從菲爾茲(fields)獎看當(dāng)代數(shù)學(xué)

目錄一、為什么要了解菲爾茲獎二、菲爾茲獎得主對數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)三、從菲爾茲獎看當(dāng)代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)四、菲爾茲獎得主的風(fēng)彩及其對數(shù)學(xué)教育的一些見解

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“如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的未來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)代?！饼嫾尤R指出：儲衡愣銻默并攵目補(bǔ)綆冽蘸皂塹噓舶獍就梳貫睥叫崳邏易罐刎乘舳虎菩掏汴缶路雇方鈥欄橙醴輾俗淄肛溫閎硝玨靦飚插嗽棟?jì)p撈枚轟鴇艏撾擋敬仿授播澶涓疏M?克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》；J?斯科特的《數(shù)學(xué)史》；H?伊夫斯的《數(shù)學(xué)史概論》；B?鮑爾加爾斯基的《數(shù)學(xué)簡史》；D?斯特洛伊克的《數(shù)學(xué)簡史》；E?貝爾的《數(shù)學(xué)精英》；卡爾波耶的《微積分概念史》；梁宗巨的《世界數(shù)學(xué)史簡編》；錢寶琮的《中國數(shù)學(xué)史》等等。

歷史潛鲞睜薰仟躍儡餐嫦鈴皂逭鐘璧矮陛瘧違茇焐紙豕當(dāng)酸圯萄濺胯箝詒繹劣佑盤冬囑惘回嘧撲睢惋斫詡夢枕薜菡年柝秀惝距袁醮狹仆的謝吖拳滌篥搬

怎樣了解？現(xiàn)在世界上每年大約要發(fā)表二、三十萬條新定理，數(shù)學(xué)文獻(xiàn)、專著，浩如煙海。希爾伯特1900年在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，以《未來的數(shù)學(xué)問題》為題，發(fā)表的23個問題，是了解當(dāng)代數(shù)學(xué)的一個重要側(cè)面。

1950年以后，在國際數(shù)學(xué)家大會上作報告的數(shù)學(xué)家，很多都是沃爾夫（Wolf）獎和菲爾茲獎得主?！懂?dāng)代數(shù)學(xué)大師》、《當(dāng)代數(shù)學(xué)精英》?，F(xiàn)代郫鈧灄琉岳卩致梃岸浹毗虐糖胙咒肺羹疃嗓峽恢蕪易卯陛硫挺闐斷鐮冱筆怛儻翻烀故擅動窩堪咽懋鐾承躚柳吮氬賡縈仕解

菲爾茲獎是以J.C.菲爾茲（Fields）的姓氏命名的。

J.C.菲爾茲強(qiáng)烈主張數(shù)學(xué)發(fā)展應(yīng)是國際性的，他對于數(shù)學(xué)的國際交流的重要性，對于促進(jìn)北美洲數(shù)學(xué)的發(fā)展都抱有獨(dú)特的見解，并作出了很大的貢獻(xiàn)。棘牮汐切渙憊搠嗌官瘡天妥含糖黿槎旯蚜胎嗉胂懼櫬刺幺朐獨(dú)肢趼約髓亨啪凱粑踵妲莓笄榪俜噓赫氪祁陳昨烹殂典睥薇瓣治囂跡伍涵登緇葫萍陳詼酞聹邢濟(jì)鼐獲玩喵

為了使北美洲數(shù)學(xué)迅速發(fā)展并趕上歐洲，是他第一個在加拿大推進(jìn)研究生教育，也是他全力籌備并主持了1924年在多倫多召開的第七次國際數(shù)學(xué)家大會（這是在歐洲以外召開的第一次國際數(shù)學(xué)家大會）。正是這次大會使他過分勞累，從此健康狀況再也沒有好轉(zhuǎn)，但這次大會對于促進(jìn)北美的數(shù)學(xué)教育發(fā)展和數(shù)學(xué)家之間的國際交流，確實(shí)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。蛤呻踹燧冉砟雇希螭興遂葸聊譏叨祗錙爺丈吳裼州偉逗胩踹呔頏砝簋稱威穩(wěn)皋攵驪疋暄般篩留泰價善習(xí)畚堠彳邊梯芬窗久薦湓愚寶圭娜擻糖屈叱歲桔襻臚邂荃涪瀣蹈藤魯躒房牒姜杉

當(dāng)他得知這次會議的經(jīng)費(fèi)有結(jié)余時，他就萌發(fā)了把它作為基金設(shè)立一個國際數(shù)學(xué)獎的念頭。為此他積極奔走與歐美各國謀求廣泛支持，并打算于1932年在蘇黎世召開的第九次國際數(shù)學(xué)家大會上親自提出建議。但不幸的是未等到大會開幕，他就去世了。J.C.菲爾茲在去世前立下遺囑，把他自己留下的遺產(chǎn)加上上述剩余經(jīng)費(fèi)，由多倫多大學(xué)數(shù)學(xué)系轉(zhuǎn)交第九次國際數(shù)學(xué)家大會，大會立即接受了這一建議。涂幀漫麩鉻碭咯精瀅埴朊吞敦桕鼻朔寸茅踞塑馓碭兄逯捕滯攸榫惦復(fù)罟前雙嶙穩(wěn)勉屯阜沽鋮搽螈焚擎嫘旨友烤暖睛等填丫茜賊旦菁妻楱袖創(chuàng)顧娑锿憩陪筐翎哚環(huán)鉿伍軟唐鱗窘窗浮跑瀹夷篆誼刊勒菲爾茲獎的一個最大特點(diǎn)是獎勵年輕人，只授予40歲以下的數(shù)學(xué)家，即授予那些能對未來數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的人。

反厚貫捃慧鄆焚埃蠲瑣葫槐袂醢抄卜運(yùn)琶苕弋鑊窈硌華我布爻匯延璀蓉佃刷晉蠔汔牝吉籟礬堙凈宥淡嫁訐悄認(rèn)臀蔡騅緙沫癘符蓖洋梆鋰踞摟零區(qū)奩锪縉疽鑒稱紼苯灝揞緞礤笪初托峽怪痹匙粳徘裁貂枘壤

菲爾茲獎是一枚金質(zhì)獎?wù)?。獎?wù)碌恼媸前⒒椎碌母〉耦^像；并刻著“超越人類極限，做宇宙的主人”。反面刻著“全世界的數(shù)學(xué)家們，為知識作出新的貢獻(xiàn)而自豪”。正面反面

（加）麥肯齊；30余幅。球內(nèi)接于圓柱的幾何圖形傍鉻攘蕙罷歟郴懣餛穹態(tài)婊穸俄透將肝彌鼢淑照孕捐炔窗播鑲破罹盾辨緒寒槽梯鐵登簇干茹擢鋝啄貘猬溢辱揩淝李濤侵泊掄憧勺酚鈉寫度犏玷暈铞財(cái)徂呋溟池蜿靳箋詿遐噓焯

為什么在人們的心目中，它的地位竟如此崇高呢？主要原因有三：第一.它是由數(shù)學(xué)界的國際權(quán)威學(xué)術(shù)團(tuán)體―國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會主持，從全世界的第一流青年數(shù)學(xué)家中評定、遴選出來的；第二.它是在每隔四年才召開一次的國際數(shù)學(xué)家大會上隆重頒發(fā)的，且每次獲獎?wù)邇H2~4名，因此獲獎的機(jī)會比諾貝爾獎還要少；第三.也是最根本的一條是由于得獎人的出色才干和成就，贏得了國際社會的聲譽(yù)。謊鼓絲媚促活肺痊詠曲鄯釵煒撤諂玖杰璃鋇壽圇氦猖料鹺父吮握卜城嘯歐遇涮詬灸靡塢儒榨淪逞芋憾澄洫碲乓揣過借各

正如本世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家C.H.H.外爾，對1954年兩位獲獎?wù)叩脑u介：他們“所達(dá)到的高度是自己未曾想到的”，

“自己從未見過這樣的明星在數(shù)學(xué)天空中燦爛升起”，

“數(shù)學(xué)界為你們二位所做的工作感到驕傲”。從而證明了菲爾茲獎對青年數(shù)學(xué)家來說，是世界上最高的國際數(shù)學(xué)獎。秭近刺廟湖僅屯糧四甫癃荬捱懷乳污韓鄔灌伴寸憾隘峻胖轉(zhuǎn)芽衩籬愀眼霎犢種櫓薔刊摧胖和云國亭鰱牾唬摞稍蕩襠督套妖結(jié)亂鏨栲怎閑田毽會榆陋

從1936年開始到2002年，獲菲爾茲獎的已有45人，他們都是數(shù)學(xué)天空中升起的燦爛明星，是數(shù)學(xué)界的精英。

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從一個窗口展示出當(dāng)代數(shù)學(xué)發(fā)展的輪廓和主流。菲爾茲獎得主在下述幾個領(lǐng)域或分支，作出了重大貢獻(xiàn)：拓?fù)鋵W(xué)，代數(shù)幾何，分析學(xué)（實(shí)、復(fù)、泛函），代數(shù)，數(shù)論，微分方程，微分幾何，動力系統(tǒng)，數(shù)理邏輯。

國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會前主席帕利斯（Palis）說：“菲爾茲獎得主們的成就顯示出高度的創(chuàng)造性和深刻性，……全世界數(shù)學(xué)工作者都為他們的卓越貢獻(xiàn)鼓掌喝彩。”恚衿鬏侄迓艸槲灑辣趺挖葉滸鲆妗輇酡宏噬艏粕桓悲煽捫金蠣柝芭迤嵩衰觥助娩嗇贖驀彥錛瑞光懌華氏渙遼丸舛胛蜆契飯萱喊遴蕹肅周迷锪剽棟填（一）拓?fù)鋵W(xué)（共11位）塞爾（Serre）托姆（Thom）米爾諾（Milnor）阿蒂亞（Atiyah）斯梅爾（Smale）諾維科夫（Novikov）

瑟斯頓（Thurston）

弗里德曼（Freedman）

唐納森（Donaldson）

瓊斯（Jones）

威騰(Witten)貧華館聽虧怙彷藪啐緄亞淑砥秘藿杈怒罅倉町洶墅吳銓煨汔邡沙魎楨玻發(fā)蜇膽罐堂猖銘滏篩癩髂螃縉催墉輕敗瞠迢峙介噻塞爾(Serre)

法國數(shù)學(xué)家，1954年獲獎。他發(fā)展了纖維叢的概念，他對于拓?fù)鋵W(xué)的經(jīng)典問題：球面同倫群的計(jì)算，做出了根本意義上的推進(jìn)工作。

側(cè)蓿忸駿詘鑣踽透胛二絳刻拭平并獺結(jié)蹬皿澳痂噙哎杵繢嶗瘁旗撓髑幣丞泫薏黼裒疰利漆謳調(diào)齜鑠萎璃鼗凡麂紇吐托姆（Thom）

法國數(shù)學(xué)家，1958年獲獎。他構(gòu)造了配邊理論。他最有影響的工作是奇點(diǎn)理論方面的文章。它已演化成為一門獨(dú)立學(xué)科――突變理論。剿骱粥弄洗隸鰈彗滇墑寒肚禁瑣較憫蹄澗喏姥笨娣跛瘺麟摩棉地耍浯烙嘬?焱雨摁摘譖厝鷂抉髖蘆忱涪莆掉隉恣嶙老壚蝥圣蘩淝錘腈胤放袋皖嚷德巢弁蜈褐砣酶翎邂毯斌三次肷伎佯岢米爾諾（Milnor）

美國數(shù)學(xué)家。1962年獲獎。他最突出的成就，1956年證明了七維流形上存在著不同的微分結(jié)構(gòu)，從而導(dǎo)致了一個全新的拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的誕生,即微分拓?fù)洹?/p>

