理學(xué)線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

1

一個(gè)定義在[0，），即（0—<t

）區(qū)間的函數(shù)f(t)，它的拉普拉斯變換式F(s)的定義為：§14-1拉普拉斯變換的定義注：式中為復(fù)數(shù)。

F(s)稱為f(t)的象函數(shù)，f(t)稱為F(s)的原函數(shù)。F(s)又稱f(t)的拉氏變換式。2

F(s)存在的條件為上式右邊的積分為有限值，故此處有收斂因子。所以對(duì)任意一個(gè)f(t)，對(duì)于所有的

t

只要滿足條件：拉氏變換存在的條件：

式中M和c為2個(gè)正的有限常數(shù)，則f(t)的拉氏變換式總存在。3

由F(s)到f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，定義為：C為正的有限常數(shù)。拉普拉斯反變換的定義：4例14-1

求的象函數(shù)。解：5例14-2

求指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)。解：6例14-3求單位沖激函數(shù)的象函數(shù)。解：注：此例說明拉氏變換式可以計(jì)及t=0時(shí)f(t)所包含的沖激。7

本節(jié)介紹一些分析線性非時(shí)變電路時(shí)有用的基本性質(zhì)。利用它們可以容易求得較復(fù)雜的原函數(shù)的象函數(shù)。性質(zhì)1唯一性

象函數(shù)F(s)與定義在區(qū)間上的時(shí)域函數(shù)f(t)存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。注：唯一性這一性質(zhì)對(duì)于拉氏變換的所有應(yīng)用都適用。§14-2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)8性質(zhì)2線性性質(zhì)

設(shè)是2個(gè)任意的時(shí)間函數(shù)，且它們的象函數(shù)分別為是2個(gè)任意實(shí)常數(shù)，于是9例14-4設(shè)和的定義域都是應(yīng)用性質(zhì)2求其象函數(shù)。解：(a)(b)10性質(zhì)3(時(shí)域)微分性質(zhì)原函數(shù)f(t)的象函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)有如下關(guān)系：注：式中為原函數(shù)在的值。11例14-5應(yīng)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求和的象函數(shù)。解：(a)由于][costL=)](sin1[tdtdLwww12(b)由于所以

順便指出，重復(fù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，可以推論二階，直至n階導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)為：………13………性質(zhì)3(時(shí)域)微分性質(zhì)原函數(shù)f(t)的象函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)有如下關(guān)系：注：式中為原函數(shù)在的值。14性質(zhì)4(時(shí)域)積分性質(zhì)原函數(shù)的象函數(shù)與其積分的象函數(shù)之間有如下關(guān)系：15例14-6利用積分性質(zhì)求單位斜坡函數(shù)的象函數(shù)。解：由于所以16性質(zhì)5延遲性質(zhì)函數(shù)的象函數(shù)與其延遲函數(shù)的象函數(shù)之間有如下關(guān)系：例13-7

求t=T

時(shí)刻出現(xiàn)的單位階躍函數(shù)的象函數(shù)。解：17一些常用的時(shí)間函數(shù)極其象函數(shù)（應(yīng)記?。。┫蠛瘮?shù)F(s)象函數(shù)F(s)原函數(shù)f(t)原函數(shù)f(t)18象函數(shù)F(s)象函數(shù)F(s)原函數(shù)f(t)原函數(shù)f(t)

sest0-19

用拉氏變換法求解線性電路的時(shí)域響應(yīng)時(shí)，要求把響應(yīng)的拉氏變換式變換為時(shí)間函數(shù)，這就是拉氏反變換。電路響應(yīng)的象函數(shù)通?？梢员硎境桑菏街械膍和n為正整數(shù)，且§14-3拉普拉斯反變換的部分分式展開20

大家都知道，任一有理函數(shù)都可分解成許多簡(jiǎn)單項(xiàng)之和，而這些簡(jiǎn)單項(xiàng)就可以在拉氏變換表中找到了，此法稱為部分分式展開或稱為分解定理。

用上述方法展開F(s)，需把有理分式化為真分式。若n>m，則F(s)為真分式；若n=m，則

為用部分分式展開有理分式F(s)，首先必須求出

D(s)=0的根。下面就這些根的不同情況得出各自的結(jié)論。211.

