2023年工程碩士考試(GCT)數(shù)學(xué)歷年高頻考題帶答案難題附詳解

2023年工程碩士考試(GCT)數(shù)學(xué)歷年高頻考題帶答案難題附詳解（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版(共50題)1.函數(shù)在x=1可導(dǎo)，則

．

2.3.已知數(shù)列通項(xiàng)為當(dāng)n→∞，xn是______。A.無窮大B.無窮小C.有界變量且非無窮小D.無界變量且非無窮大4.公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a2，a3，a6成等比數(shù)列，則其公比q為______。A.1B.2C.3D.-35.6.7.在(1-x3)(1+x)10的展開式中，x5的系數(shù)為______。A.-297B.-252C.297D.2078.9.=______。

A．

B．

C．

D．10.在之間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的3個數(shù)的乘積為______．A.144B.216C.256D.51211.設(shè)f(x)在x＞0可導(dǎo)，且xf’(x)＞f(x)，則是

．A.單調(diào)遞增函數(shù)B.單調(diào)遞減函數(shù)C.凹函數(shù)D.凸函數(shù)12.設(shè)，則f"(0)=______。A.4B.2C.1D.013.若三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則表達(dá)式

的值為______．

A．

B．

C．1

D．14.15.16.設(shè)函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)個數(shù)為

．A.0B.1C.2D.317.18.下列函數(shù)中，存在反函數(shù)的是

。19.設(shè)A，B是n階矩陣，則的伴隨矩陣是______。

A．

B．

C．

D．20.設(shè)α1，α2，α3，α4是三維非零向量．

(1)如果r(α1，α2，α3)=3，則α4可由α1，α2，α3線性表出．

(2)如果α4不能由α1，α2，α3線性表出，則α1，α2，α3線性相關(guān)．

(3)如果α4不能由α1，α2，α3線性表出，則2≤r(α1，α2，α3，α4)≤3．

(4)如果r(α1+α2，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)，則α4可由α1，α2，α3線性表出．

上述命題中，正確命題的個數(shù)為______個．A.1B.2C.3D.421.已知A是4階矩陣，A*是A的伴隨矩陣．若A*的特征值是1，-1，3，9，則不可逆矩陣是______．A.A-IB.A+IC.A+2ID.2A+I22.a取______值時，函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。A.0B.-1C.1D.2b23.在y軸的截距為-3，且與直線2x+y+3=0垂直的直線方程是______。A.x-2y-6=0B.2x-y+3=0C.x-2y+3=0D.x+2y+6=024.光滑曲線y=f(x)通過原點(diǎn)，且在x=1處與曲線y=e2x相切，則______．A.0B.e2C.-e2D.2e225.已知______。A.2mB.3mC.6mD.12m26.27.甲盒中有200個螺桿，其中A型的有160個；乙盒中有240個螺母，其中A型的有180個，從甲乙兩盒中任取一個零件，能配成A型螺栓的概率為

。

28.已知3階矩陣A的逆矩陣為，則A的伴隨矩陣A*的逆矩陣為

。

29.30.31.32.如圖所示，梯形二底角∠A=60°，∠B=45°，CD=8，AD=6，則BC的長是______。

A．

B．

C．

D．33.一項(xiàng)工程甲、乙合作用30天完成，現(xiàn)甲獨(dú)作24天，乙加入合作，10天后甲調(diào)走，乙獨(dú)作17天完工，則甲獨(dú)作需______天完工。A.90B.80C.70D.6034.35.設(shè)c＞0，b＞a＞0，則

。

36.直線l1：y=x與l2：ax-y=0(a∈R)夾角在內(nèi)變動，則a的取值范圍是

．

37.f(x)=x2+x-1，g(x)=a(x+1)2+b(x-1)(x+1)+c(x-1)2，a，b，c為

時，f(x)=g(x)．

38.函數(shù)在(0，1)內(nèi)______。A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.有極小值D.有極大值39.40.齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，若有3階非零矩陣B使AB=0，則

。A.λ=-1且|B|=0B.λ=-1且|B|≠0C.λ=3且|B|=0D.λ=3且|B|≠041.42.43.=______。

A．0

B．

C．1

D．44.若x和分式都是整數(shù)，那么x=

．A.2，6B.0，2，6C.-4D.-4，0，2，645.46.47.若函數(shù)f(x)是周期為6的奇函數(shù)，則的值等于______．

A．

B．

C．

D．48.當(dāng)x≠-1和x≠-2時，恒成立，則______．A.m=-2，n=3B.m=-3，n=2C.m=2，n=-3D.m=3，n=-249.設(shè)k＞1，則關(guān)于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲線是______。A.長軸在y軸上的橢圓B.長軸在x軸上的橢圓C.實(shí)軸在y軸上的雙曲線D.實(shí)軸在x軸上的雙曲線50.如果一直角梯形的周長是54cm，兩底之和與兩腰之和的比是2:1，兩腰之比是1:2，那么此梯形的面積為______cm2．A.54B.108C.162D.216第1卷參考答案一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版1.參考答案：A