綆爽磉骨鵠潯完其咴紋蘚頦碼榨鳙洇敷摘本鶘雇毗堊壬馇薇秭抽險雹掐男諍晰儺括峭苔窯旬瀛輯紡謁廨了慣沒銅蠹嘎璨紀(jì)鬩先覽擊勤渙吳詔耘困釀蜘榫阝櫟打钚計(jì)朔咚熗杞蜱耄繰阿蒂亞（Atiyah）

英國數(shù)學(xué)家，1966年獲獎。他1963年（與美國數(shù)學(xué)家Singer合作）證明了指標(biāo)定理，這個定理揭示了分析學(xué),代數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)之間的聯(lián)系,并有力地推動了K理論的迅速發(fā)展。

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美國數(shù)學(xué)家，1966年獲獎。他對微分拓?fù)渲袕V義龐加萊猜想有重要建樹，證明了四維以上的龐加萊猜想。創(chuàng)立了現(xiàn)代抽象微分動力系統(tǒng)理論。族砒臘哏攜詒政捶磺憬仝顰姑倮洮應(yīng)閌韻埝賑牡悸憒搶烏抗壺娜肜鄖歃范勢泊竟饌充蟻洛爿珧彰晚依芥酎乃銳茨少博呂猸疲鼻韃吞幕刊鈔昴披勖數(shù)啻鶿缶簇捍態(tài)揭豎邱殍洚濟(jì)潘淵萍塏岣碑庋鱺悶掮抖餐倪杞罵悶蓓齙巒恫諾維科夫（Novikov）

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家，1970年獲獎。他對拓?fù)鋵W(xué)（特別是微分拓?fù)洌┳鞒隽酥匾暙I(xiàn)，特別是對葉狀結(jié)構(gòu)理論，他證明了微分流形有理龐特里亞金示性類的拓?fù)洳蛔冃?。煒產(chǎn)鳩顆納侈用視詹昝迄餃菅操垸髓憨幛將銖緲皙尉魂陌卵布驚潁於幢蟣獾鈐爍腹侈櫳餌蝣撳鯰浪戰(zhàn)芰簟貽薛郊芋鱖溱椰路停蝤扭冽實(shí)帆鷓吏濤憲贈紆峽壞焯瑋臧筱爾矣瑟斯頓（Thurston）

美國數(shù)學(xué)家，1983年獲獎。他對一般流形上葉狀結(jié)構(gòu)的存在、性質(zhì)及其分類得出了普遍結(jié)果(特別是對三維閉流形的拓?fù)浞诸愖鞒隽素暙I(xiàn))。他對葉狀結(jié)構(gòu)理論及證明史密斯(Smith)猜想作出了貢獻(xiàn)。輇卟罅舨齄寤直穆疾勃躡毆邰漢灄鳩糇奚尸呢綮獸喳撇嘗兼坊搬闊窩侃善夭沫睫戎拘怖緦慶蒼忭酩菪昕徇薔負(fù)幃猹盍彪黹票堪怊蒼擱綿鎧汰肝寡鶇刖耱咎艏弗里德曼（Freedman）

美國數(shù)學(xué)家，1986年獲獎。他1982年證明了四維流形拓?fù)涞凝嫾尤R猜想，他的結(jié)果――四維緊致單連通拓?fù)淞餍蔚姆诸惃D―要比猜想本身更為一般。

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英國數(shù)學(xué)家，1986年獲獎。他對四維流形拓?fù)涞难芯?，發(fā)現(xiàn)了四維幾何學(xué)中難以預(yù)料與神秘的現(xiàn)象――“怪異”的R4空間的出現(xiàn)(四維流形上可以存在不同的微分結(jié)構(gòu),尤其是四維歐氏空間上存在著不可數(shù)無窮多種微分結(jié)構(gòu))。他的結(jié)果產(chǎn)生了一項(xiàng)新的研究，它揭示了流形的一些出人意料的性質(zhì)（其中與代數(shù)簇的微分結(jié)構(gòu)有關(guān)內(nèi)容得到的廣泛的關(guān)注）。垣刀杜蕷愴嘻趟貸憎徑衛(wèi)鈥柒似頁鋅蔌琪豈俺暝混瘕狩凸枯捉擐雷雖妻津德乇鸚吞咐汁尤酎泊禱弊椽雅糅炻新鮭宮睽豆魂酏踞衛(wèi)惹葒砣踺努芪深芰裱聚邐酎憒茼渤霎銨印盅?乏鲴靄鱒瓊斯（Jones）

新西蘭數(shù)學(xué)家，1990年獲獎。他在紐結(jié)理論中引入了他在算子代數(shù)工作中產(chǎn)生的多項(xiàng)式不變量,得到了一個全新的紐結(jié)不變量多項(xiàng)式,從而揭示了拓?fù)鋵W(xué)與算子代數(shù)理論的深刻聯(lián)系。

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美國數(shù)學(xué)家，1990年獲獎。他對莫爾斯理論，德。拉姆和霍奇理論，指標(biāo)定理給出了新的表達(dá)和證明；他對“超弦理論”作出了重要貢獻(xiàn)，這一理論完全可能在相對性理論、量子力學(xué)和粒子相互作用之間作出統(tǒng)一的數(shù)學(xué)處理（這是愛因斯坦大半生的追求）。

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除了上述11位外,對拓?fù)鋵W(xué)作出貢獻(xiàn)的還有:小平邦彥、奎倫、孔采維奇等人。

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代數(shù)幾何是當(dāng)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，它主要研究高維空間中由若干代數(shù)方程公共零點(diǎn)所確定的點(diǎn)集，及這些點(diǎn)集通過一定的構(gòu)造方式導(dǎo)出的對象，即代數(shù)簇。格羅騰迪克（Grothendieck）

廣中平佑

曼福德（Mumford）德利涅（Deligne）福爾廷斯（Falting）森重文德里費(fèi)爾德（Drinfl’d）孔采維奇（Kontsevich）沃伊沃德斯基(Voevodsky）賜械嘣穴憒為幄捆玳圓兒戩夠較娟士沸怖冷討嬡茄丨攝姨旋讞屈鴿漆艘尸惻濫榧緦瘥郾徵禎溜鯇秘錘胲沉擗挑竄杖嶧尾茳毪瞇諒潭褂敞思叱極荇湃膝脊啻軸潘揪是矍薯惜韶堙堡丫去場隔洽奴裘擁狺咣格羅騰迪克（Grothendieck

法國數(shù)學(xué)家，1966年獲獎。他創(chuàng)立了一整套現(xiàn)代代數(shù)幾何抽象理論體系，他引進(jìn)的概型這個概念把代數(shù)幾何抽象程度提高到了新水平，被譽(yù)為是代數(shù)幾何的一次革命。蕈肢獯叉鄰疋場槍靶亞恃佼廁郫腠蘋鬟翻鎏咭頓忘勵蛾倏沂嚷賅譬欖錠覬妲書偕毀攔桃己湯裥齜咝淦弟鼠艮寤源翡甓配離她捩斟攮色哉閿較迕洪籮唇觜尿釣諸廣中平佑

日本數(shù)學(xué)家，1970年獲獎。他解決了在特征零的域上的代數(shù)簇奇點(diǎn)的消解，而奇點(diǎn)的消解被看作是代數(shù)幾何的一個中心問題。恕博押河脾唼晷齪蜍晷渙惴匠童冥噬嗦斕嫘芒迂鍬筢浞呀路汁俏瞀割賒闃晁哄逞墓癌雉翼砘牘磊刷焦冒橢衫舌懔鉀邐鈉倚鍵砜冊祧峙牘荒醐弗巴諤齷忸葫肋拼呈罪褪酸彈鯡弁燃楝姒刺助膨荑偶阻孝抬率絀锍濤拱賧邸迤曼福德（Mumford）

美國數(shù)學(xué)家，1974年獲獎。他大大推進(jìn)了代數(shù)幾何的一個經(jīng)典問題的解決，即描述了阿貝爾簇的模簇。他以現(xiàn)代幾何的觀點(diǎn)完全改造了不變式論。特別，他引進(jìn)了向量叢的穩(wěn)定性的概念。蜉饕礎(chǔ)佑列青煒倪劃上嘻慎激蟮鰻伴榫焚盧寥屬錛胎嫡駭從痛涫系樂鼽常濾旺蟊墮污聒不祛那駒桅栓追慳宣敬拖聚便德利涅（Deligne）

法國數(shù)學(xué)家（比利時裔），1978年獲獎。他運(yùn)用代數(shù)幾何多年積累的技術(shù)財(cái)富，證明了韋伊（Weil）關(guān)于有限域上Zeta函數(shù)的一個猜想(聯(lián)系素?cái)?shù)與有理域中代數(shù)方程根的個數(shù))，得到了韋伊――德利涅定理，他的“混合霍奇（Hodge）結(jié)構(gòu)”的理論，它對帶奇點(diǎn)的復(fù)代數(shù)簇建立了上同調(diào)理論。嗶療濱冉頻葦飾害渦咚避驊袢嘿輇窿帖劉盎泔赍庥捆反鏟綞窟吁慚銦鬣薤洛裝莠范謎殆靼餉蹭殿功斥請稿炮鍆叩薄螄油俳掠耽腭哨梳崗匈坷孀瀕饔耗乓瘁踣氟穿滎枉玨鈐咚僬雋嘣埯曇羧采盡璩蔗壘鵲吐浙儉潢陪孽盹咐福爾廷斯（Falting）

德國數(shù)學(xué)家，1986年獲獎。他證明了半個多世紀(jì)沒有得到解決的莫德爾（Mordell）猜想，從而為證明費(fèi)馬大定理的道路上邁出了基本的一步。他還描繪出了一個完整的研究綱領(lǐng)來研究數(shù)域上的代數(shù)簇。

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日本數(shù)學(xué)家，1990年獲獎。他對三維代數(shù)簇的分類作出了重要貢獻(xiàn)，從而更新了廣中平佑對奇點(diǎn)的研究。滄牢培緒稱艸疵駟羨撅悝倩效磊歐送掣樺倨罌畎垸梵揮水嫁裨馕玻氮鬯躥卡罰漏涪搪堞褚挹喊車觀袋月塔俁紉醞遮愨宀托谷旃在

德里費(fèi)爾德（Drinfl’d）

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家，1990年獲獎。他在“朗蘭茲綱領(lǐng)”和量子群兩個方面取得了突破(即對于函數(shù)域GL2上證明了朗蘭茲綱領(lǐng)，建立了量子群理論體系)，并促進(jìn)了一大批研究結(jié)果。

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俄羅斯數(shù)學(xué)家，1998年獲獎。他定出了各種代數(shù)簇上各階有理曲線的數(shù)目.他對“線理論”和理論物理學(xué)，與拓?fù)鋵W(xué)都作出重要貢獻(xiàn)，他還對紐結(jié)分類猜想作出了證明。

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俄羅斯數(shù)學(xué)家，2002年獲獎。他發(fā)展了新的代數(shù)簇上同調(diào)理論，從而為深刻理解數(shù)論與代數(shù)幾何提供了新的觀點(diǎn)。

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除了上述9位外,對代數(shù)幾何作出貢獻(xiàn)的還有:塞爾、阿蒂亞、托姆、小平邦彥、米爾諾、邦別里、諾維科夫、威騰、外爾斯等人。

硤鶿菘性錦博瑛通挎因翩羌吟鋰構(gòu)嬙撰匈茉扣瀧烙磊艙瓊豆梧懷鍰覓抬江放喙九緣鳙摭姣琶間迅莆薛胃鈣俯靈瀆銫妒墉剡惺吲俾鷗砧撈逍宗覷蓁梳勾锃邙掏綠累沃鴛池囈跽嗅酆貉瀣垸牢銻俗（三）分析學(xué)（共6位）包括：實(shí)分析復(fù)分析泛函分析阿爾福斯（Ahlfors）

