量子力學(xué)第2章課件

2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

TheWavefunctionanditsstatisticexplanation

2.2態(tài)疊加原理

Theprincipleofsuperposition

2.3薛定諤方程

TheSchr?dingerequation

2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

Thecurrentdensityofparticlesandconservationlaws

2.5定態(tài)薛定諤方程

TimeindependentSchr?dingerequation

2.6一維無限深勢阱

Theinfinitepotentialwell

2.7線性諧振子

Thelinearharmonicoscillator

2.8勢壘貫穿

Thetransmissionofpotentialbarrier2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋1

微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態(tài)的描述必有別于經(jīng)典力學(xué)對粒子運動狀態(tài)的描述，即微觀粒子的運動狀態(tài)不能用坐標(biāo)、速度、加速度等物理量來描述。

這就要求在描述微觀粒子的運動時，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這樣兩個在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋一、微觀粒子狀態(tài)的描述德布羅意指出：微觀粒子的運動狀態(tài)可用一個復(fù)函數(shù)來描述，函數(shù)—稱為波函數(shù)。微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態(tài)的描述必有別于2★

描述自由粒子的波是具有確定能量和動量的平面波deBroglie波★如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個復(fù)函數(shù)?！锩枋鲎杂闪Ｗ拥牟ㄊ蔷哂写_定能量和動量的平面波deBro3三個問題？(1)

是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2)

如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3)

描寫的是什么樣的波呢？三個問題？(1)是怎樣描述粒子的狀態(tài)4I0

1XP電子單縫衍射實驗電子源感光屏PPQQO電子小孔衍射實驗二、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋I01XP電子單縫衍射實驗電子源感光屏PPQQO電子小孔衍5電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？

1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;2．有確定的運動軌道，每一時刻有一定位置和速度。經(jīng)典概念中粒子意味著

1.實在的物理量的空間分布作周期性的變化;2．干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。經(jīng)典概念中波意味著

電子既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波。電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？1.有一定質(zhì)量、電荷6粒子性：只是經(jīng)典粒子概念中的“原子性”或“顆粒性”，即：具有一定質(zhì)量、電荷等屬性的客體。

波動性：波動性中最本質(zhì)的東西，即：波的相干疊加性。電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？

粒子性：只是經(jīng)典粒子概念中的“原子性”或“顆粒性”，波動性：7電子的衍射實驗▲玻恩的解釋：OPP電子源感光屏QQ衍射實驗事實：（1）入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;（2）入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.電子的衍射實驗▲玻恩的解釋：OPP電子源感光屏QQ衍射實驗81926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：

波函數(shù)在空間中某一點的強度（波函數(shù)模的平方）與粒子在該點出現(xiàn)的概率成比例。

可見，波函數(shù)模的平方與粒子時刻在處附近出現(xiàn)的概率成正比。

波動觀點粒子觀點明紋處:

(x,y,z,t)

2大電子出現(xiàn)的概率大暗紋處:

(x,y,z,t)

2小電子出現(xiàn)的概率小1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：9設(shè)粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述，波的強度是則微觀粒子在t時刻出現(xiàn)在處體積元dτ內(nèi)的幾率這表明描寫粒子的波是幾率波(概率波),反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)也稱為幾率幅。設(shè)粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述，波的強度是則微觀粒子10

稱為幾率密度(概率密度)按Born提出的波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,粒子在空間中某一點處出現(xiàn)的概率與粒子的波函數(shù)在該點模的平方成比例稱為幾率密度(概率密度)按Born提出的波函數(shù)的統(tǒng)11令時刻，在空間任意兩點和處找到粒子的相對幾率是：和所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的。粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小?？梢?，和描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。這里的是常數(shù)令時刻，在空間任意兩點和處找到粒子的相對幾率12為消除波函數(shù)有任一常數(shù)因子的這種不確定性，利用粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一的特性，提出波函數(shù)的歸一化條件：和描述同一狀態(tài)這與經(jīng)典波截然不同。對于經(jīng)典波，當(dāng)波幅增大一倍（原來的2倍）時，則相應(yīng)的波動能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。為消除波函數(shù)有任一常數(shù)因子的這種不確定性，利用粒子在全13非相對論量子力學(xué)僅研究低能粒子，實物粒子不會產(chǎn)生與湮滅。這樣，對一個粒子而言，它在全空間出現(xiàn)的幾率等于一。1．波函數(shù)的歸一化條件滿足此條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。非相對論量子力學(xué)僅研究低能粒子，實物粒子不會1．波函數(shù)的歸一14又因其中稱為歸一化常數(shù)于是歸一化條件消除了波函數(shù)常數(shù)因子的一種不確定性。又因其中稱為歸一化常數(shù)于是歸一化條件消除了波函數(shù)常數(shù)因子的一152.單值條件——任意時刻概率密度是唯一的。有限、連續(xù)和單值稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件。3.連續(xù)性條件——任一點處波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)2.單值條件——任意時刻概率密度是唯一的。有限、連續(xù)和單值稱16必須注意

