2022-2023學年廣東省深圳市福田區(qū)黃埔中學八年級（下）期中數學試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列圖形中，不是中心對稱圖形的是()

A.B.C.D.

2.如果，那么下列不等式中不成立的是()

A.B.C.D.

3.下列因式分解正確的是()

A.B.

C.D.

4.如果點在平面直角坐標系的第三象限內，那么的取值范圍在數軸上可表示為()

A.B.

C.D.

5.把點向下平移個單位長度后，再向右平移個單位長度，此時它的坐標為()

A.B.C.D.

6.下列說法中，正確的結論有個．()

在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；

三角形三條邊的垂直平分線的交點到這個三角形三個頂點的距離相等；

“對頂角相等”的逆命題是真命題；

反證法證明“一個三角形中最小角不大于”應先假設這個三角形中最小角大于．

A.個B.個C.個D.個

7.如圖，直線：與直線：相交于點，則關于的不等式的解集為()

A.

B.

C.

D.

8.如圖，在中，，，的垂直平分線分別交與于點和點若，則的長是()

A.B.C.D.

9.為有效開展“陽光體育”活動，某校計劃購買籃球和足球共個，購買資金不超過元若每個籃球元，每個足球元，則籃球最多可購買個．()

A.B.C.D.

10.如圖，是的角平分線，，垂足為，交的延長線于點，若恰好平分，給出下列四個結論：

；

；

是的中點；

．

其中正確的結論共有個．()

A.個B.個C.個D.個

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.分解因式：______．

12.已知關于的不等式的解集為，則的取值范圍是______．

13.等腰三角形的一邊為，另一邊為，則這個三角形的周長為______．

14.如果不等式組的解集是，那么的取值范圍是______．

15.如圖，中，，，，且在直線上，將繞點順時針旋轉到，可得到點，此時；將位置的三角形繞點順時針旋轉到位置，可得到點，此時；將位置的三角形繞點順時針旋轉到位置，可得到點，此時；按此規(guī)律繼續(xù)旋轉，直到點為止，則等于______．

三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）

16.分解因式：

四、解答題（本大題共6小題，共49.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

解不等式

；

，將解集在數軸上表示．

18.本小題分

如圖，三個頂點的坐標分別為，，

請畫出將向左平移個單位長度后得到的圖形；

請畫出關于原點成中心對稱的圖形；

求的面積．

19.本小題分

如圖，和都是等腰三角形，且，，，，在同一條直線上．求證：．

20.本小題分

某園林部門決定利用現有的盆甲種花卉和盆乙種花卉搭配、兩種園藝造型共個，擺放在迎賓大道兩側．已知搭配一個種造型需甲種花卉盆，乙種花卉盆；搭配一個種造型需甲種花卉盆，乙種花卉盆．

某校九年級某班課外活動小組承接了這個園藝造型搭配方案的設計，問符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設計出來；

若搭配一個種造型的成本是元，搭配一個種造型的成本是元，試說明中哪種方案成本最低，最低成本是多少元？

21.本小題分

如圖，在中，，，為邊的中點，點、分別在射線、上，且，連結．

如圖，當點、分別在邊和上時，求證：．

探究：如圖，當點、分別在邊、的延長線上時，判斷線段與的大小關系，并加以證明．

應用：如圖，若，利用探究得到的結論，求的面積．

22.本小題分

如圖，點是等邊內一點，，將繞點按順時針方向旋轉得，連接．

求證：是等邊三角形；

當時，試判斷的形狀，并說明理由；

探究：當為多少度時，是等腰三角形？

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：選項A、、均能找到這樣的一個點，使圖形繞該點旋轉后與原來的圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，故不符合題意；

選項B不能找到這樣的一個點，使圖形繞該點旋轉后與原來的圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，故符合題意．