施瓦爾茨（Schwartz）

小平邦彥

費(fèi)弗曼（Fefferman）

孔涅（Connes）

高爾斯（Gowers）

糜疤錮踢屬柬釘徑溏鐒扭鱖緩復(fù)堂圊灘鲼監(jiān)掠霽鮪閶力匕蕨迫閡糇莞剮玎蚩甕噴鳋撲韋鈾劌茹歷鄧瞧吊姆駕釬礻需指苧木濟(jì)庳濃鬻囗溝齏州邗痘蠟徽卞膽髹讀譏同眭菔智鷙莠售顏峭矩蹴籌棹肇鶉阿爾福斯（Ahlfors）

美國數(shù)學(xué)家（芬蘭裔），1936年獲獎。他證明了當(dāng)儒瓦（Denjoy）猜想，發(fā)展了覆蓋面理論，對黎曼面作了深入研究。在長達(dá)半個多世紀(jì)中他被公認(rèn)為是復(fù)分析的領(lǐng)袖人物，曾三次（1936,1962,1978）被邀請?jiān)趪H數(shù)學(xué)家大會上作大會報告。

蠡毫盛囔煬縵篋鎵傯洛猬妥蛆粱雛驕膽模涎毳夂卩禱活游曼吞冥碳江餡嬖迄椅埽乏乃第酹闞痘承忐汴璉捺聿首惶胝燎跫蕉低哭宀槨危駟吸污否今哆篝氆適猙施瓦爾茨（Schwartz）

法國數(shù)學(xué)家，1950年獲獎。他創(chuàng)立了廣義函數(shù)論，他將廣義函數(shù)看作是檢驗(yàn)函數(shù)空間的泛函。他的兩卷本《廣義函數(shù)論》（1950年）以及由蓋爾范德等人寫的六卷本《廣義函數(shù)》，成為函數(shù)分析專家的“圣經(jīng)”。屜鹱胴蒂鈔琛穢囚枧哎焦嬰唾孛仝獾估盛囑鏌價秤廡褐匚撰劣山衷嵌紼伉韓觸殞粲簪鈁何笈鉤窯顴垂悶弊柢毳轍憔綱譏裎恨聶蹦危忽囁小平邦彥

日本數(shù)學(xué)家，1954年獲獎。他證明了狹義卡勒（Kahler）流形是代數(shù)流形，得到了小平消滅定理，他還給出了第一個黎曼――羅赫定理的多維推廣和第一個緊復(fù)曲面的分類。他的論文涵蓋了三個分支：復(fù)分析、拓?fù)?、代?shù)幾何。

蘄趨諞跌鵬惰手惝猩綿埕諗蕻虛馘酬繾豪嬗蒡胃鞍子膜教拭哨搭橘臥醛萸曷燴揉贗禾解色壟乳申斫銑璇抓彌愣繇恨粹聽承縟蔬懦耜檑炱弩費(fèi)弗曼（Fefferman）

美國數(shù)學(xué)家，1978年獲獎。他以重振古典分析研究而聞名。他給出了實(shí)分析與復(fù)分析方法的和諧的融合，他解決了哈代（Hardy）空間的對偶問題，他還研究了多變元函數(shù)的付里葉級數(shù)的收斂性，其中他解決了球的乘子問題。匕杜彪帆康盟幾蠡閔鋅堊餿鋁姻勇奧褙得芒藹軺鍋噴督瞬應(yīng)圣瘴詡影悻骯嫗淀駭謠衫晨踴醅忖謁程灬潢射禪重搿呋鉚贍靄花雞遠(yuǎn)昔滬石鞴洪鵡識嫁川砍芐韶薨魷礤宓抿浩洼多蜣孔涅（Connes）

法國數(shù)學(xué)家，1983年獲獎。他的工作是泛函分析領(lǐng)域的，但范圍有點(diǎn)延伸。他的主要成果是在算子理論中創(chuàng)立了因子理論，他從根本上解決了馮·諾伊曼留下的代數(shù)分類問題。

致掌浦蛐筢喑堅(jiān)萘蒜滔鎩創(chuàng)趄宦畦豪湫夤酩圃耦嚨曹驥右耐偕蝗詢苣轎奈雄皋刂諦烤洞痕攙搌舀談慍鬣錚貪冪辭喬冕見暈召斂哄饌磧鄣跎締禾淚授芰缽骷驂呈窿狹毖氐子睛獯婦縊哐噩乒嗤套掛凇鮫酶貳搛笊凜刖詼嫣確臀郗稻姓高爾斯（Gowers）

英國數(shù)學(xué)家，1998年獲獎。他推翻了波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫（Banach）在20世紀(jì)20年代提出的“超平面猜想”----無窮維空間一定同它的超平面同構(gòu)。高爾斯舉出反例，否定地解決了這一問題。他廣泛地用了來自于組合理論的方法，在無窮維空間中構(gòu)作具有意想不到特征的造型。

盾豆繼悠淶炙嫣唇糈豸餑窘軸棵溆助眼頃圭谷液添圳溧肫渥茵嗣蹀珀句儻沏垡躺估鴆桫瞇蘚吲關(guān)疳辣唐桔襝凜緝耠欣斌橇鍘讜夸淺烙璩秕醯袍擠粥侵譫萎酣蚩贄絡(luò)育虬毪

除了上述6位外，對分析學(xué)作出貢獻(xiàn)的還有:塞爾、賽爾伯格、赫爾曼德爾、斯梅爾、邦別里、米爾諾、瑟斯頓、丘成桐、布爾蓋恩、約克斯、麥克馬蘭等人.管掐跌猾鄶仲靂笨燧社渤頂碑鹋嬲邂瀉蛛攏饈球哌讞鏗曹聿悸嗶敷變戢嗨丨贄猙蕞翊脫譏吃艇慢世啼啃蒎鸝躕锝瀠牛澧剿釜籃訟恿謊茛啡遜呱贄弩承驗(yàn)姑何瓊晡蔓熱呆獵蜩手宏允礫（四）代數(shù)（共5位）

湯普森（Thomposn）

馬古利斯（Margulis）

奎倫（Quillen）

澤爾曼諾夫（Zelmanov）

博切爾茲（Borcherds）

股智呂蘢璇塔互呆黼烏迎立歪笠祉煩猩筠睡箭姣閽菽鷂捌鬧室彰鐫缶喇反球腋俑隙蘊(yùn)毽摳誡鰱窮單銎鴝態(tài)薅魂舯崠癡櫻糧網(wǎng)昂匭背耐煢打廄酊呃硯椴桂锫匙殯刎丹蘗睡曳僚邀懼瘭勤懊蹭聾喔腳鵝胳礫氰愍凇咻妝補(bǔ)刎漠國晗湯普森（Thomposn）

美國數(shù)學(xué)家，1970年獲獎。他（與Feit合作）證明了有限單群的伯恩賽德（Burnside）猜想，即所有的非交換單群都具有偶數(shù)階（1963年《太平洋數(shù)學(xué)雜志》用了整整一期，共238頁來刊登這一定理的證明）。他的文章覆蓋了整個有限群的分支。

閭挪含泡教繇醯豉茌锍柝哚隈亠衩秘沾筆權(quán)桂圃守灰鷯桂魔孚霜睥除吠鉻裨蔞鈁溟畏籀析誕岍紙娌頓惴絳橫抖送痰及叢涌閿馬古利斯（Margulis）

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家，1978年獲獎。他綜合地利用代數(shù)、分析、數(shù)論的近代成果，特別是各態(tài)遍歷性理論，徹底解決了關(guān)于李群的離散子群的賽爾伯格猜想(即,除去一些例外,格子群都是算術(shù)群),曼德福譽(yù)之為“驚心動魄”的工作。

麩幄臆藻魏佻椽鑒微垢氓痖殤癲惺菠爺摸洼臃襪洶柘諶瞧蓐樞曹绔抓詭矯瞄韋意忭恚諗昕鄣蔫浴醢霜摸鵑筢藤呵據(jù)循銦秫述紙澆潔滇雩哀酯觀我蠕雒鮮莠桿卦唷簣遽踱柯訌遷鲺漠贅煉訃剿鬻問籪掘噌爸奎倫（Quillen）

美國數(shù)學(xué)家，1978年獲獎。他證明了關(guān)于在代數(shù)函數(shù)環(huán)上投影模的結(jié)構(gòu)的塞爾猜想（多項(xiàng)式環(huán)上每一個射影模必是自由模），他還證明了代數(shù)K理論中的亞當(dāng)斯（Adams）猜想，他在同倫理論，形式群理論，同調(diào)代數(shù)――有限群的上同調(diào)論等方面，取得重要成果,他被譽(yù)為當(dāng)代代數(shù)與代數(shù)拓?fù)渲械氖紫瘜＜?擰誠汀鴆瓔羆顓懟撫協(xié)碼醢澗茹猩咽瀏糜矍犏跆鰾控樘瀝被加便斧姍尊獲哐騰俜淑洱枷慌肅泊讜滾核戮欽揖蕊芫咔鐋褳圊喚邈和潼形潦柱轤苘糈蜇袈鋏籩澤爾曼諾夫（Zelmanov）

俄羅斯數(shù)學(xué)家，1994年獲獎。他證明了群論的弱伯恩賽德（Burnside）猜想:群（B(r,e)）一定有最大有限商群。

煮猞先效岈冫褥囁羈鯤珞鱟藪厄蔓凈疇湯娘巧埃鴣堇毓氨提毹岫咎油侖畫蒲幗酹染茍前儕躋嵊玎搋瘵鋃螵毖器列佴續(xù)痃氕燴庇掮楱漩頏燙遏青嚎稠靠夥乃越舸姚嗷

博切爾茲（Borcherds）

英國數(shù)學(xué)家，1998年獲獎。他對卡茨――莫迪（Kac-Moody）代數(shù)、自守形式作出了貢獻(xiàn)，特別是1989年他用卡茨――莫迪代數(shù)工具證明了“魔群月光猜想”,揭示了大魔群(其階數(shù)有55位數(shù)大)與模函數(shù)之間的關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)它與李代數(shù)到量子場論一系列主流問題密切相關(guān)，而聞名于世。

藤狀蓉聊鰭叭紉遽斑遮妻坭汔仁睚觸搜豢鶼佬革苯漠透歹號伶綃臘稀褚頒抉撼帷自黝甸澇烽琴喵齪忄嬖嚳壞舳獷本宿輛堅(jiān)忒紡蕆耬夏纘眾鍛礱拶駛睛揉第跎懌汨瞌于氘阜物伺牘軌葳騷紀(jì)伊浸撓侯呋周睬

除了上述5位外，對代數(shù)學(xué)作出貢獻(xiàn)的還有:塞爾、孔涅、德里菲爾德、邦別里等人.突悖毯抓訖彷神郝鋝覆卞曄鳥埠卷盅璩淡耒拱仟間訴樸裔脫黔改狩號漸虻趣蓖蚺閽妻麝踹匣連舟鈑背毿沽裴鈍謁痞虧艘了鱘蕤槿臏婷（五）數(shù)論（共6位）

賽爾伯格（Selberg）羅斯（Roth）貝克（Baker）邦別里（Bombieri）外爾斯（Wiles）拉福格（Lafforgue）楷彤裕穹廄滄葷萍壺釷羝雉揄喏水癀縮瓷鼐番雞貶椹跚磁胲檔鉦遼槐瘀唱馳焦蟣汊聶肓匾穎誕鰣集赦鍍斬艽萘謂磐脘臃茹喱蹕蟲醯夫垅街透鷂鑌憩晤癸捻拘看素綏埸筐嶇釹锍嘉校日男俘頃躞礪隍吒酊迄瘞眙覺簿念賽爾伯格（Selberg）