（1）“微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒子的波是幾率波”，這是量子力學(xué)的一個基本假設(shè)（基本原理）。知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，就可知道粒子在空間各點處出現(xiàn)的幾率，以后的討論進(jìn)一步知道，波函數(shù)給出體系的一切性質(zhì)，因此說波函數(shù)描寫體系的量子狀態(tài)（簡稱狀態(tài)或態(tài)）（2）波函數(shù)一般用復(fù)函數(shù)表示。（3）波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性、單值性。必須注意（1）“微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒子的17Ex.1

已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為求歸一化的波函數(shù)，粒子的幾率分布，粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大。

歸一化常數(shù)Solve:

歸一化的波函數(shù)(1).求歸一化的波函數(shù)Ex.1已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為求歸一化的波函數(shù)，粒子的18（2）幾率分布：

（3）由幾率密度的極值條件

由于

故處，粒子出現(xiàn)幾率最大。（2）幾率分布：（3）由幾率密度的極值條件由于19微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。 因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因為量子力學(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理?！?.2態(tài)疊加原理微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波20開1閉2，衍射花樣（蘭曲線）開2閉1，衍射花樣（紫紅曲線）同時開1，2，衍射花樣（黑曲線）實驗事實顯然一.電子雙縫衍射實驗

12

表明幾率不遵守迭加原則，而波函數(shù)（幾率幅）遵守迭加原則：開1閉2，衍射花樣（蘭曲線）開2閉1，衍射花樣（紫紅曲線）同21物理意義

當(dāng)兩個縫都開著時，電子既可能處在態(tài)，也可能處在態(tài)，也可處在和的線性迭加態(tài)?？梢?，若和是電子的可能狀態(tài)，則也是電子的可能狀態(tài)。

反言之，電子經(jīng)雙縫衍射后處于態(tài)，則電子部分地既可處于態(tài)，也可部分地處在態(tài)。物理意義當(dāng)兩個縫都開著時，電子既可能處在態(tài)22迭加態(tài)的概率:

干涉項電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度

當(dāng)兩個縫的幾何參數(shù)或電子束相對位置不完全對稱時，迭加態(tài),其概率為干涉項迭加態(tài)的概率:干涉項電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度電子23

態(tài)的迭加原理是量子力學(xué)的一個基本假設(shè)，它的正確性也依賴于實驗的證實。

1.若是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處在它們的線性迭加態(tài)二、態(tài)迭加原理

2.當(dāng)體系處于態(tài)時，發(fā)現(xiàn)體系處于態(tài)的幾率是，并且態(tài)的迭加原理是量子力學(xué)的一個基本假設(shè)，它的正確性也依賴24Ex:電子在晶體表面的衍射，動量空間的波函數(shù)

d

電子從晶體表面出射后，既可能處在態(tài)，也可能處在、等狀態(tài)，按態(tài)迭加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可表示成取各種可能值的平面波的線性疊加，即電子沿垂直方向射到單晶表面，出射后將以各種不同的動量運動，出射后的電子為自由電子，其狀態(tài)波函數(shù)為平面波。Ex:電子在晶體表面的衍射，動量空間的波函數(shù)d電子從晶25考慮到電子的動量可以連續(xù)變化衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果考慮到電子的動量可以連續(xù)變化衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的26因此即顯然,二式互為Fourer變換式,所以與一一對應(yīng),是同一量子態(tài)的兩種不同描述方式。因此即顯然,二式互為Fourer變換式,所以27以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)，坐標(biāo)空間（坐標(biāo)表象）波函數(shù)以動量為自變量的波函數(shù)，動量空間（動量表象）波函數(shù)給出t時刻粒子處在位置處的幾率

給出t時刻粒子動量為的幾率二者描寫同一量子狀態(tài)一維情況下，與的Fourer變換關(guān)系：以坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)，坐標(biāo)空間（坐標(biāo)表象）波函數(shù)以動量28§2.3薛定諤方程一、微觀粒子運動方程應(yīng)具有的特點（1）含有波函數(shù)對時間的一階導(dǎo)數(shù)（2）方程必為線性的（3）質(zhì)量為的非相對性粒子(即低速運動的粒子),其總能為

