高中數(shù)學(xué)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

【問(wèn)題1】平面向量數(shù)量積是如何定義的？a·b=|a||b|cos<a,b

>【問(wèn)題2】?jī)蓚€(gè)向量數(shù)量積有什么重要性質(zhì)？（1）如果e是單位向量

e·a

=

a·e

=|a|

cos<a,e>（2）兩個(gè)向量垂直的條件

a

⊥

b

a·b

=

0（4）cos<a,b>（5）|a·b|≤|a||b|（3）a·a

=

|a|2

或

|

a|

==【問(wèn)題3】平面向量數(shù)量積滿足哪些運(yùn)算律？a·b=b·a(a+b)·c

=

a·c+b·c(a)·b

=(a·b)=

a·(b)你還記得它們是如何推導(dǎo)出來(lái)的嗎？【問(wèn)題4】若a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，那么a+b，a–b和

a

是如何用坐標(biāo)表示的？a+b

=

(a1+b1,a2+b2)a-b

=

(a1

-

b1,a2

-

b2)a=

(a1,a2)利用平面向量基本定理，把向量表示成基底形式.

向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來(lái)表示，那么向量的數(shù)量積能否用坐標(biāo)來(lái)表示呢？探究之旅探究之旅已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，怎樣用a、b的坐標(biāo)表示a·b呢？知識(shí)支持平面向量基本定理、向量坐標(biāo)定義、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算律x

o

B(x2,y2)

A(x1,y1)

y

設(shè)e1、e2分別為與x軸和y軸方向相同的單位向量，建立正交基底{e1,e2}，已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，則所以，我們得到數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式a·b=(a1e1+a2e2)·(b1e1+b2e2)a·b=

a1b1+a2b2=a1b1e1·e1+a1b2e1·e2+a2b1e2·e1+a2b2e2·e2因?yàn)閑1·e1

=e2·e2=1，e1·e2=e2·e1

=0探究之旅兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和探究之旅怎樣用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)平面向量垂直的條件？知識(shí)支持兩個(gè)向量垂直的條件a⊥b

a·b=0已知兩個(gè)非零向量a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，如果a

⊥b，如果a1b1+a2b2=0；則a⊥b.a⊥b

a1b1+a2b2=0反之呢？探究之旅則a1b1+a2b2

=0探究之旅注意記憶向量垂直與平行的坐標(biāo)表示的區(qū)別.a⊥b

a1b1+a2b2=0a//b

a1b2

-a2b1=0探究之旅判斷：向量(-b2,b1)與(b1,b2)是否垂直？那么向量k(-b2,b1)與向量(b1,b2)呢？例如：向量(3,4)與向量____，____，____……都垂直.a⊥b

a1b1+a2b2=0探究之旅能否利用向量坐標(biāo)表示向量長(zhǎng)度的計(jì)算公式？設(shè)a=(a1,a2)，則a·a=

.知識(shí)支持a·a

=

|a|2

或

|

a|

==a12+a22探究之旅向量的長(zhǎng)度等于它的坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根若A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB=

.則AB的長(zhǎng)，即A、B兩點(diǎn)間的距離為(x2–x1,y2–y1)探究之旅能否推出兩個(gè)向量夾角余弦的坐標(biāo)表達(dá)式？知識(shí)支持cos<a,b>探究之旅已知兩個(gè)非零向量a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，則向量a、b夾角余弦的坐標(biāo)表達(dá)式為：cos<a,b>=【例1】設(shè)a

=(3,-1)，b=(1,-2)，求：a

b，|a|，|b|和<a,b>.解：

a

b=(3,-1)(1,-2)=3+2=5|a|=|b|=所以

<a

,

b>=cos<a,

b>【變式練習(xí)】已知a

=(2,3)，b

=(–2,4)，求:(a

+

b)·(a

–

b)方法1：

a+b=(0,7)，a–b=(4,–1)∴(a+b)·(a–b)=0×4+7×(–1)=–7方法2：

(a+b)·(a–b)=a2–b2=|a|2

+|b|2=13–20=–7【例2】已知A(1,2)，B(2,3)，C(–2,5)，試判斷

ABC的形狀，并給出證明.【思考】改變頂點(diǎn)坐標(biāo)，ABC可能的形狀有哪些？可以證明嗎?證明：∵AB=(2–1,3–2)=(1,1)AC=(–2–1,5–2)=(–3,3)∴AB

AC=1×(–3)+1×3=0∴AB⊥AC∴三角形ABC是直角三角形x0yA(1,2)B(2,3)C(-2,5)【例3】已知點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，試求∠BAC的正弦值.證明：∵AB=(3

–

1,4–

2)=(2,2)AC=(5

–

1,0–

2)=(4,–2)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及運(yùn)用平面向量數(shù)量積性質(zhì)的坐標(biāo)表示解決有關(guān)垂直、長(zhǎng)度、角度等幾何問(wèn)題。a·b=

a1b1+a2b2兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：兩向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示：a⊥b

a1b1+a2b2=0向量的長(zhǎng)度（模）：兩向量的夾角：cos<a,b>=平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及運(yùn)用平面向量數(shù)量積性質(zhì)的坐標(biāo)表示解決有關(guān)垂直、長(zhǎng)度、角度等幾何問(wèn)題。向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算可以大大簡(jiǎn)化數(shù)量積的運(yùn)算，有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題可以利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決。

本節(jié)課采用了類比思想；向量數(shù)量積運(yùn)算的代數(shù)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。課后作業(yè)1.課后梳理所學(xué)新知，完成課堂反思.2.完成教材114頁(yè)練習(xí)A第1、2、3題.3.學(xué)有余力的同學(xué)完成練習(xí)B第3、4題.【課后思考】已知點(diǎn)A(a,b)與點(diǎn)A’(b,