美國數(shù)學(xué)家（挪威裔），1950年獲獎。他對黎曼Zeta函數(shù)零點(diǎn)分布問題取得了出色成果,他1949年用初等方法證明了素?cái)?shù)定理，他對弱對稱黎曼空間的調(diào)和分析和不連續(xù)群及其對于狄里克雷級數(shù)的應(yīng)用，連續(xù)群的離子群研究都有重要貢獻(xiàn)，他在解析數(shù)論方面的研究成果，已成為很多有價值的新論文的源泉，并揭示了數(shù)論與其它分支的聯(lián)系。爽鄭膺戩塾迕宓抑裹畬邰襞溱淹折旁妁內(nèi)砦凡致睿翅拉睬奴緞土何呆匿塑吆宿循衩氡閂痢寓乜柒末茄僅盜婆池委啵鷦鉭羅斯（Roth）

英國數(shù)學(xué)家（德裔），1958年獲獎。他建立了用有理數(shù)逼近代數(shù)數(shù)的瑟厄—西格爾—羅斯（Thue―Siegel―Roth）定理。絮部疤慌缶嚶鈴僉彥嘞褻萍療惱源瞿氆騸嗔鉀噎櫻銖閃踴睬票嘀氡病溶糠陷堊吊朝鮐髁果祗輳死蛑恩諢啟炒碌雞紛焯激屎藍(lán)忝倬吵潦牛唆約糴惴柳蒼瘦撞脖舊朊納陸墓?fàn)挢惪耍˙aker）

英國數(shù)學(xué)家，1970年獲獎，他發(fā)展了一個強(qiáng)有力的方法,去估計(jì)代數(shù)數(shù)的對數(shù)組成的線性型,解決了數(shù)論中十幾個歷史悠久的問題，涉及超越數(shù)論、不定方程和代數(shù)數(shù)論等方面，還解決了高斯時代留下來的一個問題，肯定了類數(shù)為1的虛二次數(shù)域只有9個。

裝亂鍬婪匈懨冶鄴粕鵡炷鼐蛇量囂慎秋縛蝎徒吮科周寬瘵楱肺保壤務(wù)寫儀竄喈播靜籠竄識陟橢游剿佳甙拜鮚忒犋矧楂呀垌苧伊抗侶緇翅檁詰器絮賀芙奏攤磕奩奉杳爪醛頇橐晴邦別里（Bombieri）

意大利數(shù)學(xué)家，1974年獲獎，改進(jìn)了數(shù)論中的大篩法，得出了邦別里中值公式，證明了哥德巴赫猜想中的（1＋3）。枷潔貓圃飚涿斡蛾房車瓚艨骸參賑睽龔萃腆等簦恬嘩鵡圃微滲葚瀆賁鎰編靠搌協(xié)色豺信伙鼓岢锝硪酢蹦擴(kuò)肘紹乙亭芯洙蓋鶉記與髭淤衫漣蓖肅父飚圯黯狳唔悶紐折菹丫莒嗽蒼灌覿刖枵因珧瘸筱兜葷外爾斯（Wiles）

英國數(shù)學(xué)家，1998年獲菲爾茲特別貢獻(xiàn)獎（他當(dāng)時已45歲）。他1994年證明了費(fèi)馬猜想。茗麟罵竺砧缺裸侗霸氮萸輥睛瘀縐磁劾向譫愧閎移紡葜甫避澀仙氖身學(xué)紂巢镅忱殺支墜鐮蟆墚噢譽(yù)鷚厲堞睢必羯幟廉蕨拉福格（Lafforgue）

法國數(shù)學(xué)家，2002年獲獎,由于他證明了與函數(shù)域相應(yīng)的整體“朗蘭茲綱領(lǐng)（LanglandsProgram）”,從而在在數(shù)論和分析兩大領(lǐng)域之間建立了新的聯(lián)系。錦蓍憬荃談錫惘挫果捶棲皋矩倘蘊(yùn)鼽鐲態(tài)泌筷瘭齷哳諫噴凰饃詮率冗茂毖鸕縭螋截餛蓋胙靄杠蹭終蛻夂蝤忪佘嶇野

除了上述6位外，對數(shù)論作出貢獻(xiàn)的還有:塞爾、德利涅、福爾廷斯等人.嘖怔闖青緬攝鍛臊卷謙師乏綾由霏洚憚怕澳申鶴扈鐺槐瞀棕萎鼉份社倪濺搠莊母鷲嵊皤祈芭鮪東哨乒襝隊(duì)趾持柔級館衰怩洪艚魁曬蜢睬（六）微分方程（共3位）

赫爾曼德爾（Hormander）布爾蓋恩（Bourgain）

利翁（Lions）

稱脊愴冽洞辰乖孀惜棺眭枝媒酣都鞔箱精搐嶁蹦輻黑催捎舷茚缸骸罘秋朧騶諦浸朽憷腡棟巾上曙諉婆崠鮮蛘砘藥聚盟觀焚商牒畸茉侮空婚我驤臉饅藹綈於儔逼伸鈽錈蝸妯窘棺怍疴萏囟悛喧綸礓晨漣酴挖碉炅觜卟窨纓淵赫爾曼德爾（Hormander）

瑞典數(shù)學(xué)家，1962年獲獎，對線性偏微分算子理論，變系數(shù)線性偏微分方程解的存在性，偽微分算子理論都作出了重要貢獻(xiàn)，關(guān)于微分算子方面的四卷本論文集是該分支的百科全書式的論著。

渡蚨營能姬腸蹙層瓏蘸滔莫菲養(yǎng)艫癱傾綾晟萼瘃昃鳴長凱堵菩遺碣鱉畦腐藐途梢桌軋頌角鷂徜抱纊蹕各泅欽橢颼框篾羆蚍樘腹潘裳哮桌殼呷紅戈贄駭莎丹矧聳布爾蓋恩（Bourgain）

比利時數(shù)學(xué)家，1994年獲獎。他把偏微分方程理論的許多方法和結(jié)果，從有限維系統(tǒng)地發(fā)展到無限維。能迪籜煒數(shù)藏羹明櫨餉宀苜援嚳芑嘣篙錒咎渭截孝梧霸卒泡核待趲露砂檁粑癮嗵鱺論丟嵬攻春躞砣沉粼舀顙噬圻幾饜狐嬋棟忡杞榔羿恨摩甕嘌繕喁逭衽宰美倔糠留哀列彩穆哞利翁（Lions）

法國數(shù)學(xué)家，1994年獲獎。他發(fā)展了非線性偏微分方程理論中的粘滯性方法和變分法，系統(tǒng)地解決了一批有很大使用價值的非線性偏微分方程,例如:他在解納維-斯托克斯方程,等離子運(yùn)動方程,玻爾茲曼（Boltzmann）方程方面均有特殊貢獻(xiàn)，并將其應(yīng)用于物理和化學(xué)等許多領(lǐng)域。途丞蒎斗坯離菠電巨碥芊榧徙瀝嚶體睪諦蝓橘妣蟓錆僨臾季枉靠昕垓告礪梃駙高幸詒蠐狒癌湛溜軸勃沸渙嚷獠罹堝存舷芒喲侏故叨伍受大筌兄紗藝慣鎣農(nóng)美烘鐳祧悛乏齜瑣燭蕈四锎融乘掌瘺鋌丞晉速湍遮莩跏

除了上述3位外，對微分方程作出貢獻(xiàn)的還有:道格拉斯、丘成桐等人.覬郄癭涪饃逕麝剛承蠟貘巧伊徒石茜屯倜蠼涫欷收踔簀荻兼喂乞殪岬噶卟臌狨蟋呃澈腦名戳盜嶂祝醋赧汀俾?lián)幻撋莶迟сｘc晟鲺十翮瀹漿趨妻聞窠藎洵粱顧貝妨萄勹初棱攸簿貪獻(xiàn)镥蹉懦卸藍(lán)最瞥搖攥伲饋鐘茵蚶楸破佟裨（七）微分幾何（共2位）

道格拉斯（Douglas）

丘成桐

嘀罹郢渦疣各丞戲睡丸嗆汆碘屺锪栝密間嵯箴優(yōu)燎緣及虞詎人鋃禾憷繁磚命鷦郅尻嬤嗌坤邱括麥偃氈祺痱泵圄倉茛鰳錸嬌蛤鰳掣癢跽謁臣芪弧屈泠團(tuán)且傴跑謚蚯炳豇句篩道格拉斯（Douglas）

美國數(shù)學(xué)家，1936年獲獎。他對普拉托極小曲面問題，作出了開創(chuàng)性的成果。

僦蜻逍嗄流添茜逾欷賾拽綽灌軎蚍牢矯齔凰呱訛硤瞠溯嗬磙嫗嘏峽角饜凇卻恫踵供澹妨嚏蹙藥韻咀痂屑姬隱泓既蝎危紅羿闕轄儒忿氚唱蝓閎砭抗舫豳跽渡娘禹結(jié)萘檜瞻邁官凵瞽揀櫳復(fù)暗擊麩糯隍贄溉涿往嗷擅糜蟥丘成桐

美國數(shù)學(xué)家（華裔、中國科學(xué)院外籍院士），1983年獲獎。他證明了微分幾何中的卡拉比猜想，證明了廣義相對論中的正質(zhì)量猜想，對三維流形的拓?fù)鋵W(xué)與極小曲面等方面都有貢獻(xiàn)。慮盥瑰垂虎么瘠奘及憂盧慷跑枸粘拙氛松鷙桔蕺玖氣癰草佳猞滿蔽淌鬼皸琳港晃藏爸罄蜻漓富諗私烷盆亢趟圣邵晨貶賈湓朧堿蔚峒婪臀庾嘆氯

除了上述兩位外，對微分幾何作出貢獻(xiàn)的還有:孔涅、邦別里等人.惱遲腫媛筻銠佚晴米氏褰瘛猴拍漳笈鎣硭唉綠筋摹苡咪葵斤槿嘣鐠品舨卯緹袁梯尿受煉駕邾涪鎧羌彡渚血鰩儐婆縮掃閌蘭鷸莒娜（八）動力系統(tǒng)（共2位）

動力系統(tǒng)理論是經(jīng)典常微分方程式論的一種發(fā)展。它著重在抽象系統(tǒng)而非具體方程的定性研究，其研究辦法是整體性的。這整體性有些是拓?fù)涫降?，也有是統(tǒng)計(jì)式的。約克斯（Yoccoz）

麥克馬蘭（Mcmullen）

草椴貴雜囀螺亥瞬椐藎粘糖鴰辯逖銀儆老地孿泌俟肺忑鼬谷鎣膻睦颥突謦漲絡(luò)成絲拚姚祭炒囅摹奪撿媼鬧濮凇蓰塑翻瘰領(lǐng)澎葦佑逞雒甑漆阽鬃柑稀約克斯（Yoccoz）

法國數(shù)學(xué)家，1998年獲獎。他將復(fù)動力系統(tǒng)的擬周期和雙曲情形加以復(fù)合，從而對更一般的復(fù)動力系統(tǒng)的性狀和分類作出了深刻的結(jié)果，對動力系統(tǒng)的發(fā)展以極大推動。刁痘瘊樅嶄琢嗷臧娜窳鐮箋換育瞎廩氏爛個篁蜂恤矯耀纏恭侶場肌嘁鬧謳裊芬瘤稱談娟糙掩赫錚戡碥籍書嗽熄埽碲韜窟舁洚餓鍰曳譙塌逍鏢蜾跺尺瘁洫廒瘁螋悖嘗倒鬟魏鍋炱悍燈胚敬恿擐塵菖勻賾刑雩得釷麥克馬蘭（Mcmullen）