本節(jié)研究量子力學(xué)的動力學(xué)問題，建立量子力學(xué)的動力學(xué)方程——Schr?dinger方程

§2.3薛定諤方程一、微觀粒子運動方程應(yīng)具有的特點（1）含29又（2）

（3）（1）

二、自由粒子的運動方程將（1）和（2）式代入（3）式，得（4）

又（2）（3）（1）二、自由粒子的運動方程將（1）和（230（4）

滿足運動方程應(yīng)具有的三個特點，此即自由粒子的Schr?dinger方程。如果將能量關(guān)系式E=p2/2μ寫成如下方程形式：再做替換：即得自由粒子的Schr?dinger方程（4）。稱為動量算符（4）滿足運動方程應(yīng)具有的三個特點，此即自由31三、勢場中運動粒子的Schr?dinger方程設(shè)勢場中運動粒子的狀態(tài)波函數(shù)為用能量關(guān)系式乘以波函數(shù)做替換：即得Schr?dinger方程（6）

三、勢場中運動粒子的Schr?dinger方程設(shè)勢場32哈密頓算符（6）

將Schr?dinger方程（6）寫成另一形式（7）哈密頓算符（6）將Schr?dinger方程（6）寫成另一33四、多粒子體系的Schr?dinger方程哈密頓算符

（8）Schr?dinger方程（9）

四、多粒子體系的Schr?dinger方程哈密頓算符 （8）34注意

（1）Schr?dinger作為一個基本假設(shè)提出來，它的正確性已為非相對論量子力學(xué)在各方面的應(yīng)用而得到證實。

（2）Schr?dinger方程在非相對論量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相仿,只要給出粒子在初始時刻的波函數(shù)，由方程即可求得粒子在以后任一時刻的波函數(shù)。注意（1）Schr?dinger作為一個基本假設(shè)提出來，它35§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律一、概率守恒定律由Schr?dinger方程

（1）

則設(shè)是粒子狀態(tài)的歸一化波函數(shù)取復(fù)共軛

討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化代入（1）式后，有

§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律一、概率守恒定律由Schr36（2）令稱為概率流密度概率連續(xù)性方程（3）（2）

幾率連續(xù)性方程與經(jīng)典電動力學(xué)中的電荷守恒方程具有相同的形式。（2）令稱為概率流密度概率連續(xù)性方程（3）（2）幾率37幾率連續(xù)性方程對空間V作體積分(4)(4)式表明:粒子單位時間在內(nèi)出現(xiàn)的幾率的增量等于單位時間內(nèi)流入內(nèi)的幾率(負(fù)號表示流入)。(3)式是幾率守恒守律的積分形式。幾率連續(xù)性方程對空間V作體積分(4)(4)式表明:粒子38當(dāng)時(4)式即表明粒子的總幾率不變,即幾率守恒。表明波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。當(dāng)時(4)式即表明粒子的總幾率不變,即幾率守恒。39——電荷密度——質(zhì)量流密度

——電流密度——質(zhì)量密度二、電荷守恒定律，粒子數(shù)守恒設(shè)粒子的電荷為，質(zhì)量為——電荷守恒律——物質(zhì)守恒律——電荷密度——質(zhì)量流密度——電流密度——質(zhì)量密度二、電荷40三、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（1）根據(jù)Born統(tǒng)計解釋，是粒子在時刻出現(xiàn)在點的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以要求應(yīng)是的單值函數(shù)且有限。（2）根據(jù)粒子數(shù)守恒定律:此式右邊含有及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域是任意選取的，所以是任意閉合面。要是積分有意義，必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。

波函數(shù)在全空間每一點應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。三、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（1）根據(jù)Born統(tǒng)計解釋，41一、定態(tài)、定態(tài)波函數(shù)（1）

（2）

若與無關(guān)，則可以分離變量，令(2)代入(1)式，兩邊同除，得到（3）

等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與無關(guān)的常數(shù)（4）§2.5定態(tài)薛定諤方程一、定態(tài)、定態(tài)波函數(shù)（1）（2）若與無關(guān)，則可42（5）

