平面向量基本定理08

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.1平面向量的基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示2.3.1平面向量的基本定理思考：給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量、，如何作出向量、？平面內(nèi)任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？O平面向量的基本定理

如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使我們把不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。（1）一組平面向量的基底有多少對？（有無數(shù)對）思考EFFANBaMOCNMMOCNaE思考(2)若基底選取不同，則表示同一向量的實(shí)數(shù)、是否相同？（可以不同，也可以相同）OCFMNaEEABNOC=2OB+ONOC=2OA+OEOC=OF+OE特別的，若a=0，則有且只有：

可使0=+.==0？若與中只有一個(gè)為零，情況會是怎樣？特別的，若a與（）共線，則有

=0（=0），使得:a=+.練習(xí)

判斷下列命題的是否真命題，并說明理由1、、是平面內(nèi)的一組向量，則平面內(nèi)任一向量都可以表示為，其中、2、、是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)、使，則3、如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，可能有無數(shù)對實(shí)數(shù)、，使(假)(真)(假)已知向量求做向量-2.5+3例3：

、OABC·向量的夾角ABO規(guī)定：已知兩個(gè)非零向量，，作則叫做向量與的夾角。當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向。如果與的夾角是900，我們說與垂直記作課堂練習(xí)（1）已知ABCD為矩形，且AD=2AB，又△ADE為等腰三角形，F(xiàn)為ED的中點(diǎn)，表示向量e1e2BADCEF（2）△ABC中，三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)依次為D，E，F(xiàn)，則ABCMDEF

例5、如圖，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC,M,N分別是DC,AB的中點(diǎn).

請大家動(dòng)手,在圖中確定一組基底，將其他向量用這組基底表示出來。ANMCDB解析：BC=BD+DC=MN=DN-DM=(AN-AD)-DC(AD–AB)+DCANMCDBDC=AB=設(shè)AB=,AD=,則有：=-.=-+==---+

設(shè)a、b是兩個(gè)不共線的向量，已知AB=2a+kb,CB=a+3b,CD=2a–b,若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值。A、B、D三點(diǎn)共線解：AB與BD共線，則存在實(shí)數(shù)λ使得AB=λBD.λ使得AB=λBD.思考k

=8.=a–4b由于BD=CD–CB=(2a–b)–(a+3b)則需2a+kb=(a–4b)由向量相等的條件得2=k

=4則需2a+kb=(a–4b)2-=0k–4=0此處可另解：k

=8.即（2-）a+(k-4)b=0

本題在解決過程中用到了兩向量共線的充要條件這一定理，并借助平面向量的基本定理減少變量，除此之外，還用