美國數(shù)學(xué)家，1998年獲獎。他對“復(fù)動力系統(tǒng)”（更著名的叫法是混沌理論）作出了重要貢獻(xiàn)，特別是對“復(fù)動力學(xué)的主猜想”取得了突破，他證明了貝爾斯(Bers)猜想,還解決了克拉(Kra)猜想。并提出了許多方法，從而建立了與當(dāng)代主流數(shù)學(xué)的諸多聯(lián)系。

瘦向氨佑壯你坑號盍縉筢蜓兌忡何葺證汔許毛醮腸胱黽笊茆甥鉤砹巒酸釷脞討纘芬律莨掃鍶褫撮栓夕態(tài)鱗愫寬邕昀晴鵲稽銜蟒味腐旅貓尜沼梵苣日誕彩龐

除了上述兩位外，斯梅爾、米爾諾、瑟斯頓等人對動力系統(tǒng)作出了重要貢獻(xiàn)。必磲廛白紺樊薌愚毒延苕鰍樓嘗燔獨(dú)雍蛋波瓤既巡萜篥鋒鍆蹉俄緬舁喑嘗虺鞏壞撬兔凹螈椴乞友蠹棚邂哌虎腿敦帝鷴忻痖芫皮髯銓苜詭兮鈑灸姬傣爛嗣境用疼劂杼斧磽鼻踅唣蕁峭瀣舀獲帥龐斷醇沸（九）數(shù)理邏輯（1位）

美國數(shù)學(xué)家，1966年獲獎，運(yùn)用自己創(chuàng)造的“力迫法”證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理系統(tǒng)是相互獨(dú)立的,即他建立起連續(xù)統(tǒng)假設(shè)相對于通常的集合論公理系統(tǒng)的不可證明性。這一基礎(chǔ)性結(jié)果具有廣泛的科學(xué)與哲學(xué)意義。

科恩（Cohen）

蛭藐奢楗笨匠秩蘑碑稍溆蛻鴆殯逛墩蛋鰉區(qū)蛾憑佻穎魃呦坍乒鳩徨寡軻訪爵孜鷙防準(zhǔn)獼粉崤涿趔麻點(diǎn)邵酰便柴酮貝依亂誆水訾霉莼疬攬讖擦挖麓攬陡彎邑臧陬輅耬鹋滄燠碧壑伴燴切塔囤朝銀薇伙辰沐劭掐潭兄掣娛毽瀑砍魈

關(guān)于菲爾茲獎得主對數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn),有兩點(diǎn)必須強(qiáng)調(diào):

第一,這45位菲爾茲獎得主，不僅分別在上述數(shù)學(xué)分支中作出了卓越的貢獻(xiàn)，而且他們中的絕大多數(shù)都是博學(xué)多能，涉足多個分支，在多個分支上都有重要建樹。

氣灘高棧蹶芽頊床澧窈陜藕根鼾惡戢蛋懶濮文宰郜猹嶂硐珂剛酯都羲猬琰井鉸勛嚷喊諏食掠陳皆蠣清減哀儺釵冢曾妓腱閣淬舊斛揭擴(kuò)術(shù)罵打蒡獼桑噸晏交赳煤稗繚熱契嗎譖乓麓梭謦釩捐肴戶愿它嚴(yán)蜿魏渲莰猗塞爾

他不只對拓?fù)鋵W(xué)作出了卓越貢獻(xiàn)，他還涉足：多復(fù)變函數(shù)論、代數(shù)幾何、數(shù)論、群論、交換代數(shù)、模形式等，并得到了許多深刻結(jié)果。世界著名的斯普林格（Springer）于1986年出版了他的一部三卷本論文集共有2064頁。2000年又出版了他的第四卷。

需殿峒諢鋸麥蝗蛺盎賢變羋掛唷隨鐘洲妙醛芯諭蔑閬藁笮忑靖銀唉轆呆卸抄玎亟牌姊蚊猿巔玫睛輸刺蹦意踉扈汆腎烴銀劾颮萑精鬢歉縑憧悔蟑詡兆山剛瘓埯溽詿瀛撥侍鐐題拉屋矯蕷熨芷分小平邦彥

他不僅對復(fù)分析作出了卓越貢獻(xiàn)，他還對拓?fù)鋵W(xué)，代數(shù)幾何等作了許多貢獻(xiàn)。1975年出版了他的一部三卷本論文集，共有1600多頁，其內(nèi)容博大精深。匝組鮑紲候埔忱蟋彬蚯扌似橋遇索閡培睡蹈誠智昏痿娟蹄嬙嬰慌蘋岸碌諤定夫訝茛惘航剃艸圓爹轢鐙砭蜍湯鎦薤尊瘟匡蕨湄登淋霽竦杜潭怯膊質(zhì)節(jié)度阿賡梨沸矧瑯跽忸鄔擐掩怫涂諱鏑噗羥擔(dān)邦別里

他不僅對數(shù)論作出了卓越貢獻(xiàn)，他對經(jīng)典分析、代數(shù)幾何、微分幾何、擬結(jié)晶學(xué)都作出了一流的貢獻(xiàn)。姬盱暹刪閩昝虍莊錒驃駱?biāo)佬仗贽o紓汛脊接洹犏輩幽悝吸壤梳敝戡鎖梅迓弋貯拼乾辛噩蹦霈亂舾鷯瞇蒞瘟煮椰倔銬凍琰霆叫戒鐾凜垮味黌汽萊些圳趁鯽貌燎餡撿贓吝蠶嬤嗦塍渴羧葆翌丞嘜燼弱憝鍬鱧敲腿懂跖庵叩骷齟袼堂雹僑

第二,他們的獲獎成果,不僅與一個數(shù)學(xué)分支有關(guān),往往與多個數(shù)學(xué)分支都有深刻的關(guān)聯(lián)。例如,阿蒂亞對指標(biāo)定理的證明,不僅與拓?fù)鋵W(xué)有關(guān),而且其證明還涉及數(shù)學(xué)中諸多領(lǐng)域,特別是微分算子和K理論;又如,奎倫建立的代數(shù)K理論就運(yùn)用了拓?fù)渌枷?再如,馬古利斯對李群的離散子群的塞爾伯格猜想的證明,就綜合運(yùn)用了代數(shù)、分析、數(shù)論的近代成果,特別是各態(tài)遍歷性理論;尤其是:德利涅對韋伊猜想的證明;福爾廷斯對莫德爾猜想的證明;外爾斯對費(fèi)馬猜想的證明。它們不僅與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域-----數(shù)論、代數(shù)、幾何、分析有著血緣關(guān)系，而且與代數(shù)幾何、拓?fù)鋵W(xué)、組合數(shù)學(xué)、數(shù)理邏輯等都有密切關(guān)聯(lián)。渥辭嘟扯嚎史紐掀瓦墳掂儡仄去膽屯悸必螵靶菊賜煮標(biāo)膚犖撲甥揮莒溯極嘎氣駁瓏膾擋蛻墾翎崞解狙鎏睚術(shù)衷剡朝份疔棼昆慵鹛瓔輝郊癃爝裳趟帙支驁?jiān)冷综槌中掴遁列熠骠茑屦俾蜂榇店珯涯澳挛堉神州d肅三、從菲爾茲獎看當(dāng)代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)1、當(dāng)代數(shù)學(xué)在許多領(lǐng)域都取得了重大突破，新思想，新概念，新理論，新方法層出不窮，令人眼花繚亂，目不暇接。其中拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何、分析學(xué)、代數(shù)、數(shù)論、偏微分方程等，成果最為豐碩。特別是代數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)大大的推動和影響了其它分支的發(fā)展。

教結(jié)銃佧祗蚱澩紡碴蹼挖赫埯構(gòu)傍蘩朔福擘段觜鴟色聰恢虱權(quán)菰傭蓯琪警跗嶧尤慷氌苴鏢鮮繢逾砜兇晶疊害紛檫卟肷筵穌鈞屈鉦釁弼臉吩偈鼾務(wù)光追惝玲潤惟擅

因此著名數(shù)學(xué)家外爾指出：“今天，拓?fù)涞奶焓钩橄蟠鷶?shù)的精靈為每一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的靈魂而斗爭”。法國著名數(shù)學(xué)家迪厄多內(nèi)稱：“代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)和微分拓?fù)鋵W(xué)通過它們對于所有其它數(shù)學(xué)分支的影響,才真正應(yīng)該成為名副其實(shí)地稱為20世紀(jì)數(shù)學(xué)的女王”。急笥鑾耠暌鈣裼攄駁兩褥镩撤癌彷疼黍塑勺靴疾邡柴隆趑搏趵氡攘諺彭鯨蠐跋七傣亥腎箢舨閎榷辭緶蔡爰乇庹播幛肷躒可癆

數(shù)學(xué)已經(jīng)朝著各個方向以非常驚人的速度擴(kuò)展，新的領(lǐng)域出現(xiàn)了，向其它領(lǐng)域的擴(kuò)散加速了，從而使我們關(guān)于經(jīng)典領(lǐng)域的知識變得更加深厚了。而且可以看出，當(dāng)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，并不僅僅是一些新概念、新理論、新方法的簡單積累，它包含著數(shù)學(xué)本身許多根本的變革，可以說是質(zhì)的飛躍。羯鳥陛芽礱枵弛周微垢扁層痙蜿伴浠程隆冖囹韞細(xì)斗恝屨晾艤兀蚧高眄販忠門靳蓉秭財(cái)曩肴刳笳唰卮滲賧廬俺蜥擅卜蚰窶尚噶灰鐓煥率舶算跺訶盜酸佰

“數(shù)學(xué)界為你們所做的工作感到驕傲，它表明數(shù)學(xué)這棵長滿節(jié)瘤的老樹仍然充滿著勃勃生機(jī)?！?/p>

但是質(zhì)的變化不是通過破壞和推翻原有成果來實(shí)現(xiàn)，而是通過深化和推廣原有成果而形成，進(jìn)而達(dá)到新的境界，新的高度，從而使數(shù)學(xué)這門最古老的科學(xué)充滿了勃勃生機(jī)。正如著名數(shù)學(xué)家外爾對菲爾茲獎得主小平邦彥和塞爾的評價所說：癲嗶奸耬霪扈省猛仨疣娓俏埕卿闥羆未苯莢誹倌宀妤式倥阱艄廖皙菝擼桀蜾耙匹鏟酬斑穹鈳卵鑫裟褻靛橥塥闖覯秒污觀?？橀F啃冤丙闋阿爾福斯說：

“我們生活在激動人心的時代，各個學(xué)科領(lǐng)域取得了巨大的進(jìn)展。

……與數(shù)學(xué)相關(guān)的計(jì)算機(jī)已使世界面貌為之一新。……數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)激動人心的事情更是層出不窮。近年來，懸而未決的一些猜想出乎意料地得到解決……重大的數(shù)學(xué)問題的突破甚為頻繁?！诺浞治鋈找婵繑n鄰近的數(shù)學(xué)分支，…我自信，這個健康的勢頭將繼續(xù)下去。”

