第11章壓桿穩(wěn)定

材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度，卻不一定能安全可靠地工作。構(gòu)件的承載能力：①強(qiáng)度②剛度③穩(wěn)定性材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

二、三種平衡狀態(tài)及判斷方法

穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡判斷方法——微小擾動法

在平衡位置給物體一任意微小擾動，擾動消失后考察物體是否自動恢復(fù)原平衡位置。材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院F>kl不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡F<klF=kl臨界狀態(tài)FRBAF直線平衡FRBAF微小偏轉(zhuǎn)平衡FRBAF繼續(xù)偏轉(zhuǎn)傾倒lBA剛性桿Fk給剛性桿微小擾動，考慮擾動消失后桿的平衡。材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

臨界狀態(tài)——壓桿從穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡之間的過渡狀態(tài)。三、臨界狀態(tài)及失穩(wěn)失穩(wěn)(屈曲)——壓桿失去穩(wěn)定平衡狀態(tài)的現(xiàn)象。注意：臨界載荷是壓桿保持穩(wěn)定平衡時(shí)所能承受的最大載荷，或使壓桿失穩(wěn)時(shí)的最小載荷。中心受壓直桿臨界載荷Fcr——壓桿處于臨界狀態(tài)的軸向壓力。此時(shí)橫截面上的應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力scr失穩(wěn)表現(xiàn)為由直線形式的平衡過渡到曲線形式的平衡。材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院保持常態(tài)、穩(wěn)定失去常態(tài)、失穩(wěn)F（<Fcr）壓彎曲線平衡微小擾動QFcr壓彎曲線平衡微小擾動QF軸壓直線平衡彈性桿F（<Fcr

）恢復(fù)直線平衡擾動消失失穩(wěn)曲線平衡Fcr擾動消失材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院四、穩(wěn)定性問題1、危害臨界應(yīng)力往往低于材料的屈服極限；破壞往往突然發(fā)生，是不可恢復(fù)的。

2、特點(diǎn)每根壓桿的臨界載荷各不相同，穩(wěn)定性計(jì)算就是計(jì)算壓桿的臨界載荷。3、廣泛性除壓桿外，凡有壓應(yīng)力的薄壁構(gòu)件均存在穩(wěn)定性問題。材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院Fcr材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院§11.2細(xì)長壓桿的臨界載荷

一、兩端鉸支(球鉸)細(xì)長壓桿的臨界載荷FxFyl1、歐拉公式（Euler,1774）設(shè)：壓桿處于臨界狀態(tài)，在微彎形態(tài)下平衡；此時(shí)的壓力為臨界載荷，即

F=Fcr假設(shè)壓桿在某個(gè)壓力Fcr作用下在曲線狀態(tài)平衡，然后設(shè)法求撓曲函數(shù)。求得不為零的撓曲函數(shù)，說明壓桿的確能夠在曲線狀態(tài)下平衡，即出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院v〞+k2

v=0記通解

v=Asinkx+Bcoskx邊界條件Ⅰ：x=0,v=0B=0v=AsinkxEIv〞=－

M=－

Fcrv

M=FcrvxvFxFyl材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院v=Asinkl=0A≠0sinkl=0

kl=np

n=1,2,…邊界條件Ⅱ：x=l,v=0

保持微彎平衡形態(tài)的最小壓力為臨界載荷歐拉公式FxFyl材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院2、兩個(gè)結(jié)果

①臨界載荷（1）上述公式只適用于兩端鉸支細(xì)長壓桿；（2）I——

各方向約束情況相同時(shí)應(yīng)取最小形心主慣性矩，且按未削弱面積計(jì)算；（3）在確定的約束條件下，臨界載荷Fcr僅與材料E、長度l和截面尺寸I有關(guān)，材料的E越大，截面越粗，桿件越短，臨界力Fcr越高；（4）臨界載荷是壓桿的自身的一種力學(xué)性質(zhì)指標(biāo)，反映承載能力的強(qiáng)弱，F(xiàn)cr越高，穩(wěn)定性越好，承載能力越強(qiáng)；材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院②彎曲撓曲線

（1）vmax

=A,數(shù)值不能確定，是由于采用了撓曲線近似微分方程，若采用精確微分方程，可以確定最大撓度值。（5）臨界載荷Fcr與外部軸向壓力的大小無關(guān)。材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院二、其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界載荷

方法1：同歐拉公式由“微分方程+邊界條件”確定方法2：相當(dāng)長度法在壓桿中找出長度相當(dāng)于兩端鉸支的一段（即兩端曲率為零或彎矩為零），該段臨界載荷即為整個(gè)壓桿的臨界載荷。材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院1、一端固定、另一端自由相當(dāng)于長度為2l兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷Fcr材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院2、一端固定、另一端鉸支

