2022-2023學年山西省運城市金科大聯(lián)考高一下學期期中數學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat15頁2022-2023學年山西省運城市金科大聯(lián)考高一下學期期中數學試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據一元二次不等式的解法求出集合的取值范圍，然后根據交集的概念即可求解.【詳解】因為，所以.故選:B.2．已知a為實數，若復數為純虛數，則（

）A．i B． C．1 D．【答案】B【分析】由給定復數為純虛數求出，再利用復數的乘方運算及除法運算求解作答.【詳解】因為復數為純虛數，則，解得，所以.故選：B3．空間中，可以確定一個平面的條件是A．兩條直線 B．一點和一條直線C．一個三角形 D．三個點【答案】C【詳解】不共線的三點確定一個平面，C正確；A選項，只有這兩條直線相交或平行才能確定一個平面；B選項，一條直線和直線外一點才能確定一個平面；D選項，不共線的三點確定一個平面.【解析】確定平面的條件.4．函數的圖象大致為（

）A． B．

C． D．【答案】A【分析】先根據函數奇偶性排除選項C,D；再利用特殊值排除選項B即可求解.【詳解】因為，定義域為，又，可知函數為奇函數，故排除選項C,D；又由時，，，有，，可得；當時，，，有，，可得；故當時，，故排除選項B；而A選項滿足上述條件，故A正確.故選：A.5．若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，四邊形為等腰梯形，，則原四邊形AOBC的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據圖像，由“斜二測畫法”可得，四邊形水平放置的直觀圖為直角梯形，進而利用相關的面積公式求解即可.【詳解】在直觀圖中，四邊形為等腰梯形，，而，則，由斜二測畫法得原四邊形AOBC是直角梯形，，，如圖.

所以四邊形AOBC的面積為.故選：D.6．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂平面內，已知飛機的高度為海拔，速度為，飛行員先看到山頂的俯角為30°，經過后又看到山頂的俯角為75°，則山頂的海拔高度為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求AB的長，在中，可求BC的長，進而由于，所以故可得山頂的海拔高度．【詳解】如圖：，，，∴在中，，山頂的海拔高度故選：C．7．已知條件，條件，若p是q的必要而不充分條件，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解命題中涉及的不等式，根據題意可得相應集合的包含關系，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】由，得，所以，由，得，所以，因為p是q的必要而不充分條件，所以，則，解得，故選：C.8．在平面四邊形ABCD中，，若P為邊BC上的一個動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，建立合適的直角坐標系，從而利用平面向量數量積的坐標表示即可得解.【詳解】因為三角形中，，所以是邊長為2的等邊三角形，則以為軸，的中垂線為軸，建立直角坐標系如圖，

則，設，則，故，顯然當時，取得最小值，故選：B.二、多選題9．用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是一個圓面，則這個幾何體可能是（

）A．圓柱 B．棱柱 C．球 D．圓臺【答案】ACD【分析】根據用一個平面去截旋轉體均可以得到圓面，平面截棱柱得到的截面為一個多邊形，即可求解.【詳解】根據旋轉體的定義，可知用一個平面去截圓臺、圓柱、球均可以得到圓面，根據棱柱的定義，可知平面截棱柱得到的截面為一個多邊形，一定不會產生圓面，故選：ACD.10．設n是正整數，當一個數的n次乘方等于1時，稱此數為n次“單位根”；在復數范圍內，n次單位根有n個，例如，是的四個根；1，，是的三個根，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據復數模運算法則計算判斷A；根據通過因式分解進而判斷B；通過復數的計算即可判斷C和D.【詳解】對于A選項，，故A正確；對于B選項，因為，而是的一個根，則，故B正確；對于C選項，，，故C錯誤；對于D選項，，故D正確.故選：ABD11．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列條件中能判斷為鈍角三角形的有（

）A． B．C． D．的三條高分別為2，3，4【答案】ABD【分析】利用余弦定理判斷A，將兩邊平方可得，即可判斷B，利用兩角和的正切公式及誘導公式得到，即可判斷C，利用面積公式及余弦定理判斷D.【詳解】對于A，由余弦定理有，可得為鈍角，故為鈍角三角形，故A正確；對于B，將平方可得，即，所以，又，所以，則，所以A為鈍角，即為鈍角三角形，故B正確；對于C，因為，所以，若、、有兩個負數，則，，中有兩個鈍角，顯然不滿足三角形內角和為，所以、、均為正數，即角，，都為銳角，為銳角三角形，故C錯誤；對于D，假設，，邊上的高分別為2，3，4，則，有，設，則，所以由余弦定理得，所以為鈍角，為鈍角三角形，故D正確.故選：ABD.12．著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心的距離的一半.此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC的中點，且，則下列結論正確的有（

）A．O為線段GH的中點 B．C． D．【答案】BD【分析】根據題意，由條件結合平面向量的數量積運算以及線性運算，對選項逐一判斷即可得到結果.【詳解】由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，有，故A選項錯誤；由G是三角形ABC的重心可得，所以，故B項正確；過三角形ABC的外心O分別作AB，AC的垂線，垂足為D，E，如圖，易知D，E分別是AB，AC的中點，則，故C項錯誤；