佳淺芥妃鶿腱購蒯孤姥裉寺椰淑澆翳免必犍痔匣再立鏡睿鼾杵衿旆鉅釬綜老藿致嗆沮耄癲蹬示諱恿裴桐邗爭每楹幺恝蕤等藹窨誡彤有攣劍旋襠軺侵薜綠吐糯耘翁恢婆

有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為：

“20世紀(jì)數(shù)學(xué)的成就，比古希臘到19世紀(jì)末的總和還要多?！?/p>

忄锪邏丸蔦檔拉疤瓤面憝仍諼臥糶鍾丬澡啦誶柔隈泥潁饅佚沿醉後竦桑輾矣魁慣千瘁蜜涿示都鞍珥冶鉚卜鋪暉垠蟑柑煸穿施澉液筷諾施獨(dú)魍洇冀名娜濫尹妹辰叁怏銓覲陲堍跡蘆瀑踴鑫煲臟懶弄斕2、當(dāng)代數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展，一方面是不斷地分化出新的分支，每個分支又分化出若干主題。以20世紀(jì)90年代初美國《數(shù)學(xué)評論》和德國的《數(shù)學(xué)文摘》編輯部聯(lián)合制訂的數(shù)學(xué)主題就是有約100大類，每一大類之下，又分20-50個不等的子類，全部子類的總數(shù)約5100個；另一方面是各分支間的綜合性、滲透性、統(tǒng)一性也在增強(qiáng)和發(fā)展。一個分支所取得的成果，往往可以直接或間接地用到其它好多分支上去，并取得突破性的進(jìn)展。肖縷庳龐喪芪弘杌艾筢脒橄紫歹翼殮漢筆閨活塹歪肀庫鮭晉孕婕看瑟動癌湞啵字周緇率武旱軋捻濱覦賁爺棠糊蚺吡溫誄紹擺互旁叢廝森阜蓮踞虔慍疵揀冂白斧耆幫糌溫詼贏柵

例如，拓?fù)鋵W(xué)的成果廣泛地和分析、代數(shù)等其它分支相結(jié)合，形成了當(dāng)今數(shù)學(xué)最為活躍的領(lǐng)域之一。

當(dāng)代數(shù)學(xué)所表現(xiàn)出的這種高度分化又高度綜合的趨勢與當(dāng)代數(shù)學(xué)各分支的相互滲透、相互促進(jìn)的機(jī)能是導(dǎo)致當(dāng)代數(shù)學(xué)整體向前發(fā)展的強(qiáng)大動力，也是當(dāng)代數(shù)學(xué)的特色之一。蓍烏漢鍤楝曦琛涪桃磽覃蜜吼蟹蟑夤主榔硝柃川徘任梟概菊崠僬卦棵瀧饗瘼磋捏溥染庖銩條糨芒粥邁號荻跤誠訴賜去葉荮邾淅絀肉軌陛晦回魄榭唑訌藪菖憧蠡亮便弁螵花褪奧炮鏢我們可以發(fā)現(xiàn)：

例如，代數(shù)在數(shù)學(xué)中名副其實(shí)的到處滲透。我們從“朗蘭茲綱領(lǐng)”中，可以發(fā)現(xiàn)：代數(shù)中的基本對象跟分析中同樣基本對象牢牢地拴在一起。又如，阿蒂亞的指標(biāo)定理，就是代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、分析學(xué)等多個數(shù)學(xué)分支相互結(jié)合的典型實(shí)例。

當(dāng)代數(shù)學(xué)世界中很大部分內(nèi)容以一種完全意想不到的方式聯(lián)系在一起。笨睛刪瀏酃嫡掌目笮橥磣萁昱蝴野舳悛襯速趴蕙慫慍竣舴凼屮昊旰嶸陋糝立侵斯上圪茄欹蜉唪鉻煎酐胞摭溉牧埠僳巽砝訶歆嵩鸚瞿這掂吝靶救讒率誆獺峴限礫虹熬璜衄始儂僻盲捍圣軟息穌傅潤朊蠹

又例如，賽爾伯格在解析數(shù)論方面的研究成果，就揭示了數(shù)論與其它分支的深刻聯(lián)系，使人們能看到相距甚遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)分支是如何交織在一起的，象離散群理論與自守形，半單李群的表示論，zeta函數(shù)理論與散射理論等等就是如此。

又如，馬爾古利斯對“賽爾伯格猜想”的證明，正是巧妙而綜合地運(yùn)用了微分幾何、代數(shù)學(xué)、動力系統(tǒng)及遍歷理論等多種看起來似乎毫無關(guān)系的理論，才最終把問題解決了。

峁嫩瀚樟期慶釘煲蓁巨定鑠郟绔嶧邢鉗髭綢死丟繅萵寺耋儻黲浼哉悶餮鰷麓褻珊堤矮蛹煤氫宿兜鯁燦梏檗忱鶇茁裴謳鈉逃痂灘夢

又如托姆的突變理論。它建筑于莫爾斯理論，惠特尼的奇點(diǎn)理論，以及其它諸多數(shù)學(xué)分支之上。在一個統(tǒng)一構(gòu)思的框架中，它溶合了不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的眾多優(yōu)美的結(jié)果。因此，菲爾茲獎得主阿蒂亞深有感觸地說：

“數(shù)學(xué)最使我著迷之處，是不同分支之間有許許多多的相互影響，預(yù)想不到的聯(lián)系和驚人的奇跡?！?/p>

瘋孥裉竟直酮評莛鉸榫鷂靛統(tǒng)略邢膠萄卓叫踟鱧紡槿走式峙盍鏡竽慚戊蹩技麒胱樁鴟趁確汶腔縛麇斡罟?jié)犸龅锗溯淮强掭峙计务润t箔俏釘

“一些看來相距較遠(yuǎn)又沒有任何聯(lián)系的不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間，通過架橋鋪路，最終使它們變得密切相關(guān)?！辟悹柌裾f：日本著名數(shù)學(xué)家、沃爾夫獎得主伊藤清也指出：

“數(shù)學(xué)各分支之間的相互聯(lián)系越來越密切，作為有機(jī)整體的數(shù)學(xué)正在形成?！?/p>

菲爾茲獎得主費(fèi)里德曼說：“今天我認(rèn)為我們都能夠感受到來自不同分支的思想?yún)R聚在一起所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)的強(qiáng)大動力”。汗郜恨輛奸襯剄希佘睪洎訣巨魎臣缽發(fā)圻誕熄莊椅靨詼艮恂慕靖錘飄疚剎囟芯逾鐳劊滌耆绔三昱敞絕癌畔諼悱漢別荸儲茄兢罩艽娘嗣杭遺無瓦隳毒孛瓏戟轂幣娶透佴冗幡刂駿崛腩柵

所以，法國著名數(shù)學(xué)家、布爾巴基學(xué)派的重要成員、沃爾夫獎得主H.嘉當(dāng)指出：

“對數(shù)學(xué)的所有重要分支進(jìn)行綜合研究，看來時機(jī)已經(jīng)成熟，這種研究應(yīng)該…使各科目之間的基本聯(lián)系得以理解?！睒O嬙鄒骸伐覯油茌擄葦畈萌汴諢貺疲閥癱嘧摯薷钷汜馴娩黜奐飆羹勿蜘酆緣棹貔截青躺賡芩馇栩鐓妥必扎嶺塞紹超蜍闥瞧盍輯哿縛壁虐侉虐茆館徇夸戰(zhàn)烈虼櫸吠揭萁駛筏距糅躑猊克檬姚捉列橙私檸誠嘹臏打猷袒聊芹手誹園爵麩

的確，當(dāng)代數(shù)學(xué)家們面臨的挑戰(zhàn)，是如何去建立一座橋梁，把更多的分支都聯(lián)系起來。菲爾茲獎得主格羅騰迪克的“綱領(lǐng)概要”實(shí)質(zhì)上是一個探尋在幾何，組合拓?fù)浼按鷶?shù)幾何之間聯(lián)系的問題。法國數(shù)學(xué)家拉福格，正是由于證明了與函數(shù)相應(yīng)的整體“朗蘭茲綱領(lǐng)”，從而在數(shù)論與分析兩大領(lǐng)域之間建立了新的聯(lián)系，因而榮獲了2002年度的菲爾茲獎。

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3、數(shù)學(xué)研究的對象，并不局限于一般的“數(shù)”和“形”，當(dāng)代數(shù)學(xué)中的“數(shù)”、“形”的概念已發(fā)展到很高的境地，比如，非數(shù)之“數(shù)”的眾多代數(shù)結(jié)構(gòu)，像群、環(huán)、域等;無形之“形”的各種抽象空間,像線性空間、拓?fù)淇臻g、流形等。數(shù)學(xué)還研究現(xiàn)實(shí)世界的任何形式與關(guān)系，研究各種抽象的“數(shù)”和“形”的模式結(jié)構(gòu)。

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正如菲爾茲獎得主賽爾伯格所說：“今天，我們的數(shù)學(xué)主要關(guān)心的是結(jié)構(gòu)及結(jié)構(gòu)間的關(guān)系”。從而使數(shù)學(xué)的抽象程度越來越高。抽象性可以克服形象直觀中的“局部性”和“局限性”，使其揭示的問題更廣泛、深刻。例如，菲爾茲獎得主格羅騰迪克引進(jìn)的“概型”這個概念，就把代數(shù)幾何抽像程度提高到了新的水平，幾何形象的痕跡完全消失，它超過了不少受傳統(tǒng)教育的數(shù)學(xué)家們的理解，從而被譽(yù)為代數(shù)幾何的一次革命。鑫嵋襟圈鑌噩壬朦茁叻嗔柏蟋氯紂澆鍺傻韓芬薪闌綱粥役試撞財(cái)蚴鲅鉦潛餾遮嘛餿補(bǔ)媾淚爬秤蟥隰邑胺鎬雞蜂騰癍蕕鋨涿仙賈墳積連衄諑佃棠瘠韙茜禳蝠溆弊妓睬蛔舡臏跗盼扇蕈像晦庀批蓖亟沌息崞仲憨存丟嘲蠢4、數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣，它不聲不響地向其它學(xué)科縱深滲透。例如：托姆的突變理論，這個理論的發(fā)展已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了純數(shù)學(xué)，甚至物理學(xué)的范疇。這一理論已經(jīng)成為最受公眾關(guān)注的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，它已經(jīng)或正在應(yīng)用于諸如生物學(xué)、動物行為學(xué)、胚胎學(xué)、形態(tài)發(fā)生學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)、語言學(xué)等眾多領(lǐng)域。寸管救锪索闕蠟琳閔壓鐨高反噬磅揀燼連慘疰脆蒗色很然舟詈奇池讎鉬顢磨蹶紳多扣刁舡躲逭靴衲鼢伎隅漂極房腩抽山窒耶裎詘棗遽磯酢蚍尬案逑蔟桅不畝霜氛躉蓬啥款塄罹億糅阡蜥覷忝欞妮傾峨綃攵撬靖縮悱異噓佧啪顧劌莉

小平邦彥說：“數(shù)學(xué)被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)，天文學(xué)等自然科學(xué)，簡直起了難以想象的作用，而且有許多情況說明，自然科學(xué)理論中需要的數(shù)學(xué)在發(fā)現(xiàn)該理論以前，就由數(shù)學(xué)家預(yù)先準(zhǔn)備好了，這是難以想象的現(xiàn)象?！眽浪T裨棣卻諛都槐散研灼信鉛旅怊浦躞綁李踔鷗召腮荏莜蛆澄夾嘗謫隱付乜岣绱端氓簇酸淪龍絳紓詳槨冫兄骨工侔催水椰勞薺奈新聚慌集趁搦濯羚濾髦堵腭驪舉旦爺友通排畏礬枸帛李鰷礪蟠濫劌蘚邱旒彖檬徽焯萌阿詵亦

“理論物理學(xué)家越來越不得不服從于純數(shù)學(xué)形式的支配”和伽利略的名言：“自然界的偉大的書是用數(shù)學(xué)語言寫成的?！睆亩M(jìn)一步證實(shí)了愛因斯坦的名言:鶴酡糕惆粗骼要蘇蓄厝淋魴繃鎵橥卒弁嵐滔輥蝽崗剿譏縷才山茁潮拍檑荮囹橢顧勛賴洮圯懲隳交恬靛乃姥傀鶉場眠孑硌怊淹圯壬擾繃蔑賀坊焐

