湖南省衡陽市祁東縣黃土鋪中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

湖南省衡陽市祁東縣黃土鋪中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知為虛數(shù)單位,則的實部與虛部的乘積等于(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A2.在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面積為，則=（）A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.按流程圖的程序計算，若開始輸入的值為，則輸出的的值是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.在2012年中央電視臺舉辦的“我要上春晚”大賽上，七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計圖如右圖，數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別為（

）A．84，84 B．84，86 C．85，86 D．85，87參考答案：B5.已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略6.一個動點在圓x2+y2=1上移動時，它與定點（3，0）連線中點的軌跡方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（X﹣3）2+y2=1 C．（X+）2+y2= D．（2x﹣3）2+4y2=1參考答案：D【考點】軌跡方程．【分析】根據(jù)已知，設(shè)出AB中點M的坐標(biāo)（x，y），根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出點A的坐標(biāo)，根據(jù)點A在圓x2+y2=1上，代入圓的方程即可求得中點M的軌跡方程．【解答】解：設(shè)中點M（x，y），則動點A（2x﹣3，2y），∵A在圓x2+y2=1上，∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，即（2x﹣3）2+4y2=1．故選D．【點評】此題是個基礎(chǔ)題．考查代入法求軌跡方程和中點坐標(biāo)公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想以及分析解決問題的能力．7.已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，現(xiàn)將△ABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)到△PBC，設(shè)二面角P﹣BC﹣A大小為θ，PB與平面ABC所成角為α，PC與平面PAB所成角為β，若0＜θ＜π，則（）A．α≤且sinβ≤

B．α≤且sinβ＜C．α≤且β≥

D．α≤且β＜參考答案：B【考點】二面角的平面角及求法．【分析】可設(shè)BC=a，可得AB=PB=2a，AC=CP=a，過C作CH⊥平面PAB，連接HB，則PC與平面PAB所成角為β=∠CPH，由CH＜CB，可得sinβ的范圍；由二面角的定義，可得二面角P﹣BC﹣A大小為θ，即為∠ACP，設(shè)P到平面ABC的距離為d，根據(jù)等積法和正弦函數(shù)的定義和性質(zhì)，即可得到PB與平面ABC所成角α的范圍．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，可設(shè)BC=a，可得AB=PB=2a，AC=CP=a，過C作CH⊥平面PAB，連接HB，則PC與平面PAB所成角為β=∠CPH，且CH＜CB=a，sinβ=＜=；由BC⊥AC，BC⊥CP，可得二面角P﹣BC﹣A大小為θ，即為∠ACP，設(shè)P到平面ABC的距離為d，由BC⊥平面PAC，且VB﹣ACP=VP﹣ABC，即有BC?S△ACP=d?S△ABC，即a??a?a?sinθ=d??a?a，解得d=sinθ，則sinα==≤，即有α≤．故選：B．【點評】本題考查空間的二面角和線面角的求法，注意運用定義和轉(zhuǎn)化思想，以及等積法，考查運算能力，屬于中檔題．8.已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)·x－2y＋3＝0平行，則k的值是()A．1或3

B．1或5

C．3或5

D．1或2參考答案：C9.若x，y滿足約束條件，則取值范圍是（

）A.[－1，]

B.[－，]

C.[－，2）

D.[－，+）參考答案：C略10.在△ABC中,角A，B，C的對邊分別為a，b，c,若，則cosC的最小值為（

）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣5，若對任意的x1，x2∈[，2]，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，則a的取值范圍是．參考答案：[1，+∞）【考點】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】對任意的x1，x2∈[，2]，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立等價于f（x）≥2+g（x）max．求得g（x）的最大值，進一步利用分離參數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)法，求得單調(diào)區(qū)間和最值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：對任意的x1，x2∈[，2]，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立等價于f（x）≥2+g（x）max．由g（x）=x3﹣x2﹣5的導(dǎo)數(shù)g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），在[，）上，g′（x）＜0，g（x）遞減；在（，2）上，g′（x）＞0，g（x）遞增．g（2）=﹣1，g（）=﹣，可得g（x）max=﹣1，可得在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等價于a≥x﹣x2lnx恒成立．記h（x）=x﹣x2lnx，則h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0，∴當(dāng)＜x＜1時，h′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜2時，h′（x）＜0，∴函數(shù)h（x）在（，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，∴h（x）max=h（1）=1．∴a≥1．故答案為：[1，+∞）．12.已知橢圓C:與動直線相交于A,B兩點,則實數(shù)m的取值范圍為___▲___；設(shè)弦AB的中點為M，則動點M的軌跡方程為___▲___.參考答案：13.，，，的夾角為60°，則與的夾角為__________．參考答案：120°【分析】由向量模的運算及數(shù)量積運算可得，再由向量的夾角公式運算可得解.【詳解】解：，所以，設(shè)與的夾角為，則，又因，所以.【點睛】本題考查了兩向量的夾角，屬基礎(chǔ)題.14.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是

。參考答案：略15.定積分__________．參考答案：【分析】根據(jù)定積分的幾何意義求出，再由微積分基本定理求出，進而可得出結(jié)果.【詳解】因為表示圓面積的，所以；又，所以.故答案為【點睛】本題主要考查求定積分的問題，熟記定積分的幾何意義，以及微積分基本定理即可，屬于?？碱}型.16.命題：“若，則”是