因為G是三角形ABC的重心，所以有，故，即，又，有，故D項正確.故選：BD.三、填空題13．已知角的終邊上有一點，則的值是.【答案】/-0.96【分析】根據角的終邊上有一點，求得，再利用二倍角的正弦公式求解.【詳解】解：因為角的終邊上有一點，所以，所以.，故答案為：14．已知平面向量相互之間的夾角都為，，則.【答案】【分析】根據以及向量數量積運算律計算即可；【詳解】由，，則，故答案為：15．有一個正六棱柱的機械零件，底面邊長為，高為，則這個正六棱柱的機械零件的表面積為.【答案】/【分析】正六棱柱，分別計算即可；【詳解】故答案為：16．已知O是內部的一點，且，和的面積分別是，若，則.【答案】【分析】根據三角形的幾何性質，可得點所在三角形中特殊線段位置，結合三點公式的平面向量計算，建立方程組，可得答案.【詳解】如圖，分別在邊AC，BC上取點D，E，使得.

由，可得，所以，又因為，所以點O在線段DE上（不包含端點），則.因為O，D，E三點共線，所以，即，所以.因為，所以，所以.故答案為：.四、解答題17．已知平面向量滿足，其中.(1)若，求實數m的值；(2)若，求向量與的夾角的大小.【答案】(1)9(2)【分析】（1）根據向量共線的坐標運算列出方程，解之即可求解；（2）根據向量垂直的坐標運算先求出，再利用向量坐標的線性運算求出，分別求出兩向量的模，代入向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）因為，又，所以，解得；（2）因為，所以，解得，所以，所以，所以，，所以向量與夾角的余弦值為，又由，可得.18．如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知球的直徑是，圓柱筒長.

(1)這種“浮球”的體積是多少?(2)要在這樣個“浮球”表面涂一層膠質，如果每平方厘米需要涂膠克，共需膠多少克？【答案】(1)(2)克【分析】（1）利用球和圓柱體積公式即可求解得到結果；（2）結合球的表面積和圓柱側面積公式可求得幾何體的表面積，進而確定所需膠的質量.【詳解】（1）該半球的直徑，“浮球”的圓柱筒直徑也是，，兩個半球的體積之和為，又，該“浮球”的體積是.（2）上下兩個半球的表面積，“浮球”的圓柱筒側面積為，個“浮球”的表面積為，個“浮球”的表面積的和為，每平方厘米需要涂膠克，共需要膠的質量為（克）.19．在中，內角所對的邊分別為，且滿足.(1)求角的大小；(2)若的面積為，外接圓的面積為，求.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由正弦定理可得，由余弦定理求出，結合的范圍可得答案；（2）求出外接圓的半徑由正弦定理求出，根據的面積求出，再由余弦定理可得，聯(lián)立可得答案.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，所以，由余弦定理可得，因為，所以；（2）設外接圓的半徑為，因為外接圓的面積為，所以，解得，由正弦定理可得，若的面積為，則，可得，①由余弦定理可得，②由①②可得，或.20．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是上的點，且.

(1)證明：四點共面；(2)設，證明：A，O，D三點共線.【答案】(1)證明見祥解(2)證明見祥解【分析】（1）連接，利用中位線定理得到，再根據正方體的性質得到，進而證明四邊形是平行四邊形，從而得到，由此可證四點共面；（2）先證平面，且平面ABCD，又平面平面，所以，進而得到A，O，D三點共線.【詳解】（1）證明：如圖，連接.

在正方體中，，所以，又，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，，所以四點共面；（2）證明：由，，又平面，平面，同理平面ABCD，又平面平面，，即A，O，D三點共線.21．在中，角的對邊分別為，已知.(1)若的內角平分線交于點，求的長；(2)若與的內角平分線相交于點的外接圓半徑為2，求的最大值.【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用計算可得答案；（2）根據與的內角平分線相交于點可得，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式可得答案.【詳解】（1）

因為是內角的平分線，所以，因為，所以，即，解得；（2）

因為的外接圓半徑為2，，所以，，因為與的內角平分線相交于點，所以，即，在中，由余弦定理可得，所以，因為，所以，所以，，當且僅當等號成立，所以的最大值為4.【點睛】思路點睛：在第二問中先求出，由余弦定理可得，再利用基本不等式求最值，考查了正余弦定理及三角形的面積公式的應用.22．已知函數是定義在上的奇函數，且當時，.(1)求函數的解析式，并證明函數在上單調遞增；(2)若對任意的恒成立，求實數a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據奇函數性質以及，求解時，，得到函數最后根據定義判斷證明函數在上單調遞增；（2）將不等式轉化為，對任意的恒成立，構造函數，然后根據函數的單調性以及二次函數性質以及對參數分類討論即可完成求解；【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數，且當時，，設，有，則