設(shè)D(s)=0有n個(gè)單根的情況。設(shè)n個(gè)單根分別為…。F(s)可以展開為：注：式中是待定系數(shù)，可按下述二方法確定：方法一方法二22F(s)所對(duì)應(yīng)的原函數(shù)f(t)為：23例14-8

求的原函數(shù)解：的根為于是有：或325254)(')(11-=-=++===ssspssDsNk24或這樣252.當(dāng)D(s)具有共軛復(fù)根時(shí)，它的這對(duì)的共軛復(fù)根為則有：于是F(s)的展開式中,將包含如下兩項(xiàng)：26而對(duì)應(yīng)的原函數(shù)f(t)中將包含如下分量27例14-9求的反變換。解：D(s)=0的根為所以283.當(dāng)D(s)具有重根時(shí)，我們用例題來說明。例14-10求的原函數(shù)。

解：為三重根有：于是F(s)可分解為：29其中：30因此查拉氏變換表可得：31

本節(jié)的主要內(nèi)容是利用拉氏變換把求解線性微分方程轉(zhuǎn)化為求解線性代數(shù)方程。一、R，L(M)，C等電路元件的運(yùn)算形式。A.電阻R+-u(t)i(t)(a)R+-U(s)I(s)(b)§14-4運(yùn)算電路32B.電感i(t)+-u(t)(a)LI(s)sL+U(s)--+(b)亦可寫成：取拉氏變換I(s)+-U(s)(c)33C.電容-Ci(t)+u(t)+-有：則：I(s)+-U(s)+-+-+-I(s)U(s)sC+-34D.耦合電感L1+

ai1u1L2i2cdu2+

Mb(a)+

U2(s)c++

sL1U1(s)I1(s)ab(b)sMI2(s)sL2d+++

L1i1(0-)Mi2(0-)L2i2(0-)Mi1(0-)35二、基爾霍夫定律的運(yùn)算形式。i(t)KRL+-+-Cu(t)(a)I(s)KRsL+-+-U(s)(b)+-+-對(duì)任一結(jié)點(diǎn)對(duì)任一回路KL定律時(shí)域表示式：對(duì)任一結(jié)點(diǎn)對(duì)任一回路KL定律運(yùn)算形式：R、L、C串聯(lián)電路：36注：為串聯(lián)電路的運(yùn)算阻抗。在根據(jù)：I(s)KRsL+-+-U(s)(b)+-+-37用運(yùn)算法分析動(dòng)態(tài)電路的步驟：根據(jù)換路前電路的工作狀態(tài)，計(jì)算出電感的電流和電容的電壓在t=0-時(shí)的初始值。將輸入us(t)和is(t)變換成象函數(shù)Us(s)和Is(s)。畫出運(yùn)算電路圖（注意附加電源的值及方向）。應(yīng)用第二、三、四章所述的求解線性電路的各種方法列出運(yùn)算形式的電路方程，并求出象函數(shù)形式的響應(yīng)。將響應(yīng)的象函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換，求出對(duì)應(yīng)的原函數(shù)，即以時(shí)間t為變量的響應(yīng)表達(dá)式?！?4-5應(yīng)用拉氏變換法分析線性電路3810V++-K2H(a)-+-t=0(b)+++---2S4V++--39(b)+++---2S4V++--40(b)+++---2S4V++--4110V++-2H(a)-+-42例14-12R，L串聯(lián)電路與按指數(shù)規(guī)律衰減的電壓接通，如下圖，設(shè)電路中的初始電流為零，求電路總的電流i(t).解：Ki(t)u(t)+-LR43式中利用分解定理可得所以44求K合上后電感上的電例14-13如圖，設(shè)電容上原有電壓電源電壓流

u(t)++-KLC(a)-(b)3010+++---0.1s0.5V45解：假定回路電流為則回路電流方程為：即求解方程可得：(b)3010+++---0.1s0.5V46且利用分解定理，有所以47例14-14用拉氏變換求R，L，C串聯(lián)電路的(a)單位階躍響應(yīng)和(b)零輸入響應(yīng)。設(shè)解：(a)此時(shí)有令則得48查表可得：(b)設(shè)則有查表得：49

