廣東省2021年中考真題數(shù)學試卷(原卷和解析版)

年廣東省中考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共10小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）A. B. C. D.32.據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個?。▍^(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是（）A. B. C. D.4.已知，則（）A.1 B.6 C.7 D.125.若，則（）A. B. C. D.96.下列圖形是正方體展開圖的個數(shù)為（）A1個 B.2個 C.3個 D.4個7.如圖，是⊙直徑，點C為圓上一點，的平分線交于點D，，則⊙的直徑為（）A. B. C.1 D.28.設的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則的值是（）A.6 B. C.12 D.9.我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記，則其面積．這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式．若，則此三角形面積的最大值為（）A. B.4 C. D.510.設O為坐標原點，點A、B為拋物線上的兩個動點，且．連接點A、B，過O作于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）A. B. C. D.1二、填空題：本大題7小題11.二元一次方程組的解為___．12.把拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為___．13.如圖，等腰直角三角形中，．分別以點B、點C為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交、、于點D、E、F，則圖中陰影部分的面積為____．14.若一元二次方程（b，c為常數(shù)）的兩根滿足，則符合條件的一個方程為_____．15.若且，則_____．16.如圖，在中，．過點D作，垂足E，則______．17.在中，．點D為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為_____．三、解答題（一）：本大題共3小題18.解不等式組.19.某中學九年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽．用簡單隨機抽樣的方法，從該年級全體600名學生中抽取20名，其競賽成績?nèi)鐖D：（1）求這20名學生成績的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；（2）若規(guī)定成績大于或等于90分為優(yōu)秀等級，試估計該年級獲優(yōu)秀等級的學生人數(shù)．20.如圖，在中，，作的垂直平分線交于點D，延長至點E，使．（1）若，求的周長；（2）若，求的值．四、解答題（二）：本大題共3小題21.在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)圖象的一個交點為．（1）求m的值；（2）若，求k的值．22.端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗．市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；（2）設豬肉粽每盒售價x元表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．23.如圖，邊長為1的正方形中，點E為的中點．連接，將沿折疊得到交于點G，求的長．五、解答題（三）：本大題共2小題24.如圖，在四邊形中，，點E、F分別在線段、上，且．（1）求證：；（2）求證：以為直徑的圓與相切；（3）若，求面積．25.已知二次函數(shù)的圖象過點，且對任意實數(shù)x，都有．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點為A，與y軸交點為C；點M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動點．問在x軸上是否存在點N，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

2021年廣東省中考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共10小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)實數(shù)大小比較法則比較數(shù)的大小即可．【詳解】解：，，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，關鍵要熟記：正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小．2.據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個?。▍^(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的表示形式，其中，n為整數(shù)，一定要將題目中的“51085.8萬”轉化為數(shù)字510858000，即可將題目中的數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示出來．詳解】51085.8萬=510858000，故選：D．【點睛】本題主要考察科學計數(shù)法的表示形式，科學記數(shù)法的表示形式，其中，n為整數(shù)，此題容易將題目中的“萬”遺漏，掌握科學記數(shù)法的表示形式是解題關鍵．3.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列表法，可求得兩枚骰子向上的點數(shù)之和所有可能的結果數(shù)及兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的結果數(shù)，根據(jù)概率計算公式即可求得所求的概率．【詳解】列表如下：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表知，兩枚骰子向上的點數(shù)之和所有可能的結果數(shù)為36種，兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的結果數(shù)為6，故兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是：故選：B．【點睛】本題考查了用列表法或樹狀圖求等可能事件的概率，用列表法或樹狀圖可以不重不漏地把事件所有可能的結果數(shù)及某一事件的結果數(shù)表示出來，具有直觀的特點．4.已知，則（）A.1 B.6 C.7 D.12【答案】D【解析】【分析】利用同底數(shù)冪乘法逆用轉換求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴故選：D．【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪乘法的逆用，熟練掌握其運算法則即表現(xiàn)形式是解題關鍵．5.若，則（）A. B. C. D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一個實數(shù)的絕對值非負，一個非負實數(shù)的算術平方根非負，且其和為零，則它們都為零，從而可求得a、b的值，從而可求得ab的值．【詳解】∵，，且∴，即，且∴，∴故選：B．【點睛】本題考查了絕對值和算術平方根的非負性，一般地，幾個非負數(shù)的和為零，則這幾個非負數(shù)都為零．6.下列圖形是正方體展開圖的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方體的展開圖的特征，11種不同情況進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)正方體的展開圖的特征，只有第2個圖不是正方體的展開圖，故四個圖中有3個圖是正方體的展開圖．

