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文檔簡介
§3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題
對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布
對(duì)二維隨機(jī)變量,除每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性外,相互之間可能還有某種聯(lián)系,問題是用一個(gè)怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.
數(shù)反映了隨機(jī)變量X,Y之間的某種關(guān)系
為X,Y的協(xié)方差.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義定義稱無量綱的量為X,Y的相關(guān)系數(shù).若稱X,Y不相關(guān).稱
若
(X,Y)為離散型,若
(X,Y)為連續(xù)型,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算
求cov(X,Y),
XY10pqXP10pqYP例1
已知
X,Y的聯(lián)合分布為XYpij1010p0
0q0<p<1p+q=1解10pqXYP例2
設(shè)u~U(0,2
),X=cosu,Y=cos(u+),
是給定的常數(shù),求
XY解若若有線性關(guān)系若不相關(guān),但不獨(dú)立,沒有線性關(guān)系,但有函數(shù)關(guān)系協(xié)方差的性質(zhì)
協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)
相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)
即Y與X有線性關(guān)系的概率等于1,這種線性關(guān)系為如例1中
X,Y的聯(lián)合分布為XYpij1010p0
0q0<p<1p+q=1已求得,則必有其中
X,Y不相關(guān)X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布,X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)例3
設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=
2,U=aX+bY,V=aX-bY,a,b為常數(shù),且都不為零,求
UV解由而故
a,b取何值時(shí),U與V不相關(guān)?此時(shí),U與V是否獨(dú)立?繼續(xù)討論若a=b,
UV=0,則U,V不相關(guān).——X的k
階(原點(diǎn))矩——X的k
階中心矩--X的二階中心矩--X的方差——X的1階(原點(diǎn))矩——X的期望矩和中心矩
§3.4隨機(jī)變量的另幾個(gè)數(shù)字特征設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為定義下
分位數(shù)的數(shù),為此分布的下
分位數(shù).F(x),概率密度為f(x),
則稱滿足條件:x
?設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為定義上
分位數(shù)的數(shù),為此分布的上
分位數(shù).F(x),概率密度為f(x),
則稱滿足條件:x
?
設(shè)X是只取非負(fù)值的隨機(jī)變量,且有數(shù)學(xué)期望E(X),則有
§3.5切比雪夫不等式與大數(shù)定理馬爾可夫(Markov)不等式
設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X),則有切比雪夫(Chebyshev)不等式或當(dāng)
2
D(X)
無實(shí)際意義,大數(shù)定律的思想:
概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律大數(shù)定律
定義:若存在常數(shù)a,使對(duì)于任何有
則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于a。1.切比雪夫(Chebyshev)大數(shù)定律相互獨(dú)立,設(shè)r.v.序列則有或且:各有數(shù)學(xué)期望和方差當(dāng)
n
足夠大時(shí),算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù).當(dāng)n充分大時(shí),獨(dú)立r.v.序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.算術(shù)均值數(shù)學(xué)期望近似代替可被Chebyshev大數(shù)定律的意義2.貝努里(Bernoulli)大數(shù)定律設(shè)
nA
是n
次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p
是每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率,則有或在概率的統(tǒng)計(jì)定義中,事件A
發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指:頻率與
p
有較大偏差是小概率事件,因而在n
足夠大時(shí),可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里(Bernoulli)大數(shù)定律的意義3.辛欽(Khinchin)大數(shù)定律相互獨(dú)立,設(shè)r.v.序列則有或具有相
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