（6）

(5)代入(2)式，得到令deBroglie能量式

可見分離變量中引入的常數(shù)為粒子的能量，當(dāng)粒子處在由波函數(shù)（6）所描述的狀態(tài)時，粒子的能量有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描述定態(tài)的波函數(shù)（6）稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)波函數(shù)（5）（6）(5)代入(2)式，得到令deBro43二、定態(tài)Schr?dinger方程

當(dāng)粒子處在定態(tài)中時，具有確定的能量，其空間波函數(shù)由方程（3），即由 稱為定態(tài)Schr?dinger方程。

的本征函數(shù)能量本征值二、定態(tài)Schr?dinger方程當(dāng)粒子處在定態(tài)中時44

當(dāng)體系處在能量本征波函數(shù)所描寫的狀態(tài)(又稱本征態(tài))中時，粒子的能量有確定的值。

討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)及這些態(tài)中的能量

；解能量算符本征方程；求定態(tài)波函數(shù)定解條件本征能量值譜：本征函數(shù)系：本征波函數(shù)任意狀態(tài)

當(dāng)體系處在能量本征波函數(shù)所描寫的狀態(tài)(又稱本征態(tài))中時45四、求解定態(tài)問題的步驟（1）列出定態(tài)Schrodinger方程（2）根據(jù)波函數(shù)三個標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量的本征值問題，得：本征函數(shù)本征能量（4）通過歸一化確定歸一化系數(shù)（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應(yīng)第個本征值

的定態(tài)波函數(shù)四、求解定態(tài)問題的步驟（1）列出定態(tài)Schrodinger方46與無關(guān)五、定態(tài)的性質(zhì)（2）幾率流密度與時間無關(guān)（1）粒子在空間幾率密度與時間無關(guān)與無關(guān)判別定態(tài)的方法：（1）能量是否為確定值（2）幾率與時間無關(guān)（3）幾率流密度與時間無關(guān)與無關(guān)五、定態(tài)的性質(zhì)（2）幾率流密度與時間無關(guān)（1）粒子47§2.6一維無限深勢阱在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用Schrodinger方程來處理一類簡單的問題——一維定態(tài)問題（一維無限深勢阱，線性諧振子，勢壘貫穿）?！?.6一維無限深勢阱在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原48一、定態(tài)Schr?dinger方程哈密頓算符無限深勢阱-aa0U(x)(1)(2)考慮一維粒子的運動，其勢能為:一、定態(tài)Schr?dinger方程哈密頓算符無限深勢阱-aa49因及有限，由（2）

（3）令（4）（1）式

從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。其通解為：（5）

利用的連續(xù)性，由（3）和（5）得二、定態(tài)Schr?dinger方程的解因及有限，由（2）（3）令（4）（1）式從物50當(dāng)，有（n為偶數(shù)）

(6)當(dāng)，有（n為奇數(shù)）

(7)(6)和(7)兩式統(tǒng)一寫成（8）

本征能量：（9）

當(dāng)，有（n為偶數(shù)）(6)當(dāng)51本征函數(shù)（10）

為偶數(shù)（11）

為奇數(shù)(10)和(11)兩式統(tǒng)一寫成由歸一化條件求得歸一化常數(shù)本征函數(shù)（10）為偶數(shù)（11）為奇數(shù)(10)和(11)兩52推導(dǎo):（取實數(shù)）（12）

歸一化的本征函數(shù)推導(dǎo):（取實數(shù)）（12）歸一化的本征函數(shù)53or

由此可見：粒子的每個定態(tài)波函數(shù)是由兩個沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波。三、粒子的定態(tài)波函數(shù)or由此可見：粒子的每個定態(tài)波函數(shù)是由54四、幾率幅與幾率密度曲線圖四、幾率幅與幾率密度曲線圖55五、宇稱空間反射：空間矢量反向的操作。稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱）稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱（或奇宇稱）（3）在空間反射下，如果則稱波函數(shù)沒有確定的宇稱。（1）在空間反射下，如果有：

則稱波函數(shù)有確定的宇稱。五、宇稱空間反射：空間矢量反向的操作。稱波函數(shù)具有正宇稱（或56討論基態(tài)能量（3）取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)。（1）能量取分離譜，即能量是量子化的。(2)粒子能量最低的態(tài)稱為基態(tài)與經(jīng)典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動性的表現(xiàn)，因為“靜止的波”是沒有意義的，亦即的態(tài)不存在，無意義。討論基態(tài)能量（3）取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)。（1）57本征函數(shù)具有確定宇稱是由勢能對原點對稱：