因?yàn)?/p>

又f(x)在x=1點(diǎn)連續(xù)，故所以選(A)．2.參考答案：B3.參考答案：D[解析]是無界的，但又非無窮大，選D。4.參考答案：C[解析]根據(jù)題意，有a3=a2+d，a6=a2+4d，其中d≠0，則有，即2a2d+d2=a2(a2+4d)，解得d=2a2，，選C。5.參考答案：A6.參考答案：D7.參考答案：D[解析]原式變形為(1+x)10-x3(1+x)10，展開式中x5的系數(shù)為，選D。8.參考答案：C9.參考答案：A[解析]，

令

故原式=

故正確答案為A。10.參考答案：B[解析]這5個數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q．不妨設(shè)插入的3個數(shù)為a，aq，則有所以a為正數(shù)，且故a=6．插入的3個數(shù)的乘積為a3=216．

故選B．11.參考答案：B，題干中并沒說f(x)是否二次可導(dǎo)，故無法判斷是凹函數(shù)還是凸函數(shù)，選(B)．12.參考答案：A[解析]由公式

，選A。13.參考答案：A[解析]本題主要考查了三角形中邊與角的關(guān)系(余弦定理)．

解法1

因?yàn)?/p>

所以

解法2

特殊值代入法

取a=b=c=1，則∠A=∠B=∠C=60°，所以

故正確選項(xiàng)為A．14.參考答案：B15.參考答案：D16.參考答案：D

因?yàn)閒(x)為初等函數(shù)，它的定義域?yàn)?-∞，-1)∪(-1，0)∪(0，1)∪(1，+∞)．根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性，可知其定義域即為連續(xù)區(qū)間，則f(x)的間斷點(diǎn)為-1，0，1．

(1)可知x=-1點(diǎn)是f(x)的可去間斷點(diǎn)．

(2)可知x=0點(diǎn)是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．

(3)可知x=1點(diǎn)是f(x)的第二類間斷點(diǎn)．選(D)，注意不要對分式約分．17.參考答案：A18.參考答案：C[解析]f1(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。函數(shù)f1不是到其值域的一一對應(yīng)，即在中，會有兩個自變量的值對應(yīng)同一個函數(shù)值，所以f1(x)不存在反函數(shù)。

同理，f2(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，不存在反函數(shù)。

f3(x)的圖像是拋物線的一段．該拋物線的對稱軸為x=2，在，f3(x)是單調(diào)遞減的，存在反函數(shù)。

同理，f4(x)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為x=-1，所以f4(x)在上是減函數(shù)，而在上為增函數(shù)，不存在反函數(shù)。

故正確答案為C。19.參考答案：D[解析]由于CC*=|C|E=|A||B|E，所以

，選D。20.參考答案：D[解析]因α1，α2，α3，α4是三維向量，所以有r(α1，α2，α3)≤3，r(α1，α2，α3，α4)≤3．

對于(1)，因r(α1，α2，α3)=3，則α1，α2，α3線性無關(guān)．又α1，α2，α3，α4必線性相關(guān)，因此α4可由α1，α2，α3線性表出．

對于(2)，由(1)可知如果α1，α2，α3線性無關(guān)，則α4可由α1，α2，α3線性表出，所以當(dāng)α4不能由α1，α2，α3線性表出時，α1，α2，α3必線性相關(guān)．

對于(3)，因α1，α2，α3，α4是非零向量，而α4又不能由α1，α2，α3線性表出，所以r(α4，αi)=2(i=1，2，3)，從而r(α1，α2，α3，α4)≥2，于是有2≤r(α1，α2，α3，α4)≤3．

對于(4)，因矩陣經(jīng)過初等變換后不改變其秩，所以有r(α1+α2，α2，α3)=r(α1，α2，α3)，因而有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)，這表明非齊次方程組α1x1+α2x2+α3x3=α4有解，從而α4可由α1，α2，α3線性表出．