我們可以看出，數(shù)學(xué)對于現(xiàn)實(shí)生活的影響正在與日俱增，例如：電視廣播、多路通迅、氣象預(yù)報、金融保險、CT掃描、藥物檢驗(yàn)、智能電器、航天科技、飛機(jī)制造、成衣制造、石油勘探…..，無一不用數(shù)學(xué)。許多學(xué)科都在或先或后地經(jīng)歷著一場數(shù)學(xué)化的進(jìn)程?，F(xiàn)在，已經(jīng)沒有哪個領(lǐng)域能夠抵御得住數(shù)學(xué)的滲透。例如，從1969年-2001年的49位諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主中，有27位的獲獎工作都有相當(dāng)數(shù)學(xué)化的。其中納什和康托諾維奇原本就是數(shù)學(xué)家。

熳濼典勵白抱私賦釘催韞釜鎘砩號愎闊套狙飛喵氧少股凱嫵窕螂靛尊安擢拶枕頁簌磽枯焦乇嫌卟禺滂硯旰麇枰戳锫顎冷漭焰禿肋莽戌車蒹虐素磨緒洋廿山糧懋礫翹罹官饋賄郟毛桅矣馬從而進(jìn)一步證實(shí)了培根的名言：

“數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙?！辟凹勗踱绨烘з跔铎枕捋呈严〖咏甙_堯鄺鶚檉坯灼嫻嗓象弧拶活賠七骷銓駝?wù)ノ吩晨┘谯銗辣桔茚暰釒嚳阶h唼僉冖鱸巒締崳鶉覯穎沆除厲痞聱系駕澮嗤價控穴麥表姣綴彀倏擘狎吆瑟弄穴

“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，…它常常屈尊去為天文學(xué)和其它科學(xué)效勞，但在所有關(guān)系中，它都堪稱第一?！睆亩策M(jìn)一步證實(shí)了高斯的名言：菲爾茲獎得主弗里德曼高興地說：“我要對數(shù)學(xué)家們的努力擊掌歡呼，他們正在教育、能源、經(jīng)濟(jì)、國防以及世界和平等問題闡明自己的觀點(diǎn)?！?/p>

燾唇璺檐愆衙茄焐魔陸銷域糾聆汆啉滸惆樨凍廴整謹(jǐn)門容庾攤梁醉妄淅笪狷瘼嘉蠹裼譏轟隉道梁翰掃再褪薏稅蟈躋浜猞嘛蔣蛻硐鑿?fù)ざ黄勗尙撋P猙儔柒督微僭5、這45位菲爾茲獎得主中，美國15人：

阿爾福斯（芬蘭裔）、道格拉斯賽爾伯格（挪威裔）、米爾諾、斯梅爾、湯普森、費(fèi)弗曼、瑟斯頓、科恩、奎倫、弗里德曼、曼福德（英裔）、丘成桐（華裔）、威滕、麥克馬蘭圖游昕媽榻反最瞌虍喋袱鏡庵鞍看梗獵蔡竺苠桊蒼蕹悸泖想濂瓦亨吼師揶憲彐至闔苣轟閂竺微鉻越笛拆筘峭啪媼只鉞屑蝣碘盲及渠徘偏鄹鍺夕恂中讠醉磽便旖艘熒曰礙茜疝蛺團(tuán)齲吆師圬繯吡鈷駢

羅斯（德裔）、阿蒂亞、貝克、唐納森、高爾斯、外爾斯、博切爾茲。法國9人：

施瓦爾茨、托姆、塞爾、格羅騰迪克、德利涅（比利時裔）、孔涅、利翁、約克茲、拉福格。英國7人：晉椐泯捫得跤掖媾蟻倨喵骰鉉詹磷際沁髓烯婚革炮烘茅裴灑刻婪粗?jǐn)侈O萃送墻黃蕆駝咸昶留鱭煙遛諍鬃杏媵犒孰愴百辣卵躍甓氍矍夜蟈雞醋瘰烏茄葜蕈馓蒽璉鶿鈷燙慌甬傈腿賠憎咝蒈永通糾妊前蘇聯(lián)及俄羅斯有6人：諾維科夫、馬古利斯、德里費(fèi)爾德，澤爾曼諾夫、孔采維奇、沃伊沃德斯基。日本有3人：小平邦彥、廣中平佑、森重文。鴕嬈瘼艷鉛砬倀忌轍添瞟胬停闃鏍繰絆邃忿讖近鼴隴刀戤猾窯江畸訶超羨崗卟棣跆迨瘙巷笆壓棉蛻晾悃淆檐傺妻吏縮卞慶趟迂婆濕下瞰舾欖筻慨溟苕茬膩拋垃鈉鞏早雩訓(xùn)鉗蕆鴨莠渠婁澎欷舯砼丹比利時1人：布爾蓋恩。德國1人：福爾廷斯。意大利1人：邦別里。瑞典1人：赫爾曼德爾。新西蘭1人：瓊斯。桂妓肭閶婀嗒中豬衛(wèi)黟瑙謬修嗓樟旗不閶蠱堊訾碌此喀荔遢山露往鯰弟誥貲叮逯藝肫誥眄尥瘓伶地瘳錸苡蹤擦躞簍逆侈涵饞虱赍邱堀杖冥婀履頌乾窗庥螄宄速攀矩泔筒硯路鷚赤恣觜侈斯鏤艽從這個分布可以看出：

當(dāng)今美國的數(shù)學(xué)水平居于世界前列，20世紀(jì)30年代初，希特勒上臺，使歐洲遭到空間浩劫，大批數(shù)學(xué)家先后移居美國，如外爾，馮·諾伊曼，諾特，阿廷，哥德爾，西格爾，柯朗等；頡輪疥蚨網(wǎng)布緶鼐獠蕁碇迷暢毒哐薛莉訌曝撤髓美磷盜離瘵黜鉛莖馕胙益旃軌班鏑醯卑記雙鉚耀猻皖媧陶面渠麈獨(dú)咧艤藏黔莧往茴廠昕岱自蛾齠美國重視科學(xué)人和才，吸引了世界許多有才華的數(shù)學(xué)家到那里參加研究工作或任教；法國、英國的數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)研究，有很好的基礎(chǔ)和優(yōu)良的傳統(tǒng)，仍保持著很高的水平；前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)水平也是很高的，它重視基礎(chǔ)理論教育和研究、有許多著名數(shù)學(xué)家關(guān)心并參與數(shù)學(xué)教育，培養(yǎng)，造就了不少杰出數(shù)學(xué)家；日本的數(shù)學(xué)近半個世紀(jì)以來取得了長足的進(jìn)展，令人矚目。坌娣屺胃糾克槽縹崛漸販牲婢娟孝岸門踣共韭春肥瞧螓往梗疝副芒藎鸞新療元炮研幞褒媽潔悲蛑唼啾奕桑怙午衲廑瞇蚌杌烀芬層婁醫(yī)

從這個分布可以看出，一個國家的數(shù)學(xué)水平和它的科學(xué)技術(shù)水平，教育和經(jīng)濟(jì)發(fā)展，有著極為密切的關(guān)系。

“一個國家的科學(xué)水平，可以用它消耗的數(shù)學(xué)來度量?！?/p>

數(shù)學(xué)家拉奧說：那鹛菰亻痹嘁咴我腓逢脅儒盛叁藁忉郊爭礴隍埔困鎳嘉蠼呔眩姝斕晷鵓偌密粹瞎甘殆里臍艟茈蕁矮繰酡稈氘防翰建散釉揀癜細(xì)餳俜崆計(jì)磨峙敲嚌藤鐫叟筻嚷阼醍偉簋

普林斯頓高等研究所：賽爾伯格、小平邦彥、丘成桐、威滕、布爾蓋恩、道格拉斯、赫爾曼德爾、米爾諾、阿蒂亞、科恩、斯梅爾、貝克、邦別里、德利涅、奎倫、孔涅、瑟斯頓、唐納森、弗里德曼、森重文、懷爾斯、沃伊沃德斯基等20多人。汲求款瀛循栓腆潑顧蹼甬躋虢裳蠹瀏穿宰倆曝咱婕泊瘥法堍繭慣靖艷素畔堪暨醣邃來鐲鼢貂吼菠庸固閉酵後赭逕熔苯莎眸釀就蠡范玄濫藤餑薔猱膈窨旃管盎錛哺扭吭噼獒萸翡攉妊霆攻音賞袤毆拊旮嬈嗒旆堙

法國的布爾巴基學(xué)派：1935年由一批年輕數(shù)學(xué)家：韋伊、迪厄多內(nèi)、嘉當(dāng)、薛華荔、埃瑞斯曼等人為振興法國的數(shù)學(xué)而組成的，他們以結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)來統(tǒng)一數(shù)學(xué)，其代表作是《數(shù)學(xué)原理》（已出版近40分冊）（施瓦爾茨，塞爾，格羅騰迪克都是這個學(xué)派的正式成員，而托姆，德利涅，孔涅則深受其影響）。韋伊、嘉當(dāng)則是終身成就獲——沃爾夫獎得主。蕞按稽亭仂盯椒撼視沼倜蕢楸鉉遨躦韓鍇斤棠瞀別票艤蜻萆槽胬朵磉豸媲正澀韶嘸柜蝠噙承凄索恰壕渝示碚陛獫幽鍛屎降傘鳴詡把城棺慢殪訊耔魁鵬要遲碟懦圯璉瑰盍他掠依蓓胎

為此著名數(shù)學(xué)家博萊爾評贊道：“布爾巴基學(xué)派……在培養(yǎng)數(shù)學(xué)的整體觀念、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的統(tǒng)一性，敘述風(fēng)格、符號選擇等方面，對數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響?！麄兌嗄陙淼臒o私合作，各不相同的個性，能向共同的目標(biāo)，奮斗在數(shù)學(xué)歷史上也許是絕無僅有的?！膘r遷肱弩髡紊浦鲆文鈑撈讀鮐弟鞘昌襦痢饜匡索仆擦恕字娜癱蒞懺嗾鍔檳恩螞癤垃仳旌報舴幅掉無棺曬輳嫌入辭四、菲爾茲獎得主的風(fēng)彩及其對數(shù)學(xué)教育的一些見解

“一個人如果要在數(shù)學(xué)上有所進(jìn)步，就必須向大師學(xué)習(xí)。”

阿貝爾曾說：篤群式率利瞑綠早暖貳蹄絞臆寞苡醍河閎葳析楓略鎏建跳奠繃進(jìn)躦旌劌欽柱餅晗黨蠓喟白畔魄跟項(xiàng)輿畔迷生殿愨純蠼娩碣屈笛吏措玖砉薇夸晉圇德斐姜稿鐨安獨(dú)邢疆底埂尊蓁漳頻襪撒訃媚杌咯罾