故選：．

根據中心對稱圖形的定義逐項識別即可，在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．

本題考查了中心對稱圖形的識別，熟練掌握中心對稱圖形的定義是解答本題的關鍵．

2.【答案】

【解析】解：，

，不等式兩邊同時減去同一個數，不等號方向不變，A正確，不符合題意；

，等式兩邊同時加上同一個數，不等號方向不變，B正確，不符合題意；

，不等號兩邊同時乘以或除以一個小于零的數，不等號方向改變，C錯誤，符合題意；

，不等式兩邊同時乘以或除以一個大于零的數，不等號方向不變，D正確，不符合題意；

故選：．

根據不等式的性質對選項逐個判斷即可．

此題考查了不等式的性質，解題的關鍵是掌握不等式的有關性質．

3.【答案】

【解析】解：、，選項錯誤，不符合題意；

B、，選項正確，符合題意；

C、，選項錯誤，不符合題意；

D、不能進行因式分解，選項錯誤，不符合題意；

故選：．

根據公式法、十字相乘法進行因式分解依次判斷即可．

題目主要考查因式分解，熟練掌握公式法、十字相乘法進行因式分解是解題關鍵．

4.【答案】

【解析】解：在平面直角坐標系的第三象限內，

，

解得：，

在數軸上表示為：

故選：．

根據點的位置得出不等式組，求出不等式組的解集，即可得出選項．

本題考查了點坐標特點、一元一次不等式組、在數軸上表示不等式組的解集等知識點，能求出不等式組的解集是解此題的關鍵．

5.【答案】

【解析】解：點向下平移個單位長度后變?yōu)椋?/p>

將再向右平移個單位長度變?yōu)椋?/p>

故選：．

根據平面直角坐標系中，點的平移規(guī)律進行平移即可．

本題考查了點的平移，屬于簡單題，熟悉點的坐標的平移規(guī)律是解題關鍵．

6.【答案】

【解析】解：在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，說法正確；

三角形三條邊的垂直平分線的交點到這個三角形三個頂點的距離相等，說法正確；

“對頂角相等”的逆命題是如果兩個角相等，則這兩個角為對頂角，此命題為假命題，本小題說法錯誤；

反證法證明“一個三角形中最小角不大于”先應假設這個三角形中最小角大于，說法正確；

故選：．

根據角平分線的性質，垂直平分線的性質、命題及逆命題的判斷、反證法判斷即可．

本題主要考查了角平分線的性質，垂直平分線的性質、命題及逆命題的判斷、反證法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．

7.【答案】

【解析】解：直線：與直線：相交于點，

，

解得：，

觀察圖象可知：關于的不等式的解集為．

故選：．

首先將已知點的坐標代入直線：求得的值，然后觀察函數圖象得到在點的左邊，直線：都在直線：的下方，據此求解．

本題考查了一次函數與一元一次不等式，根據函數圖象，比較函數值的大小，確定對應的自變量的取值范圍，解此題需要有數形結合的思想．

8.【答案】

【解析】解：在中，，，

．

是線段的垂直平分線，

，，

，

．

又，，

．

在直角三角形中，，，

，

，

．

故選：．

由是線段的垂直平分線，根據線段垂直平分線定理得到，根據等邊對等角可得的度數，進而得出的度數，再由角平分線上的點到角的兩邊的距離相等得出由角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得的長，再由勾股定理求出的長，進而求出的長．

本題考查了線段垂直平分線的性質、角平分線的性質、含角的直角三角形的性質、勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握這些性質定理，注意角所對的直角邊等于斜邊的一半這個性質是在直角三角形中．