命題(1)，(2)，(3)，(4)都是正確的．

故選D．21.參考答案：B[解析]由A*的特征值是1，-1，3，9可得|A*|=-27．又因|A*|=|A|n-1，所以|A|3=-27，即|A|=-3．

根據(jù)性質(zhì)：如果可逆矩陣A的特征值是λ，其伴隨矩陣A*的特征值為λ*，則有所以A有特征值-3，3，-1，

因此，A-I的特征值為-4，2，-2，因A-I的特征值非零，所以A-I可逆．

A+I的特征值為-2，4，0，因A+I的特征值中有為0的數(shù)，所以A+I不可逆．

故選B．

注

(1)解本題時用到了結(jié)論：如果λ是方陣A的特征值，則λ+是是A+kI的特征值．

(2)利用“如果λ是方陣A的特征值，則kλ是忌A的特征值”可很容易得出2A+I的特征值中不含零，所以不選D．

(3)利用(1)同樣可求出A+2I的特征值，顯然A+2I的特征值中也不含零，所以不選C．22.參考答案：C[解析]由定義可知，若左右極限相等則要求a=1，所以a=1時連續(xù)，選C。23.參考答案：A[解析]與直線2x+y+3=0垂直的直線其斜率必為，故設(shè)此直線為y=x+b，而它在y軸的截距為-3，故b=-3，故直線方程為y=x-3，即x-2y-6=0，選A。24.參考答案：B[解析]因光滑曲線y=f(x)通過原點(diǎn)，所以f(0)=0．

由于曲線y=f(x)在x=1處與y=e2x相切，而(e2x)'|x=1=2e2x|x=1=2e2，因此f(1)=e2，f'(1)=2e2．進(jìn)而

故選B．25.參考答案：C[解析]

故正確答案為C。26.參考答案：C27.參考答案：A[解析]概率計(jì)算題目。由題知，能配成A型螺栓意味著從甲盒和乙盒中均取出的為A型，所以概率為。故正確的答案是A選項(xiàng)。28.參考答案：A[解析]由，而(A-1)-1=A，因此由

有

故A為正確答案。29.參考答案：B30.參考答案：C31.參考答案：D32.參考答案：B[解析]題干中的條件CD=8是無用的。

因?yàn)锳D=6，∠A=60°，在Rt△AED中，∠ADE=30°，

所以AE=3，DE2=AD2-AE2=62-32，DE=。

因?yàn)镃F=DE=，在Rt△BFC中，∠B=45°，

故，故正確答案為B。33.參考答案：C[解析]設(shè)甲單獨(dú)做需x天完工，甲一天做，所以，乙一天做。

所以，x=70天，選C。34.參考答案：D35.參考答案：C[解析]當(dāng)0＜a＜b，且c大于0時，是分?jǐn)?shù)的一條基本性質(zhì)，其原因是

故正確答案為C。36.參考答案：A

顯然l1的斜率為k1=1，l2的斜率為k2=a，則l1與l2的夾角為即解得選(A)．37.參考答案：C

顯然有，g(x)=a(x+1)2+b(x-1)(x+1)+c(x-1)2=(a+b+c)x2+(2a-2c)x+(a-b+c)

若f(x)=g(x)，則有，解得選(C)．38.參考答案：D[解析]先整理，得

再求導(dǎo)，有

得駐點(diǎn)為t=ξ，由于在(0，1)上單調(diào)減小，其中ξ不可能取到。或1，故ξ∈(0，1)，又，知ξ為F(t)在(0，1)內(nèi)的極大值點(diǎn)，故正確答案為D。39.參考答案：B40.參考答案：A[解析]，說明|A|=0，且|B|=0。顯然λ=-1時，|A|=0，故正確答案為A。41.參考答案：C42.參考答案：D43.參考答案：B[解析]這是“∞-∞”型未定式，可用洛必達(dá)法則求其極限。

故正確答案為B。44.參考答案：D

令x和t均是整數(shù)，所以x-1應(yīng)是5的約數(shù)，又有5=1×5=(-1)×(-5)，則x-1=1，5，-1，-5，所以x=2，x=6，x=0，x=-4，選(D)．45.參考答案：B46.參考答案：A47.參考答案：A[解析]本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、周期函數(shù)的概念、三角函數(shù)的倍角公式和特殊角的三角函數(shù)值．

因?yàn)閒(x)是周期為6的奇函數(shù)，所以

f(6)=f(0)=0，f(-7)+f(1)=f(-1)+f(1)=0．

從而

故正確選項(xiàng)為A．48.參考答案：A[解析]本題主要考查了分式運(yùn)算、因式乘法與多項(xiàng)式相等的概念．

解法1

因?yàn)?/p>

所以(m+n)x+(2m+n)=x-1．比較系數(shù)得

解得m=-2，n=3．

故正確選項(xiàng)為A．

解法2

取