第14均勻設計材

華羅庚王元均勻設計：UniformDesign2008年，北師大方開泰教授與中科院院士王元首創(chuàng)“均勻設計理論與方法”獲國家自然科學二等獎。均勻設計的由來1978年，七機部由于導彈設計的要求，提出了一個五因素的試驗，希望每個因素的水平數(shù)要多于10，而試驗總數(shù)又不超過50，顯然優(yōu)選法和正交設計都不能用。方開泰與王元經過研究，提出了一個新的試驗設計，即所謂“均勻設計”，將這一方法用于導彈設計，取得了成效。5因素5水平用正交表需要安排55＝25次試驗，用均勻設計法僅用5次試驗就可得到結果。講課內容1、均勻設計的定義及特點2、均勻設計的應用3、混合水平的均勻設計1、均勻設計定義及特點均勻設計是一種試驗設計方法。它可以用較少的試驗次數(shù)，安排多因素、多水平的析因試驗，是在均勻性的度量下最好的析因試驗設計方法。由于試驗次數(shù)太多，用正交設計仍感困難時，可運用均勻設計進行篩選試驗。試驗次數(shù)很少，但結果不夠穩(wěn)定。均勻設計符號U7(76)均勻表的代號試驗次數(shù)因素的水平數(shù)因素個數(shù)U11(1110)U10(1010)均勻設計表U9(96)：9實驗次數(shù)、9水平數(shù)、6因素實驗號123456112457822481573344556677889999999均勻設計表各列不平等正交設計表各列是平等的，均勻設計則不是。2個因素11個水平：選1、7列！如果選1、2列，情況如何？U6(64)表示要做次6試驗，每個因素有6個水平，該表有4列。水平數(shù)為偶數(shù)的均勻設計表是把奇數(shù)均勻設計表的最后一行去掉得到的。

1234112362246533624441535531266541U6(64)列號試驗號均勻設計使用表每個均勻設計表都附有一個使用表，它指示從設計表中選用適當?shù)牧校约坝蛇@些列所組成的試驗方案的均勻度。若有兩個因素，應選用1，3兩列來安排試驗；若有三個因素，應選用1，2，3三列，…，D表示刻劃均勻度的偏差(discrepancy)，偏差值越小，表示均勻度越好。s列

號

D213

0.18753123

0.2656412340.2990U6(64)的使用表均勻設計的特點1）每個因素的每個水平做一次且僅做一次試驗；2）任兩個因素的試驗點在平面的格子點上，每行每列有且僅有一個試驗點；3）均勻設計表任兩列組成的試驗方案一般并不等價。不等價例如用U6(64)的1，3和1，4列分別畫圖，得到下面的圖(a)和圖(b)。我們看到，(a)的點散布比較均勻，而(b)的點散布并不均勻。均勻設計表的這一性質和正交表有很大的不同，因此，每個均勻設計表必須有一個附加的使用表。1.3均勻設計實驗結果分析

均勻設計的結果沒有整齊可比性，分析結果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回歸分析或逐步回歸分析的方法：線性關系的回歸分析法:多元回歸最小二乘法正則方程組系數(shù)計算非線性的回歸分析法非線性的回歸分析法2、均勻設計應用利用均勻設計表來安排試驗的步驟：（1）根據試驗的目的，選擇合適的因素和相應的水平。（2）選擇適合該試驗的均勻設計表，然后根據該表的使用表從中選出列號，將因素分別安排到這些列號上，并將這些因素的水平按所在列的指示分別對號，則試驗就安排好了。例1：配藥實驗在阿魏酸的合成工藝考察中，為了提高產量，選取了原料配比(A)、吡啶量(B)和反應時間(C)3個因素，它們各取了7個水平如下：原料配比（A）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28反應時間（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.57個水平，需要安排7次試驗，根據因素和水平，我們可以選用U7(76)完成該試驗。（1）選均勻設計表1234561123656224653533624144415363553124266541217777777U7(76)列號試驗號均勻設計表使用表因素數(shù)列號213