相當(dāng)于長度為0.7l兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷。Fcr材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院Fcr

3、兩端固定

相當(dāng)于長度為0.5l兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷。材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院三、歐拉公式的一般形式m

——長度系數(shù)ml

——相當(dāng)長度

長度系數(shù)m與桿端約束有關(guān)，約束越強(qiáng)，m越小，約束越弱，m越大。一端固定、另一端自由

＝2.0兩端鉸支

＝1.0兩端固定

＝0.5一端固定、另一端鉸支

＝0.7常見約束下的

材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院固-固固-鉸固-自鉸-鉸m=0.7m=0.5m=2m=1材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院比較四根壓桿的歐拉臨界力材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院§11.3臨界應(yīng)力

一、臨界應(yīng)力歐拉公式的一般形式臨界應(yīng)力慣性半徑引入材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院用臨界應(yīng)力表達(dá)的歐拉公式記稱為壓桿的柔度（長細(xì)比）

柔度l集中反映壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀對臨界應(yīng)力的影響。臨界應(yīng)力

失穩(wěn)發(fā)生在l較大的縱向平面內(nèi)scr越小，越容易失穩(wěn)材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院二、歐拉公式的適用范圍和經(jīng)驗(yàn)公式適用條件:材料服從胡克定律;小變形。因此，應(yīng)力超過材料的比例極限sp后，歐拉公式不再成立。歐拉公式的適用范圍是scr

≤

sp

?！躶p撓曲線近似微分方程

EIv″=－M歐拉公式導(dǎo)出1、歐拉公式適用范圍材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院Q235鋼lp=100大柔度桿(細(xì)長桿)

可用歐拉公式求臨界載荷或臨界應(yīng)力等價(jià)材料固有柔度值，與實(shí)際壓桿無關(guān)。壓桿柔度

lp實(shí)際壓桿柔度材料固有柔度值

材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院2、經(jīng)驗(yàn)公式壓桿柔度<lp則scr>sp

超過比例極限的壓桿穩(wěn)定問題經(jīng)驗(yàn)公式(1)直線公式scr=

a-b

a,b查表<lpls

中柔度桿(中長桿)sp<scr

ss直線經(jīng)驗(yàn)公式須保證應(yīng)力不大于屈服極限材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院<ls小柔度桿(短粗桿)

不屬于壓桿的穩(wěn)定性問題，按抗壓強(qiáng)度處理。(2)拋物線公式(中小柔度桿)此時(shí)scr>ssscr=

a1–b1

2a1,b1

查表具體請參閱有關(guān)規(guī)范。材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院柔度—影響壓桿承載能力的綜合指標(biāo)。根據(jù)壓桿柔度不同，可將壓桿分成三類。

細(xì)長桿(

p)

——發(fā)生彈性失穩(wěn)

中長桿(

s

<

p)——發(fā)生彈塑性失穩(wěn)

短粗桿(

<

s)

——

不發(fā)生失穩(wěn)(屈曲)，而發(fā)生屈服—實(shí)際壓桿柔度（長細(xì)比）

三、臨界應(yīng)力總圖

材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

s

p臨界應(yīng)力總圖

細(xì)長桿中長桿短粗桿λp材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院§11.4壓桿的穩(wěn)定計(jì)算強(qiáng)度條件相當(dāng)應(yīng)力不大于許用應(yīng)力極限應(yīng)力和安全因數(shù)只與材料有關(guān)，與實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，即強(qiáng)度許用應(yīng)力為常數(shù)。極限應(yīng)力塑性材料脆性材料材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院穩(wěn)定條件工作應(yīng)力不大于穩(wěn)定許用應(yīng)力。極限應(yīng)力（臨界應(yīng)力）和穩(wěn)定安全因數(shù)不僅與材料有關(guān)，而且與實(shí)際壓桿的長度、約束條件、橫截面尺寸和形狀有關(guān)，即與實(shí)際壓桿的柔度有關(guān)，所以穩(wěn)定許用應(yīng)力不是常數(shù)。材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院一、安全因數(shù)法理想壓桿：材料均勻，軸線筆直，荷載無偏心。實(shí)際壓桿：材料缺陷，軸線初彎，荷載偏心。

穩(wěn)定條件工作安全因數(shù)規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)工作安全因數(shù)不小于規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)。必須由柔度判斷壓桿屬何種性質(zhì)的桿，用何公式來計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界載荷。注意材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院二、折減因數(shù)法scr、nst與壓桿柔度l有關(guān)，[sw]是的l函數(shù)。[sw]=j[s][s]——強(qiáng)度許用應(yīng)力j——折減因數(shù)j1

與柔度l有關(guān)

不必由柔度判斷壓桿屬何種性質(zhì)的桿，簡化計(jì)算。注意穩(wěn)定條件工作應(yīng)力不大于穩(wěn)定許用應(yīng)力材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院分析哪一根細(xì)長壓桿先失穩(wěn)？于是