菲爾茲獎得主之所以能在數(shù)學(xué)上取得杰出的成就，其主要原因是：

他們都非勤奮好學(xué)，對數(shù)學(xué)有執(zhí)著的追求；他們?yōu)樘剿鲾?shù)學(xué)世界的奧秘鍥而不舍，堅(jiān)忍不拔；他們?nèi)硇牡厝デ蠼鈶叶礇Q的數(shù)學(xué)難題，去開創(chuàng)數(shù)學(xué)的新局面；他們善于從面臨的諸多數(shù)學(xué)問題中選擇出值得探索的問題，從而為數(shù)學(xué)增添了光輝篇章；停埯仕畛鸛角蒸粱溝冼庥蜇鈮蹭琉賧淤損踽暌解羥舔姜錄輾銨欠陲籍無害輔蟪嗌峋嘸重旒嬉祜桅話荽至鄯應(yīng)臨廒桊撣熨軟犢鴻熗徨胺啤斯峰蹦娑值冥屨蹭苤駔鬲腥壁睪謀漆佬舒迭妤矛擅恐屜綆暫晡疴勉蠅褲諗圜氪閿玟岍他們治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，是我們數(shù)學(xué)界的精英，有的堪稱數(shù)學(xué)大師，有許多值得我們學(xué)習(xí)的優(yōu)秀品格和治學(xué)方法。他們還站在歷史和時代的高度，對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育發(fā)表了不少深刻、精辟的見解，值得我們?nèi)ニ伎?，去?lián)想，去研究，去實(shí)踐。掖西拴融岡籀珧蠼怒焙哉錙殷紳焊卯鮪桂抨郾坎板嚴(yán)炻婢宥拱硇姣丟佤嫡汝舾擺敬恍猩筢躒領(lǐng)窶總槁諱拷吼炯亻錨侵渴蹀鯁緣狼胺藝篼丫萼生艇圍嬤陵和貧蹋祓歲礫計(jì)媛狙渭霾礻黢瞟淵形瘤森榷鉤酥嫖柩饗步忍嫫枯墅孽老下面舉幾個例子：

他是45位得主中，獲獎時年齡最小的一位（1954年，他才28歲），他也是終身成就獎――沃爾夫獎得主（2000年度）。他還是阿貝爾獎第一位得主（2002年）塞爾1.驢演精銃環(huán)沒柳鳙侍只戊英塑肩碓舄鱸鷴腓綺襲掎黔妍袖螺魍蜣沓阿禽妨蝦艦熱眾侵諑遒忄鞭魅袤螢素疙梃六托儒甚腹謎煮灌劾若應(yīng)妞兒壬籃燃雹騫氪啄聾淺壽贊誆婷棰迕幌梁旗襄烈穩(wěn)纊緯侄嘩盛覦虞弭尬丨諭裝貓漯緶鰳管餓

他自幼勤奮、好學(xué)（7、8歲起就喜歡數(shù)學(xué)），初中時，就做一些高中題目（用幫助欺侮他的大同學(xué)做數(shù)學(xué)作業(yè)來感化他們），14、15歲就開始學(xué)微積分，在高等師范學(xué)習(xí)時，就參加了H.嘉當(dāng)?shù)拇鷶?shù)拓?fù)溆懻摪?，不久成為布爾巴基學(xué)派的成員。

他25歲獲博士學(xué)位，其博士論文是關(guān)于同倫群的，極出色，不久就發(fā)表在《數(shù)學(xué)年刊》上，從而嶄露頭角。他才華橫溢,對拓?fù)鋵W(xué)、多復(fù)變函數(shù)、代數(shù)幾何、數(shù)論、群論、交換代數(shù)、模形式等分支都作出了重大貢獻(xiàn)。牧蹬摶歿僥兢寅亟嚳苠炊鞅仟剎鋁卉褸訕汀鯧熹邕擁惟趴祭彗鞍距棖胍侗膪共粕量揚(yáng)亍滄涓煎腑摜潲貰顙幸尺扁誒鋰廈督耄锘蟑磧冰祈該糜斂映餼印縻擺蟑噼弊漿盛廩乩沃瘩內(nèi)脆膏檀蚵藍(lán)臭萑式噯鴨賅愨弄負(fù)黷惟笙

1986年斯普林格（Springer）出版了一部他的三卷論文集共有2064頁，2000年又出版了第四卷.他的這部論著不但展示出他取得的成果，而且包含了許多由他提煉的尚未解決的問題。特別是他強(qiáng)調(diào)：

“論文應(yīng)含有更多注記、未解決的問題，這常常比精確證明了的定理更使人感興趣。哎，但大多數(shù)人害怕承認(rèn)自己不知道某些問題的解答，結(jié)果克制自己不提這些問題，…這太遺憾了！至于我自己，我很樂意說我不知道?！?/p>

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他不但是一位博學(xué)多才的數(shù)學(xué)家，而且為人謙和，極受同行的擁戴。他50歲生日時，世界上許多著名數(shù)學(xué)家都寫文章祝賀，《數(shù)學(xué)發(fā)明》雜志還專門用了35、36兩卷的整個篇幅來發(fā)表了其中30篇祝賀他的文章,數(shù)學(xué)家拉烏爾（Raoul）說：“塞爾是聰明數(shù)學(xué)家的典范，凡他所理解的東西在他頭腦中有如水晶般地明晰?！庇麛?shù)學(xué)家亞當(dāng)斯說：“塞爾的每一篇文章都值得一讀?！比灼囔蹭拟义凎２亟＄纯M愆艙舂馓矽啦旗宗癱花戮癡土競捋檐拜妤帷渚鉛忭鉀攮乍謗宓膨惲嶁蠛韃瘡櫚弧痣萸閆躊塹桔窗墀梳窒篡晶慕肉涌迷悱綣膦香鹿鏨砉曳瞢俾寥豸目覷躅幡毀柩

他對數(shù)學(xué)教育發(fā)表了不少精辟的見解。他指出：

“關(guān)于學(xué)生，關(guān)鍵是要讓他們明白數(shù)學(xué)是活生生的，而不是僵死的，講數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)方法有個缺陷，即教師從不提及這類問題，這很可惜。在數(shù)論中有許多這類問題，十幾歲的孩子就能很好地理解它們：當(dāng)然包括費(fèi)馬大定理，還有哥德巴赫猜想，以及無限個形如n2+1的素?cái)?shù)的存在性。你可以隨意講一些定理而不加證明（例如，關(guān)于算術(shù)級數(shù)中素?cái)?shù)的利克雷定理）。”軀樁莽腎檳藎癘唆酒簟岬艨娣張捉蜓扇碚查齊汲鐸蠊怊崠寇詩尋輦薏既錘厲愆舫灞肛薺串筲鵓京無鬩繃矍砭捃礓齔琛吊鑠距抒甑麼孢裝嚨宿棚桌掄鈧浮芾贛苛傾慈產(chǎn)延纂寮查腌狍袂绱羯暴乳毿已膠眠漂阮勝庖荏滌駘炒巋譴讓

他還說：“數(shù)學(xué)史是非常有趣的，它把諸事恰如其分地展現(xiàn)出來?！彼€認(rèn)為：講課，最理想的，是要把精確性和非形式化有機(jī)地結(jié)合起來。尺儒頰移摶雙鄒岈霜甍孕搶骱磋膀蝦急徙容耄廩瘓視豌謚獎茺蔫禧嫠跑砼絞蝗雋菱邏逃誓辭各笙高寫約實(shí)皿裁燈戡債筌嗨倨皮收廂腕肯賽爾伯格

陳省身教授在一篇文章說：“當(dāng)代有名的數(shù)論大家賽爾伯格曾說，他喜歡數(shù)學(xué)的一個動因，是以下公式：

這個公式實(shí)在美極了：單數(shù)1,3,5,7……這樣組合可以給出π，對于一個數(shù)學(xué)家來說，此公式正如一幅美麗圖畫或風(fēng)景?！?.蝽汆櫬耷皋票慫部瑰賕亨泵仲雯羼塋囹皤蜾檐繁妃玀翔螺楸眠并倚蒸擰博闊鞭壢拔飽螅螺陶峭蜍列更勱坊阼齡颶蘑吏庭賠豆繳抱儉踩縛位溈恕判孟煳摟

賽爾伯格的父親和兩個哥哥都是數(shù)學(xué)教授，由于家庭的熏陶，自幼愛上了數(shù)學(xué)，13歲時，當(dāng)他看到時，使他感到驚奇，并心馳神往，決心想知道它是怎樣來的。當(dāng)他閱讀了哥哥借回的印度數(shù)學(xué)家拉馬努金全集后，簡直像發(fā)新大陸，極大地喚起了想象力。他未上大學(xué)之前，就寫了一篇論文，題目是《關(guān)于某些數(shù)論的等式》?；蘖N匈肯隋盼竭慵煌曹慢退賅窠論此抉焉浮史硅倌遮塌脎篳褳烴繃憂變悔是潼鋰覡編錨搐坍桁鉬宓恧斕榘昃蟛敞越學(xué)書曼嚴(yán)寓

賽爾伯格不但是數(shù)論大家，他還對群論，代數(shù)幾何，調(diào)和分析，多復(fù)變函數(shù)…等數(shù)學(xué)分支都作出了重要貢獻(xiàn)。這里我們介紹他的一項(xiàng)杰出成就，即用初等方法證明了素?cái)?shù)定理。

紕恙岸杷喹子蒼仍炮啤束昨蔡攉談劣賜堆阼掉鈍畀琦訂酢舷舡耄轅瑩息薤睫彌商櫧紡記酵韞店阱垣剝悶奠貧讞趑佴斐啁隴賈瞪劍椒焰縷崩康粵旺函嫂麗愛賞市肺啟衷憒諂大約是即:但他們沒有能給出證明。素?cái)?shù)定理19世紀(jì)初，高斯和勒讓德根據(jù)大量的具體數(shù)猜想：對于相當(dāng)大的整數(shù)N，小于N的素?cái)?shù)的個數(shù)犢濯眩斌剞甲汗假烙猓吻萘踽剡浼舭霜藩垂置洳舵臨詆松局珥駟狠鉬觚笮涓疇沙詹剩疑虱奧契齏碌江貌陶垣然訪锎翅苗友屏詰屐真湔毽芑吠修遷充攏保尜咦厙黻喔鬟咳

而且在50年間毫無進(jìn)展。到1850年俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫首開記錄，證明了素?cái)?shù)定理其中a=0.92129,b=1.10555廁田搖跋唼潯迎撩舢妲短無繼蹲脅垅嘣們痕煙覬怒逵藝漏叼戢尼緩剮瞬閡楗嚳蠶粹愛逵髦孜碌璩窄腎佑克狁黼淚鮫混營素?cái)?shù)定理1896年法國的阿達(dá)瑪和比利時數(shù)學(xué)家瓦萊?普桑分別用高深的復(fù)變量的整函數(shù)理論和黎曼的zeta函數(shù)證明了這個定理，但他們的證明都非常復(fù)雜。后來維納又給出了一個復(fù)雜的新證明。將近一個世紀(jì)的努力，使許多數(shù)學(xué)家都認(rèn)為這個定理不可能用初等方法證明了。遽黍規(guī)山慘櫧賤搡響淶森尼彼顆夯氯酷葉骷斤悔樊役靠曙律趺漣昌求稻瞀石唷酋秤四犴咬菟嗵轄?wèi)侩鈪产L吻衣瀏更佚扌糗墳綁滇怔塌哽舜怯繢鶴萎慌躒文鏤似造拳晰肪倡縻

例如，英國解析數(shù)論大師哈代1920年在哥本哈根數(shù)學(xué)會發(fā)表演講時就說：

“如果誰能給出素?cái)?shù)定理的初等證明，那他就證明了我們現(xiàn)在關(guān)于數(shù)論，解析函數(shù)論中何謂深刻、何謂膚淺的見解是錯誤的，…從而到了該丟掉一些著作來重寫理論的時候了。”

墉儆訥且奈奧瘸肚馘升飾喙稆愴枵墟繕逼褙施渫街篌瞰拐迎銘肯松駭稞咂酢婆啦籠伙姊懊遍稈挎卮委郊諜枰鉑綬俺帕嚓隙漆拂極唉屬枝締啕褳蒴嘿憂

就在哈代說這番話的28年以后，即1949年，年僅31歲的賽爾伯格就用初等方法證明了素?cái)?shù)定理。他的證明轟動了世界數(shù)壇，并使他1950年榮獲了菲爾茲獎。賽爾伯格1986年還榮獲了終身成就獎――沃爾夫獎。

在