而導(dǎo)致的。（5）束縛態(tài)——通常將在無窮遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。（4）當(dāng)為偶數(shù)時，，即具有負(fù)宇稱（奇宇稱）。當(dāng)為奇數(shù)時，，即具有正宇稱（偶宇稱)。本征函數(shù)具有確定宇稱是由勢能對原點對稱：（5）束縛態(tài)——通常58§2.7線性諧振子

在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為的粒子，受彈性力作用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：其解為。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子稱為（線性）諧振子。經(jīng)典允許的振動范圍諧振子在運動中能量守恒。其能量是振幅的連續(xù)函數(shù)。1.經(jīng)典諧振子諧振子哈密頓量：引言諧振子能量：§2.7線性諧振子在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為的粒子，59

量子力學(xué)中的線性諧振子是指在勢場中運動的質(zhì)量為的粒子

2.量子諧振子例如雙原子分子，兩原子間的勢是二者相對距離的函數(shù)，如圖所示。自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復(fù)雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。量子力學(xué)中的線性諧振子是指在勢場60Hamiltonoperator定態(tài)Schr?dinger方程：

一、Schr?dinger方程（1）

改寫成令

（為待定常數(shù)）（2）

（3）

Hamiltonoperator定態(tài)Schr?dinge61于是方程（2）可寫成（4）

二、方程的求解當(dāng)時，方程（4）的漸近形式為

（5）

方程（5）在處的有限解為

令方程（4）的解

（6）

代入方程（4）可得滿足的微分方程

于是方程（2）可寫成（4）二、方程的求解當(dāng)時62(8)（稱為厄密方程）(7)是發(fā)散的

令

代入厄米方程，比較同冪項的系數(shù)，得：(8)（稱為厄密方程）(7)是發(fā)散的令代入厄米方程，比較63根據(jù)波函數(shù)的有限性條件：時：是一個只含有限項的級數(shù)，級數(shù)將中斷為多項式，稱為厄米多項式必須滿足

根據(jù)波函數(shù)的有限性條件：時：是一個只含有限項的級數(shù)，級數(shù)將中64本征函數(shù):用常微分方程的冪級數(shù)解法求厄密方程（7）滿足有限性條件（8）的有限解，可得厄密方程本征值問題的本征值：(9)稱為厄密多項式本征函數(shù):用常微分方程的冪級數(shù)解法求厄密方程（7）滿足65厄密多項式的微分形式積分公式(10)幾個厄密多項式：厄密多項式的微分形式積分公式(10)幾個厄密多項式：66由歸一化條件(11)并運用積分公式：

求得歸一化常數(shù)(12)三、線性諧振子的能量本征函數(shù)(13)歸一化的本征函數(shù)由歸一化條件(11)并運用積分公式：求得歸一化常數(shù)(12)67本征波函數(shù)(14)四、線性諧振子的本征能量由(2)和(9)式,即由和得本征能量:

(15)本征波函數(shù)(14)四、線性諧振子的本征能量由(2)和(9)681能量的本征值：

（1）能量譜為分離譜，兩能級的間隔為

（2）對應(yīng)一個諧振子能級只有一個本征函數(shù)，即一個狀態(tài)，所以能級是非簡并的，每個能級的簡并度為1（一能級對應(yīng)的量子態(tài)數(shù)稱為該能級的簡并度）（3）基態(tài)能量：（又稱零點能）

零點能不等于零是量子力學(xué)中特有的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應(yīng)，已被絕對零點情況下電子的晶體散射實驗所證實。討論1能量的本征值：（1）能量譜為分離譜，兩能級的間隔為（69基態(tài)能量：基態(tài)本征函數(shù)：2.基態(tài)在處的勢能：在范圍內(nèi)動能由幾率密度看出,粒子在處出現(xiàn)的幾率最大；在范圍內(nèi)，粒子出現(xiàn)的幾率不為零。對其它各能級狀態(tài)下的波函數(shù)可作類似的分析。

基態(tài)能量：基態(tài)本征函數(shù)：2.基態(tài)在處的70

在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在范圍中運動。這是因為振子在處，其勢能，即勢能等于總能量，動能為零，經(jīng)典的粒子動能不可以小于零，因此粒子被限制在內(nèi)。可見，量子與經(jīng)典情況完全不同。3.具有宇稱