9.【答案】

【解析】解：設購買籃球個，則購買足球個，

根據題意得：，

解得：．

為整數，

最大值為．

故選：．

設購買籃球個，則購買足球個，根據總價單價購買數量結合購買資金不超過元，即可得出關于的一元一次不等式，解之取其中的最大整數即可．

本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數量間的關系，解題的關鍵是正確列出一元一次不等式．

10.【答案】

【解析】解：，

，

恰好平分，

，

，

，

是的角平分線，

，，

，是的中點，故，正確，

在與中，

，

≌，

，，故正確；

，

，故錯誤．

故選：．

根據平行線的性質及角平分線得出，再由等角對等邊確定，利用等腰三角形的性質及全等三角形的判定和性質依次判斷即可．

題目主要考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．

11.【答案】

【解析】解：，

故答案為：．

直接提取公因式，進而分解因式得出答案．

此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵．

12.【答案】

【解析】解：關于的不等式的解集為，

，

．

故答案為：．

根據不等式兩邊都除以，不等號的方向發(fā)生改變判斷出，然后求解即可．

本題考查了解一元一次不等式，熟記不等式的基本性質并判斷出的系數小于是解題的關鍵．

13.【答案】

【解析】解：當腰長為時，則三角形的三邊長為：、、；

，

不能構成三角形；

因此這個等腰三角形的腰長為，則其周長．

故答案為：．

本題可先根據三角形三邊關系，確定等腰三角形的腰和底的長，然后再計算三角形的周長．

本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；對于已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．

14.【答案】

【解析】解：，

解不等式，，

，

，

，

不等式組的解集是，

．

故答案為：．

先求出第一個不等式的解集，再根據“同小取小”解答．

本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到無解，

15.【答案】．

【解析】解：根據題意可得：每三次旋轉，三角形向右平移個單位

從到共平移次，

，

故答案為：．

由，分析出，每旋轉次為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用除以求出循環(huán)組數，然后列式計算即可得解．

本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了規(guī)律型問題的解決方法．

16.【答案】解：原式；

原式．

【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

原式利用平方差公式分解即可．

此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．

17.【答案】解：，

去分母得：，

移項合并同類項得：，

系數化為得：；

，

解不等式得：，

解不等式得：，

不等式組的解集為：．

在數軸上表示出不等式的解集如下：

不等式組的解集為：．

【解析】根據解不等式的一般步驟求解即可；

先求出每一個不等式的解集，然后再確定不等式組的解集，最后在數軸上表示即可．

本題主要考查解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集，熟練掌握運算法則是解題關鍵．

18.【答案】解：如圖，即為所求；

如圖，即為所求；

．

【解析】根據圖形平移的性質畫出即可；

分別作出各點關于原點的對稱點，再順次連接即可；

利用正方形的面積減去三個頂點上三角形的面積即可．

本題考查的是作圖旋轉變換，熟知圖形旋轉不變性的性質是解答此題的關鍵．

19.【答案】證明：和都是等腰直角三角形

，，

又，，

，

在和中

≌，

．

【解析】本題考查了等腰直角三角形性質，全等三角形的性質和判定的應用，關鍵是推出≌．

求出，，，根據證出≌即可．

20.【答案】解：設搭配種造型個，則種造型為個，

依題意得，

解這個不等式組得：，

是整數，

可取，，，

可設計三種搭配方案種園藝造型個，種園藝造型個；

種園藝造型個，種園藝造型個；

種園藝造型個，種園藝造型個．

方法一：由于種造型的造價成本高于種造型成本．所以種造型越少，成本越低，

故應選擇方案，成本最低，最低成本為元，

方法二：方案需成本元；

方案需成本元；

方案需成本元，

應選擇方案，成本最低，最低成本為元．

【解析】本題主要考查了一元一次不等式組的實際應用，解題關鍵是弄清題意，合適的等量關系，列出不等式組，屬于中檔題．

根據題意列出一元一次不等式組，直接解不等式組，然后取整數解即可得出答案；

根據中得出的三種方案，分別計算出三種方案的成本，選擇成本最低的方案即可．

21.【答案】證明：如圖，連結，

，，

，

為邊的中點，

，，

，

在和中，

，

≌，

；

結論：，理由如下：

如圖，連接，

，，

，

為中點，

，，

，

，

在和中，

≌，

；

解：≌，

，

，

，

，

．

【解析】【試題解析】

本題為三角形綜合應用，涉及知識點有等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質及三角形的面積等．在探究中把問題轉化為圖中的問題是解題的關鍵，即構造三角形全等．

連接，可證明≌，可得出結論；

連接，同可證明≌，可證得；

由≌可證得，容易求得的面積．

22.【答案】解：證明：將繞點按順時針方向旋轉得，

，，

是等邊三角形；

當時，是直角三角形．

理由是：將繞點按順時針方向旋轉得，

≌，

，

又是等邊三角形，

，

，

，，，

，

不是等腰直角三角形，