故選：C．【點睛】考查正方體的展開圖的特征，“一線不過四，田凹應棄之”應用比較廣泛簡潔．7.如圖，是⊙的直徑，點C為圓上一點，的平分線交于點D，，則⊙的直徑為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】過D作DE⊥AB垂足為E，先利用圓周角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到DE=DC=1，再說明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，設BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根據(jù)勾股定理列式求出x，進而求得AB．【詳解】解：如圖：過D作DE⊥AB，垂足為E∵AB是直徑∴∠ACB=90°∵∠ABC的角平分線BD∴DE=DC=1在Rt△DEB和Rt△DCB中DE=DC、BD=BD∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）∴BE=BC在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2AE=設BE=BC=x，AB=AE+BE=x+在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2則（x+）2=32+x2，解得x=∴AB=+=2故填：2．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識點，靈活應用相關知識成為解答本題的關鍵．8.設的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則的值是（）A.6 B. C.12 D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)的整數(shù)部分可確定的值，進而確定的值，然后將與的值代入計算即可得到所求代數(shù)式的值．【詳解】∵，∴，∴的整數(shù)部分，∴小數(shù)部分，∴．故選：．【點睛】本題考查了二次根式的運算，正確確定的整數(shù)部分與小數(shù)部分的值是解題關鍵．9.我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記，則其面積．這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式．若，則此三角形面積的最大值為（）A. B.4 C. D.5【答案】C【解析】【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表達式中得：，由被開方數(shù)是二次函數(shù)可得其最大值，從而可求得S的最大值．【詳解】∵p=5，c=4，∴a+b=2p-c=6∴由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：設，當取得最大值時，S也取得最大值∵∴當a=3時，取得最大值4∴S的最大值為故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關鍵是由已知得出a+b=6，把面積最大值問題轉化為二次函數(shù)的最大值問題．10.設O為坐標原點，點A、B為拋物線上的兩個動點，且．連接點A、B，過O作于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】設A(a，a2)，B(b，b2)，求出AB的解析式為，進而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C點在以OD的中點E為圓心，以為半徑的圓上運動，當CH為圓E半徑時最大，由此即可求解．【詳解】解：如下圖所示：過C點作y軸垂線，垂足為H，AB與x軸的交點為D，設A(a，a2)，B(b，b2)，其中a≠0，b≠0，∵OA⊥OB，∴，∴，即，，設AB的解析式為：，代入A(a，a2)，解得：，∴，∵，即，∴C點在以OD的中點E為圓心，以為半徑的圓上運動，當CH為圓E的半徑時，此時CH的長度最大，故CH的最大值為，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的相關知識等，本題的關鍵是求出AB與y軸交點的縱坐標始終為1，結合，由此確定點E的軌跡為圓進而求解．二、填空題：本大題7小題11.二元一次方程組的解為___．【答案】【解析】【分析】由加減消元法或代入消元法都可求解．【詳解】解：，由①式得：，代入②式，得：，解得，再將代入①式，，解得，∴，故填：．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的基本解法，本題屬于基礎題，比較簡單．12.把拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為___．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”進行計算即可．【詳解】解：拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為：，即：故答案為：．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖像的平移，熟記函數(shù)圖像的平移方式“上加下減，左加右減”是解題的關鍵．13.如圖，等腰直角三角形中，．分別以點B、點C為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交、、于點D、E、F，則圖中陰影部分的面積為____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出AC的長，根據(jù)S陰影=S△ABC-2S扇形CEF即可得答案．【詳解】∵等腰直角三角形中，，∴AC=AB=，∠B=∠C=45°，∴S陰影=S△ABC-2S扇形CEF==，故答案為：【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及扇形面積，熟練掌握面積公式是解題關鍵．14.若一元二次方程（b，c為常數(shù)）的兩根滿足，則符合條件的一個方程為_____．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】設與交點為，根據(jù)題意關于y軸對稱和二次函數(shù)的對稱性，可找到的值（只需滿足互為相反數(shù)且滿足即可）即可寫出一個符合條件的方程【詳解】設與交點為，根據(jù)題意則的對稱軸為故設則方程為：故答案為：【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和找到兩根的對稱性類比二次函數(shù)的對稱性是解題的關鍵15.若且，則_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，利用完全平方公式可得，根據(jù)x的取值范圍可得的值，利用平方差公式即可得答案．【詳解】∵，∴，∵，∴，∴=，∴==，故答案為：【點睛】本題考查了完全平方公式及平方差公式，準確運用公式是解題的關鍵．16.如圖，在中，．過點D作，垂足為E，則______．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題目中的，求出ED的長度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長，即可求出．【詳解】∵，∴△ADE為直角三角形，又∵，∴,解得DE=4,在Rt△ADE中，由勾股定理得：,又∵AB=12,∴,又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中，由勾股定理得：,過點B作BF⊥CE，垂足為F,如圖在△EBC中：S△EBC=;又∵S△EBC∴,解得,在Rt△BFC中，,故填：．【點睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關鍵在于熟練掌握解直角三角形的計算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計算和等面積法求一邊上的高．17.在中，．