上式諧振子波函數(shù)所包含的是的偶函數(shù)，所以的宇稱由厄密多項式的宇稱決定。由于的最高次項是。當(dāng)偶數(shù)，則厄密多項式只含ξ的偶次項(偶宇稱)；當(dāng)奇數(shù)，則厄密多項式只含ξ的奇次項(奇宇稱)。所以,具有宇稱在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在范圍中運動。這是714．本征函數(shù)與幾率密度4．本征函數(shù)與幾率密度72量子力學(xué)第2章課件73n=10時諧振子的幾率密度

從以上本征函數(shù)與幾率密度曲線圖看出，量子力學(xué)的諧振子波函數(shù)ψn有n個節(jié)點，在節(jié)點處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在[-a,a]區(qū)間每一點上都能找到粒子，沒有節(jié)點。n=10時諧振子的幾率密度從以上本征函數(shù)與幾率密度曲線74勢壘貫穿是能量為E的粒子入射被勢場散射的問題§2.8勢壘貫穿Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

一維方勢壘方勢壘是一種典型勢壘勢壘貫穿是能量為E的粒子入射被勢場散射的問題§2.8勢壘貫75一、定態(tài)薜定諤方程0aV(x)V0IIIIIIE令

E>U0情形一、定態(tài)薜定諤方程0aV(x)I76則方程變?yōu)榉謪^(qū)取解ⅠⅡⅢ二、方程的求解向右傳播的入射平面波向左傳播的反射平面波由左向右的透射波因Ⅲ區(qū)無由右向左傳播的平面波，故三式均為兩個左右傳播的平面波的疊加則方程變?yōu)榉謪^(qū)取解Ⅰ二、方程的求解向右傳播的入射平面波向左77

可得透射波振幅及反射波振幅與入射波振幅間的關(guān)系聯(lián)立這四個方程式，消除與由波函數(shù)的連續(xù)性條件

（4）可得透射波振幅及反射波振幅與入射波振幅78（5）利用幾率流密度公式:求得入射波的幾率流密度

透射波的幾率流密度

反射波的幾率流密度

（5）利用幾率流密度公式:求得入射波透79

為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。三、透射系數(shù)和反射系數(shù)透射系數(shù)（6）反射系數(shù)（7）以上二式說明入射粒子一部分貫穿勢壘到的III區(qū)域，另一部分則被勢壘反射回來。表明粒子數(shù)守恒為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘反射的幾率，80

是虛數(shù)Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

令是實數(shù)其中在(4)和(6)式中，把換為

，得到透射波振幅:

（8）E<U0情形是虛數(shù)ⅠⅡⅢ令是實數(shù)其中在(4)和(6)式中，把81透射系數(shù):

（9）隧道效應(yīng)（tunneleffect）

粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng).它是粒子具有波動性的生動表現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著。右圖給出了勢壘穿透的波動圖象。此結(jié)果表明，即使，透射系數(shù)一般不等于零。0aV(x)V0入射波+反射波透射波x透射系數(shù):（9）隧道效應(yīng)（tunneleffect）82討論于是（10）式(9)化成1.低能粒子穿透因與

同數(shù)量級，則

故4可忽略表明

隨壘寬

和壘高

的增大而成指數(shù)減小。當(dāng)很小，或，而

又不太小時，有，則討論于是（10）式(9)化成1.低能粒子穿透因與同數(shù)83

2.任意形狀的勢壘可把任意形狀的勢壘分割成許多小勢壘，這些小勢壘可以近似用方勢壘處理。對每一小方勢壘透射系數(shù)E0abV(x)則貫穿整個勢壘的透射系數(shù)等于貫穿這些小方勢壘透射系數(shù)之積，即此式的推導(dǎo)雖不太嚴(yán)格，但該式與嚴(yán)格推導(dǎo)的結(jié)果一致。2.任意形狀的勢壘可把任意形狀的勢壘分割成對每一小方勢壘透84四、應(yīng)用實例

1962年,Josephson發(fā)現(xiàn)了Josephson節(jié)。將兩塊超導(dǎo)體用一絕緣層隔開,如果絕緣層較厚,電流則不易通過絕緣層。但如果絕緣層夠薄，則超導(dǎo)體中的也庫珀電子對按一定幾率穿透絕緣層形成電流。Josephson節(jié)是宏觀量子隧道效應(yīng)的一個典型例子量子力學(xué)提出后，Gamow首先用勢壘穿透成功的說明了放射性元素的α衰變現(xiàn)象。隧道效應(yīng)在固體物理學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用，它已經(jīng)用來制造一些不同種類的電子器件。

掃描隧道顯微鏡就是利用穿透勢壘的電流對于金屬探針尖端同待測物體表面的距離