纠?】如圖，正方形ABCD中，∠FAD＝∠FAE。求證：BE＋DF＝AE。解析：根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)∠FAD與∠FAE是旋轉(zhuǎn)關(guān)系，而且是以A為旋轉(zhuǎn)中心的。所以，BE=DF，又因?yàn)锳BCD是正方形，所以AE=AB=BC=CD=DF+BE，即AE=DF+BE，所以BE+DF=AE。證畢?！纠?】在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，連接對角線BD交AE于M，交AF于N，證明：DN2＋BM2＝MN2。在正方形ABCD中，連接對角線BD，交AE于M，交AF于N。由于∠EAF＝45°，所以∠MAN＝45°。根據(jù)45°角的性質(zhì)，AM＝AN，因此四邊形AMBN是菱形。又因?yàn)锽M和DN分別是菱形AMBN的對角線，所以有DN2＋BM2＝MN2。證畢?！纠?】在等邊三角形OAB和OCD中，連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，AC和BO交于點(diǎn)F，求∠AEB的大小。在等邊三角形OAB和OCD中，連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，AC和BO交于點(diǎn)F。由于OAB和OCD是等邊三角形，所以O(shè)A＝OB＝OC＝OD，且∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC。因此，△OAB和△OCD全等。又因?yàn)锳E和CE分別是△OAB和△OCD的高，所以AE＝CE。又因?yàn)锽F和DF分別是△OAB和△OCD中的中線，所以BF＝DF。因此，四邊形ABFE和CDEF都是菱形，且AE和CE分別是它們的對角線。因此，AE是菱形ABFE的高，CE是菱形CDEF的高，且AE＝CE。又因?yàn)锽F和DF分別是菱形ABFE和CDEF的對角線，所以BF＝DF。因此，四邊形ABFE和CDEF都是菱形，且BF＝DF。因此，BE是菱形ABFE和CDEF的對角線，所以BE平分∠AEB，即∠AEB＝60°?！纠?】在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AP＝3，CP＝2，BP＝1，求∠BPC的度數(shù)。在直角三角形ABC中，由于AC＝BC，所以△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝∠ACB＝45°。連接BP，CP，AP。由于BP＝1，AP＝3，所以PC＝4。又因?yàn)椤螦CB＝90°，所以BP和PC分別是△ABC中∠ABC和∠ACB的高。因此，BP和PC分別是菱形ABPC和ACPB的對角線。由于BP＝PC，所以菱形ABPC和ACPB是等菱形。因此，∠BPC＝∠APC＝45°。分析：要證明∠B＝∠C，只需證明△ABE≌△CDE或△ABD≌△CBA即可．由于AB＝CD，AC＝BD，可得△ABC≌△DCB，進(jìn)而有∠A＝∠D，又因?yàn)锳E＝DE，所以△ABE≌△CDE，于是問題獲證．五、尋找全等三角形的方法有很多種，其中利用公共角、對頂角、公共邊等隱含條件的方法比較常見，關(guān)鍵在于根據(jù)條件找到可能全等的三角形，再證明它們?nèi)?，最終得出結(jié)論。分析：由于P是∠ABC的平分線上的點(diǎn)，所以PE和PF分別垂直AB和BC，且PE=PF，故△APE和△CPF是等腰三角形，又∠PAB+∠PCB=180°，所以∠