點D為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】由已知，，根據(jù)定角定弦，可作出輔助圓，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知，點在以為圓心為半徑的圓上，線段長度的最小值為．【詳解】如圖：以為半徑作圓，過圓心作，以為圓心為半徑作圓，則點在圓上，,線段長度的最小值為:．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角與圓心角的關系，圓外一點到圓上的線段最短距離，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．三、解答題（一）：本大題共3小題18.解不等式組.【答案】﹣1＜x≤2．【解析】【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可.【詳解】解：由①得：x≤2；由②得：x＞﹣1，則不等式組的解集為﹣1＜x≤2．【點睛】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.19.某中學九年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽．用簡單隨機抽樣的方法，從該年級全體600名學生中抽取20名，其競賽成績?nèi)鐖D：（1）求這20名學生成績的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；（2）若規(guī)定成績大于或等于90分為優(yōu)秀等級，試估計該年級獲優(yōu)秀等級的學生人數(shù)．【答案】（1）眾數(shù)：90，中位數(shù)：90，平均數(shù)：90.5；（2）450人【解析】【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，計算眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）利用樣本估計總體思想求解可得．【詳解】解：（1）由列表中90分對應的人數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)應該是90，

由于人數(shù)總和是20人為偶數(shù)，將數(shù)據(jù)從小到大排列后，第10個和第11個數(shù)據(jù)都是90分，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)應該是90，眾數(shù)：90，中位數(shù)：90，平均數(shù)．答：這20名學生成績的眾數(shù)90，中位數(shù)90，和平均數(shù)90.5；（2）20名中有人為優(yōu)秀，∴優(yōu)秀等級占比：∴該年級優(yōu)秀等級學生人數(shù)為：（人）答：該年級優(yōu)秀等級學生人數(shù)450人．【點睛】本題考查中位數(shù)、用樣本估計總體、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖，解題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答問題．20.如圖，在中，，作的垂直平分線交于點D，延長至點E，使．（1）若，求的周長；（2）若，求的值．【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】(1)作出BC的垂直平分線，連接BD，由垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周長；(2)設，，進而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．【詳解】解：(1)如圖，連接，設垂直平分線交于點F，∵為垂直平分線，∴，∵，∴．(2)設，∴，又∵，∴，中，．∴．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義及勾股定理等知識，熟練掌握垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等是解決本題的關鍵．四、解答題（二）：本大題共3小題21.在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)圖象的一個交點為．（1）求m的值；（2）若，求k的值．【答案】（1）4；（2）或【解析】【分析】（1）將P點的坐標代入反比例函數(shù)解析式，計算即可求得m；（2）分兩種情況討論，當一次函數(shù)過一、二、三象限時，畫出圖像，將轉化為兩個三角形相似，過過P作軸交x軸于點H，證明，即可求出k和b的值；當一次函數(shù)過一、三、四象限時，畫出圖像，將轉化為兩個三角形相似，過點P作PQ⊥y軸于點Q，證明即可求出k和b的值．【詳解】解：（1）∵P為反比例函數(shù)上一點，∴代入得，∴．（2）令，即，∴，，令，∴，∵．由圖象得，可分為以下兩種情況，①B在y軸正半軸時，，∵，過P作軸交x軸于點H，又，，∴∴，,即,∴，∴，∴．②B在y軸負半軸時，，過P作軸，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，代入∴，綜上，或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和相似三角形，添加輔助線構造相似三角形，將題目中線段的倍數(shù)關系轉化為相似三角形的相似比是解題關鍵．22.端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗．市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；（2）設豬肉粽每盒售價x元表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．【答案】（1）豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元；（2），最大利潤為1750元【解析】【分析】（1）設豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價元，根據(jù)某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同列方程計算即可；（2）根據(jù)題意當時，每天可售100盒，豬肉粽每盒售x元時，每天可售盒，列出二次函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算最大值即可．【詳解】解：（1）設豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價元．則解得：，經(jīng)檢驗是方程的解．∴豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元．答：豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元．（2）由題意得，當時，每天可售100盒．當豬肉粽每盒售x元時，每天可售盒．每盒的利潤為()∴，配方得：當時，y取最大值為1750元．∴，最大利潤為1750元．答：y關于x的函數(shù)解析式為，且最大利潤為1750元．【點睛】本題主要考查分式方程的實際應用以及二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)題意列出相應的函數(shù)解析式是解決本題的關鍵．23.如圖，邊長為1的正方形中，點E為的中點．連接，將沿折疊得到交于點G，求的長．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，延長交于H連，通過證明、得到，再由得到，進而即可求得的長．【詳解】解：延長交于H連，∵由沿折疊得到，∴，，∵E為中點，正方形邊長為1，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關幾何知識是解決本題的關鍵．五、解答題（三）：本大題共2小題24.如圖，在四邊形中，，點E、F分別在線段、上，且．（1）求證：；（2）求證：以為直徑的圓與相切；（3）若，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】【分析】(1)設，進而求得，再由即可求得；(2)取中點O，過點O作，由梯形中位線定理得到，利用得到，進而，由此即可證明；(3)過點D，