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命題（填真、假）.參考答案：假略17.從某校參加數(shù)學(xué)競賽的試卷中抽取一個樣本，考查競賽的成績分布，將樣本分成6組，得到頻率分布直方圖如圖，從左到右各小組的小長方形的高的比為1∶1∶3∶6∶4∶2，最右邊的一組的頻數(shù)是8.估計這次數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)直線l的方程是x+my+2=0，圓O的方程是x2+y2=r2（r＞0）．（1）當(dāng)m取一切實數(shù)時，直線l與圓O都有公共點，求r的取值范圍；（2）r=5時，求直線l被圓O截得的弦長的取值范圍；（3）當(dāng)r=1時，設(shè)圓O與x軸相交于P、Q兩點，M是圓O上異于P、Q的任意一點，直線PM交直線l′：x=3于點P′，直線QM交直線l′于點Q′．求證：以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過定點，并求出定點坐標(biāo)．參考答案：【考點】圓方程的綜合應(yīng)用．【分析】（1）只需直線所過的定點在圓內(nèi)，即可使得m取一切值時，直線與圓都有公共點；（2）顯然定點與圓心的連線垂直于直線時，弦長最短，直線過圓心時，弦長為直徑最大．（3）由已知我們易求出P，Q兩個點的坐標(biāo)，設(shè)出M點的坐標(biāo)，我們可以得到點P′與Q′的坐標(biāo)（含參數(shù)），進而得到以P′Q′為直徑的圓的方程，根據(jù)圓的方程即可判斷結(jié)論．【解答】解：（1）直線l過定點（﹣2，0），當(dāng)m取一切實數(shù)時，直線l與圓O都有公共點等價于點（﹣2，0）在圓O內(nèi)或在圓O上，所以12+0≤r2，解得r≥2．所以r的取值范圍是[2，+∞）；（2）設(shè)坐標(biāo)為（﹣2，0）的點為點A，則|OA|=2．則當(dāng)直線l與OA垂直時，由垂徑定理得直線l被圓O截得的弦長為l=2=2；當(dāng)直線過圓心時，弦長最大，即x軸被圓O截得的弦長為2r=10；

所以直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是[2，10]．（3）證明：對于圓O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．又直線l方程為x=3，設(shè)M（s，t），則直線PM方程為y=（x+1）．令x=3，得P'（3，），同理可得：Q'（3，）．所以圓C的圓心C的坐標(biāo)為（3，），半徑長為||，又點M（s，t）在圓上，又s2+t2=1．故圓心C為（3，），半徑長||．所以圓C的方程為（x﹣3）2+（y﹣）2=（）2，又s2+t2=1，故圓C的方程為（x﹣3）2+y2﹣﹣8=0，令y=0，則（x﹣3）2=8，所以圓C經(jīng)過定點，y=0，則x=3±2，所以圓C經(jīng)過定點且定點坐標(biāo)為（3±2，0）．19.從拋物線上各點向軸作垂線，其垂線段中點的軌跡為．（Ⅰ）求軌跡的方程；（Ⅱ）若過點的直線與軌跡相交于、兩點，且點是弦的中點，求直線的方程．參考答案：（1）設(shè)拋物線上任意一點，垂線段的中點，則

，即

①

………3分

因點在拋物線上，即

將①式代入此方程，得

，即

∴軌跡E的方程為

…5分

（2）若直線的斜率不存在，則直線軸，由拋物線的對稱性可知，弦的中點在軸上，不是點P所以，直線的斜率存在，設(shè)為

…6分

設(shè)交點、（法一）直線的方程為：，即

………………7分

由，得

……………9分

∴

，且點P是弦AB的中點，則

∴

，得

，此時存在兩個不同交點……………11分

∴直線的方程為：

…………12分（法二）因為A、B兩點都在拋物線E上，則

，兩式相減得， ……8分即

，則直線的斜率，且點P是弦AB的中點有

……10分∴∴直線的方程為：

……12分20.（本小題滿分13分）已知二項式展開式中第二項的系數(shù)與第三項的系數(shù)滿足：.(Ⅰ)求的值；（Ⅱ）記展開式中二項式系數(shù)最大的項為，求的值.參考答案：（Ⅰ），，，或（舍）（Ⅱ）由(Ⅰ)得，二項式系數(shù)最大項為第六項，則，21.已知，（其中）.（1）求及；（2）試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明過程.參考答案：解：（1）取x=1，則a0=2n；…………2分

取x=2，則a0+a1+a2+a3++an=3n，

∴Sn=a1+a2+a3++an=3n-2n；………………4分（2）要比較Sn與（n-2）2n+2n2的大小，

即比較：3n與（n-1）2n+2n2的大小，

當(dāng)n=1時，3n＞（n-1）2n+2n2；

當(dāng)n=2，3時，3n＜（n-1）2n+2n2；

當(dāng)n=4，5時，3n＞（n-1）2n+2n2

猜想：當(dāng)n≥4時，3n＞（n-1）2n+2n2，………………6分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

由上述過程可知，n=4時結(jié)論成立，………………7分

假設(shè)當(dāng)n=k，（k≥4）時結(jié)論成立，即3k＞（k-1）2k+2k2，

兩邊同乘以3得：3k+1＞3[（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2]

而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-3）2k+4（k-2）（k+1）+6＞0

∴3k+1＞（（k+1）-1）2k+1+2（k+1）2

即n=k+1時結(jié)論也成立，…………11分

∴當(dāng)n≥4時，3n＞（n-1）2n+2n2成立．………………12分略22.（本小題滿分14分）已知長方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中點為原點建立如圖（20）所示的平面直角坐標(biāo)系.(1)求以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點P(0,2)的直線與(1)中橢圓只有一個公共點，求直線的方程；

(3)過點P(0,2)的直線交(1)中橢圓于M,N兩點,是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.參考答案：已知長方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中點為原點建立如圖（20）所示的平面直角坐標(biāo)系.(1)求以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點P(0,2)的直線與(1)中橢圓只有一個公共點，求直線的方程；(3)過點P(