3123

41236

512346

6123456U7(76)使用表U7(76)共有6列，現(xiàn)在有3個因素，根據其使用表，應該取1，2，3列安排試驗。（2）排列（3）實驗結果No.配比（A）吡啶量（B）反應時間（C）收率（Y）11.0(1)13(2)1.5(3)0.33021.4(2)19(4)3.0(6)0.33631.8(3)25(6)1.0(2)0.29442.2(4)10(1)2.5(5)0.47652.6(5)16(3)0.5(1)0.20963.0(6)22(5)2.0(4)0.45173.4(7)28(7)3.5(7)0.482制備阿魏酸的試驗方案U7(73)和結果（4）用回歸模型匹配數(shù)據回歸分析法方差來源自由度平方和均方F回歸誤差總和3360.0487700.0148380.0636080.0162570.0049463.29方差分析表回歸方程可信度檢驗：（5）二次回歸模型來匹配數(shù)據（6）最優(yōu)數(shù)據的獲取最好的試驗點是值為Y=48.2%的

第7號實驗，但它不一定是全局最好的。人們想找到滿足下式的x1*和

x3*:x1x3的回歸系數(shù)是正的，x3的回歸系數(shù)也是正的,令x1*=3.4.求最大值，得出x3*=2.7575。

等值線圖

(x1*,x3*)在x1*=3.4和

x3*=2.7575處估計響應的最大值是

51.85%。它比７個試驗點的最好值48.2%還大。討論:因素

x2

沒有給響應Y予顯著的貢獻，我們可以選x2為其中點x2=19ml.求出的x1*=3.4在邊界上,我們需要擴大x1的試驗上限。在x1=3.4和

x3=2.7575的鄰域,追加一些試驗是必要的。3、混合水平的均勻設計試驗中各因素若有不同水平數(shù)，比如，其水平數(shù)分別為q1，…，qk。一般情況下試驗中既有定量型連續(xù)變化因素，又有定性型狀態(tài)變化因素。假設有k個定量因素X1,…,Xk，這k個因素可化為k個連續(xù)變量，其水平數(shù)分別為q1，…，qk；又有t個定性因素G1,…,Gt，這t個定性因素分別有d1，…，dt個狀態(tài)。均勻設計的回歸分析方法不但找到了最優(yōu)的試驗條件組合而且還建立了可定量描述指標和因素間關系的數(shù)學模型。

混合型均勻設計表Un(q1

×…×qk×d1×…×dt)均勻設計下表是一個混合水平均勻設計表:38它的試驗數(shù)ｎ為12?？梢园才潘綌?shù)為６、４、３的因素各一個。

U12(624)此表也是混合水平均勻設計表它的試驗數(shù)ｎ為12?？梢园才?個6水平因素和1個4水平因素的設計。例2：在農業(yè)試驗中考慮4個因素：

1）平均施肥量X，分為12個水平(70,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114)。

2)種子播種前浸種時間T，分為6個水平(1,2,3,4,5,6)。

3)土壤類型B，分4種B1，B2，B3，B4。

4)種子品種A，分3個A1，A2，A3。對某農作物產量的影響,前兩個為定量因素，后兩個為定性因素。

U12(12×6×4×3２×2２

)

123456711112312222232213333211244443121555112226662321177131111882433219931132210104222121111531111121264232212次試驗可以安排2個定量因素：水平數(shù)為12和6；5個定性因素：1個水平為4、兩個水平為3和兩個水平為2的定性因素的設計。

U12(12×6×4×3

)第一列安排平均施肥量X，分為12個水平第二列安排種子播種前浸種時間T，分為6個水平第三列安排土壤類型B，分4種B1，B2，B3，B4。第四列安排種子品種A，分3個A1，A2，A3。試驗的安排及結果定量最佳狀態(tài)組合：施肥量X=100.127，浸種時間T=6，土壤類型B取2，種子品種A取3均勻設計軟件介紹很不好用，嚴重限制其推廣使用！支持國貨！均勻設計的困境均勻設計自1980年正式公諸于世，1994年成立了中國數(shù)學會均勻設計分會，同年有了專業(yè)的軟件包?？删鶆蛟O計被推廣了這