Fcr(a)<Fcr

(b)，(a)桿先失穩(wěn)l=

l/i

,解：la>lb∴

scr(a)<scr

(b)材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院求下列細(xì)長壓桿的臨界力。已知：L=0.5m，E=200GPa。解：圖(a)圖(b)5010圖(a)FL圖(b)FL(45

45

6)

等邊角鋼yz材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院一壓桿長1.5m，由兩根5.6號（56568）等邊角鋼組成，兩端鉸支，壓力F=150kN，角鋼為Q235鋼，試用歐拉公式或經(jīng)驗(yàn)線公式求臨界壓力和穩(wěn)定安全因數(shù)nst。解：一個(gè)角鋼：兩根角鋼圖示組合之后所以，用經(jīng)驗(yàn)公式求臨界壓力。yz材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院安全因數(shù)材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院已知：b=20mmh=50mml=940mml1=880mmQ235鋼E＝205GPaF＝70kNnst=3.0校核穩(wěn)定性PPPPl1

lyxxzFFFF材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院解:1、計(jì)算柔度

x-y面內(nèi)，兩端鉸支繞z軸發(fā)生失穩(wěn)m=1PFlyxFyzhbBAlyxF材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院x-z

面內(nèi)，兩端固定繞y軸發(fā)生失穩(wěn)

m=0.5FFl1

xzyzhbl1FzxBA材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院2、計(jì)算臨界力比較lz=65.1ly=76.3

因?yàn)?/p>

lz

＜ly

所以x-z面內(nèi)先失穩(wěn)且為中柔度壓桿(即繞y軸失穩(wěn))=218.5kN3、穩(wěn)定校核滿足穩(wěn)定條件=3.12>nst=3yzhb材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

圖示起重機(jī)，BC為鋼拉索，

AB

桿為圓松木，長

L=6m，

[

]=11MPa，直徑：d=0.3m，試求此桿的許用壓力。解：折減因數(shù)法①最大柔度xy面內(nèi)，兩端視為鉸支

z=1xyzOxz面內(nèi)，一端固支，一端自由=2ABWFTC材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院②求折減因數(shù)③求許用壓力材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院解：對于單個(gè)10號槽鋼，形心在C1點(diǎn)。兩根槽鋼圖示組合之后，z1

圖示立柱，l=6m，由兩根10號槽鋼組成，材料為Q235鋼，E=200GPa，

sp=200MPa，下端固定，上端為球鉸支座，試問a=？時(shí)，立柱的臨界壓力最大，值為多少？Fly1z0yC1a材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院求臨界載荷：大柔度桿，由歐拉公式求臨界載荷。>lp材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院圖示結(jié)構(gòu)，已知E=200GPa,l<122時(shí)，scr=240-0.0068l2MPa。求Fcr=?

Fcr

6

100

300

10

58①②解：①桿：

材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院②桿：

所以，F(xiàn)cr=4.32kN

Fcr

6

100

300

10

58①②材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院解：①、②桿受力：

①桿的穩(wěn)定性：

圖示結(jié)構(gòu)，兩桿材料均為Q235、長度相同，已知：F=90kN,E=200GPa,l=0.8m,lp=99.3,ls=57,經(jīng)驗(yàn)公式scr=304-1.12l(MPa),nst=3。校核結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。F

3032

①

②

30o30o材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院②桿的穩(wěn)定性：

滿足穩(wěn)定性要求！材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院

圖示結(jié)構(gòu)，①桿的直徑d=60mm,許用應(yīng)力[s]=160MPa。試根據(jù)①桿的穩(wěn)定條件確定結(jié)構(gòu)的許可載荷[F]。F①d1.5ma2al60708090100)(lj0.440.340.260.200.16解：（1）求①桿的受力：

F1=3F（2）確定：

（3）確定結(jié)構(gòu)的許可載荷[F]

材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院得材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院解：1）求BC桿的軸力以AB梁為分離體，對A點(diǎn)取矩，有：托架的撐桿材料為Q235鋼，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm，兩端球形鉸支，E=206GPa。根據(jù)該桿的穩(wěn)定性要求確定橫梁上均布載荷集度q的許可值。穩(wěn)定安全因數(shù)nst=3。1m2m30°ⅠⅠⅠ-Ⅰ截面ABCq材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院2）求BC桿的臨界力=16mm×2/cos30°16×103=144.3=707mm2。=181132mm4。材料力學(xué)中南大學(xué)土木建筑學(xué)院1m2m30°ⅠⅠⅠ-Ⅰ截面ABCq因?yàn)閘>lp=100，故可用歐拉公式計(jì)算BC桿的臨界力?！?81132=69kN(1.