電路在單一的獨(dú)立激勵(lì)下，其零狀態(tài)響應(yīng)r(t)的象函數(shù)R(s)與激勵(lì)e(t)的象函數(shù)E(s)之比定義為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)，即

即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是單位沖激響應(yīng)的象函數(shù)，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)h(t)就是電路的單位沖激響應(yīng)。當(dāng)即§14-6網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義50解：+C

is(a)Ruc例14-15圖a中，電路激勵(lì)求沖激響應(yīng)h(t)即電容電壓uc(t)。(b)+

1/sc

Is(s)RUc(s)51網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的類型

N0

I1(S)

+

U1(S)

-

N0

I1(S)

U1(S)

＋52N0

I1(S)

+

U2(S)

-

I2(S)

Z

+

U1(S)

-

N0

I1(S)

U1(S)

+

U2(S)

-

I2(S)

Z

53E(s)R(s)E(s)與R(s)屬于同一對(duì)端子H(s)電流源電壓是驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗(函數(shù))電壓源電流是驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納(函數(shù))電流源電壓否轉(zhuǎn)移阻抗(函數(shù))電壓源電流否轉(zhuǎn)移導(dǎo)納(函數(shù))電壓源電壓否電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)電流源電流否電流轉(zhuǎn)移函數(shù)綜上所述54解：例14-16

圖a所示電路為一低通濾波器，激勵(lì)是電壓源u1(t)。已知：L1=1.5H，求電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)和驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納函數(shù)(a)R++--(b)R++--55解得：(b)R++--56電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納函數(shù)為57§14-7網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)58例14-17

59解：Z1=Z2=0，Z3=

3，p1=

1，p2=

2+j，p3=

2

j60來自H(s)的極點(diǎn)來自E(s)的極點(diǎn)自由分量強(qiáng)制分量§14-8極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng)611.

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零極點(diǎn)與沖激響應(yīng)的關(guān)系

(1)沖激響應(yīng)—h(t)反變換第i個(gè)極點(diǎn)決定總特性ki與零點(diǎn)分布有關(guān)62(a)極點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸(2)幾種典型的極點(diǎn)分布63(b)極點(diǎn)在正實(shí)軸64(c)共軛極點(diǎn)在虛軸上65(d)共軛極點(diǎn)在左半平面66(e)共軛極點(diǎn)在右半平面67極點(diǎn)與沖激響應(yīng)的關(guān)系68

只要極點(diǎn)位于左半平面，則h(t)必隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減，我們稱這種電路是穩(wěn)定的。如果極點(diǎn)位于右半平面，則h(t)必隨時(shí)間增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，我們稱這種電路是不穩(wěn)定的。69（3）零點(diǎn)與沖激響應(yīng)的關(guān)系零點(diǎn)移動(dòng)到原點(diǎn)70幅度多了一個(gè)因子多了相移

零點(diǎn)的分布只影響時(shí)域函數(shù)的幅度和相移，不影響振蕩頻率。71結(jié)論：零點(diǎn)不影響h(t)的變化形式（質(zhì)變），僅影響波形的幅度（量變）。極點(diǎn)的分布直接影響h(t)的變化形式。72極點(diǎn)與沖激響應(yīng)的關(guān)系沖激響應(yīng)形式極點(diǎn)情況單調(diào)上升（指數(shù)形式）正實(shí)數(shù)單調(diào)下降（指數(shù)形式）負(fù)實(shí)數(shù)73例14-19圖中所示RLC串聯(lián)接通恒定電壓源Us，解：+uC+usS(t=0)RLC

7475

的強(qiáng)制分量取決與激勵(lì)，。76一、頻率響應(yīng)函數(shù)及含義§14-9極點(diǎn)、零點(diǎn)與頻率響應(yīng))()()(:)()()()(:),(),(:)1(稱為該電路的相位頻率稱為該電路的幅值頻率響應(yīng)；稱為該電路的頻率響應(yīng)函數(shù)；則相量比值響應(yīng)為正弦穩(wěn)態(tài)電路中若激勵(lì)為正弦信號(hào)定義wjwww